(1)Gamma-Funktion Die durch Γ(x

Gamma-Funktion Die durch

Γ(x) = Z ∞

0

t^x−1e^−tdt, x∈(0,∞), definierte Gamma-Funktion erf¨ullt die Funktionalgleichung

Γ(x+ 1) =xΓ(x). Insbesondere ist Γ(n+ 1) =n!, n∈N.

-5 0 5

-10 0 10

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Mit Hilfe der Funktionalgleichung l¨asst sich die Gamma-Funktion auch f¨ur negative Argumente definieren. Wie aus dem abgebildeten

Funktionengraphen ersichtlich ist, besitzt sie einfache Pole f¨ur x = 0,−1, . . ..

Eine alternative Definition der Gamma-Funktion wurde von Gauß gegeben:

Γ(x) = lim

n→∞

n!n^x

x(x+ 1)· · ·(x+n).

Diese Identit¨at erm¨oglicht ebenfalls die Berechnung von Γ f¨ur negative Argumente.

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Beweis

(i) Existenz des Integrals:

Konvergenz von R1

0 f nach dem Vergleichskriterium (x >0) f(x) =t^x−1e^−t ≤t^x−1

Konvergenz von R∞

1 f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium f(x)≤t⁻² ⇐⇒ t^x+1 ≤e^t

erf¨ullt f¨urt ≥n! mit n≥x+ 2

Begr¨undung mit Reihendarstellung der Exponentialfunktion:

t^x+1 ≤tⁿ⁻¹ ≤tⁿ/n!≤e^t (ii) Funktionalgleichung:

partielle Integration Γ(x+ 1) =

Z ∞

0

t^xe^−tdt=

−t^xe^−t∞ 0 +

Z ∞

0

xt^x−1e^−tdt

= 0 +x Z ∞

0

t^x−1e^−tdt=xΓ(x) Γ(1) =R∞

0 e^−tdt = [−e^−t]^t=∞_t=0 = 1 =⇒ Γ(n+ 1) =n!,n∈N

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