Fachbereich Mathematik PD Dr. Ulf Lorenz M.Sc. Franziska Kartzow
SS 2010 17. Juni 2010
4. Tutoriumsblatt zur
„Algorithmischen Diskreten Mathematik“
Gruppenübung
Aufgabe G1
Betrachten Sie die folgenden Währungen (AUD = Australische Dollar, BRL = Brasilianische Real, CNY = Chinesische Renminbi Yuan, EUR = Euro, GBP = Groß Britanische Pfund, JPY = Japanische Yen, USD = US Dollar) und ihre Wechselkurse (gerundete interbank rate, Stand:
23.06.09) Zur Vereinfachung nehmen wir an,dass keine Wechselgebühren anfallen.
AUD BRL CNY EUR GBP JPY USD
AUD 1,00 1,59 5,45 0,57 0,49 76,48 0,80 BRL 0,63 1,00 3,44 0,36 0,31 48,24 0,50 CNY 0,18 0,29 1,00 0,11 0,09 14,07 0,15 EUR 1,74 2,77 9,50 1,00 0,85 133,28 1,39 GBP 2,06 3,28 11,25 1,18 1,00 157,73 1,64 JPY 0,01 0,02 0,07 0,01 0,01 1,00 0,01 USD 1,26 2,00 6,85 0,72 0,61 96,00 1,00
(a) Tauschen sie 100 EUR in USD. Suchen Sie einen Weg um mehr als die dem Kurs entspre- chenden 139 USD zu erhalten.
(b) Läßt sich dieses Problem mit einem Algorithmus aus der Vorlesung automatisieren? Welche Modifikationen muss man dazu vornehmen?
(c) Was entspricht in dieser Situation einem “Kreis negativen Gewichts”?
(d) Gibt es im obigen Graphen einen solchen Kreis? Was bedeutet das?
Aufgabe G2 (Heaps)
(a) Ist die Folge F = [4,11,10,9,16,12,8,13,7,20] die Darstellung eines binären Heaps? Zeichnen Sie den durch F angegebenen Heap. Stellen Sie gegebenenfalls die Heap-Eigenschaft her.
(b) Zeigen Sie: Das maximale Element in einem Heap ist ein Blatt.
(c) Zeigen Sie: ein Heap mit n Elementen hatdn2e Blätter.
Aufgabe G3 (Minimale Spannbäume) (a) Betrachten Sie die Menge
{(u, v) : ∃ einen Schnitt(S, V−S) ,so dass(u, v)eine leichte, den Schnitt kreuzende Kante ist.}.
Zeigen Sie, dass diese Menge keinen minimalen Spannbaum beschreibt.
(b) Es seieeine Kante maximalen Gewichts in einem Kreis eines zusammenhängenden Graphens G= (V, E). Zeigen Sie, dass es einen minimal aufspannenden Baum fürG0 = (V, E−{e}gibt, der auch ein minimal aufspannender Baum von Gist. Zeigen Sie also, dass es einen minimal aufspannenden Baum gibt, der die Kante enicht enthält.
(c) Zeigen Sie, dass die folgende Umkehrung des Satzes MiSpa1 nicht korrekt ist:
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender, ungerichteter Graph mit reellwertigen Kantenge- wichten. Sei A eine Teilmenge der Kanten E, die in einem minimalen Spannbaum von G enthalten ist. Sei weiterhin (S, V −S) ein A-verträglicher Schnitt von G und sei (u, v) ∈ E eineA-sichere den Schnitt(S, V −S)kreuzende Kante. Dann ist(u, v)eine leichte Kante des Schnitts.
Aufgabe G4 (Gastgeberproblem)
Ein Gastgeber lädt einige Leute zum Abendessen ein. Damit es ein Erfolg wird, sollen nur Personen am großen runden Tisch nebeneinander sitzen, die einander mögen. Er fragt sich ob dies überhaupt immer möglich ist und wenn ja, wie er eine solche Sitzordnung findet.
Betrachten Sie dieses Problem graphentheoretisch. Stellen Sie einen passenden Graphen auf. Wel- chem graphentheoretischen Problem entspricht das Problem des Gastgebers. Gibt es eine solche Sitzordnung immer?
Fussballspiel
Habt ihr Lust den Mitarbeitern zu zeigen, dass ihr auch auf dem Fussballfeld richtig was zu bieten habt?
Dann nutzt die Chance beim Spiel “Mitarbeiter vs. Studenten” am 08. Juli um 16:00 Uhr.
Weiter Infos und Anmeldelisten liegen im 2. Stock des S2|15 aus.
