H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Lemma:IstdieFunktion
L2 (
)absolutintegrierbar,soexistiert dieFOURIER-Transformiertevon
alsFunktion;dieseFunktioniststetig undbeschr¨ankt. Beweis:NachDefinitionist ()=
( )
. DerBetragdesIntegrandenist
( )
;da
absolutintegrierbarist,kon- vergiertdasIntegralabsolutundistdamitinsbesonderekonvergent. DerIntegrand
( )
istalsFunktionvonf¨urjedenWertvon
stetigundalsFunktionvon
immerhinnochst¨uckweisestetig.Daher zeigtdasLemmaaus
6a)zun¨achst,daßf¨urIntervalle[
],indenen
stetigist,auch
( )
einestetigeFunktionvonist.Damitgiltdasselbef¨urjedesendliche Intervall,dennendlicheSummenstetigerFunktionensindwiederstetig. F¨ur
und
schließlichkonvergiertdasIntegralnach Voraussetzungabsolut,alsoauchgleichm¨aßig,unddamitistauchdie Grenzfunktion
()stetigundbeschr¨ankt. Damitfolgtinsbesonderederz.B.f¨urdieIdentifikationvonL¨osungen vonDifferentialgleichungenwichtige Satz:
L2 (
)seienstetigeFunktionen. a)FallsdieFOURIER-Transformierten
und
¨ubereinstimmen,ist
=
. b)Fallsesein
0gibt,sodaß
!" ( )
# (
$ )=
!" ( )
# (
$ )f¨uralle
$
mit
%&$ =
,ist
( )=
(
)f¨uralle
0. Beweis:a)folgtunmittelbarausdemgeradebewiesenenLemma,und b)folgtdaraus,daßmandiesesLemmaaufdieFunktionen
('
:
)+*-, *.
/
0 0falls
1
0 ( )
'
sonst
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
233 und ':
)+*, *.
/
0 0falls
1
0 ( )
'
sonst anwendet,diezumindestf¨ur
0stetigsind,undderenFOURIER- TransformationengeradedieLAPLACE-Transformationenvon
und
f¨ur
%&$ =
sind. f)AbleitungenvonDistributionen Wiewirin
6b)gesehenhaben,istf¨urallemindestens
-fachstetig differenzierbareFunktionen
,sofernallevorkommendenFOURIER- Transformiertenexistieren,
' '
()=(
4 )
'
5 '
() und'
()=(
4 )
'
6 (')(); eine¨ahnliche,leichtkomplexereFormelgiltauchf¨urdieLAPLACE- Transformation.DieshattenwirimweiterenVerlaufvon
6zurL¨osung ersterDifferentialgleichungenverwendet. Inzwischenk¨onnenwirdieVoraussetzungenetwaspr¨aziserformulie- ren;insbesondereistklar,daßdieseFormelnf¨urallestarkabfallenden Funktionenundalle
7 gelten.Auchwissenwir,daßsief¨urqua- dratintegrierbareFunktionengelten,fallsauchalleAbleitungenbiszur jeweilsbetrachtetenquadratintegrierbarsind. IndiesemParagraphenwollenwiruns¨uberlegen,wiemandiesenFor- melnauchf¨urbeliebigequadratintegrierbareFunktionenmitHilfevon DistributionenzumindestbisaufNullfunktioneneinenSinngebenkann. Dazu¨uberlegenwirunszun¨achst,wasAbleitungenaufdemNiveauder Distributionenbedeuten,wiemanalsobeispielsweiseeineAbleitungder DIRACschen
8 -Distributiondefinierenkann.Esistklar,daßeinAnsatz wie 98 ( )=lim:; 0
8 ( +
< )
8 ( ) <
23 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 zukeinemvern¨unftigenErgebnisf¨uhrenkann;wirm¨ussenunsereralten Strategiefolgenundf¨ureinedifferenzierbareFunktion
dieDistribu- tion
=?>@ausrechneninderHoffnung,dasdieszueinerFormelf¨uhrt,die sichaufbeliebigeDistributionenverallgemeinernl¨aßt. F¨ureinedifferenzierbareFunktion
mitderEigenschaft,daßsowohl
alsauchdieAbleitung
9 h¨ochstenspolynomialesWachstumhaben,ist =>@(
A )=
9 ( )
A (
)
. NachderRegelf¨urpartielleIntegrationistdaher
=?>@(
A )=
( )
A (
)
BCBCBCB
D
( )
9A ( )
. Da
h¨ochstenspolynomialesWachstumhat,ist
( )
kleineroder gleicheinemAusdruckderForm
E
F f¨ureinereelleZahl
E 0und einenat¨urlicheZahl
G .Daaußerdem
A einestarkabfallendeFunktion ist,bleibt
BHBCB
F +1A ( )
BHBCB
beschr¨anktf¨uralle
,d.h. A ( )I
J
F +1 f¨ureinereelleZahl
J 0.Damitist ( )
A (
)
I BHBCBCB
E
FLK
J
F +1
BHBCBCBI
E
J
. SomitgehtdasProdukt
A (
)
( )gegenNullf¨ur
M und =>@(
A )=
D
( )
9A ( )
=
=N@
(
9A ). Damitistklar,wiewirdieAbleitungeinerDistributiondefinieren: Definition:DieAbleitungeinerDistribution
= :
O (
)
istdieDis- tribution 9= :
PO (
)
A/
= @(
9A ),
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
23 die
Q -teAbleitungentsprechend =(
R) :
)+, .
O (
)
A/
(
1)
R
=S@
T A(
R)
U. ZumNachweis,daß
9= undallgemeinerauch
=(
R) Distributionensind, m¨ussenwirzeigen,daßdieslineareAbbildungensind–angesichts derLinearit¨atderDifferentiationistdasklar.ZumNachweisderSte- tigkeitaberm¨ussenwirwissen,daßf¨ureinekonvergenteFolgevon FunktionenausdemSCHWARTZ-RaumauchdieFolgederabgeleiteten Funktionenkonvergiert;diesgiltnurdeshalb,weilwirdieKonvergenz imSCHWARTZ-Raumsodefinierthaben,daßauchalleAbleitungenund derenProduktemit
-Potenzenkonvergierenm¨ussen. Beispielsweiseistalsof¨urdieDIRAC-Distribution V(
R) (
A )=(
1)
R A(
R) (
) oder,mitder
8 - ”Funktion“ausgedr¨uckt
8(
R) (
)
A (
)
=(
1)
R A(
R) (
). AuchSprungfunktionenwie W :
)+*, *-.
/
0 0f¨ur
1 0 1f¨ur
X 0 lassensichindersch¨onenneuenWeltderDistributionenproblemlos differenzieren:
=SY
(
A )=
Z
W ( )
A (
)
=
Z
0
A (
)
hatalsAbleitungdieDistribution
9= Ymit 9
=SY
(
A )=
W ( )
9A (
)
=
0
9A (
)
=
A (
)
BCBCBCB
0=
A (0),
23[ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 da
A (
)beieinerstarkabfallendenFunktionf¨ur
gegennull geht.DieseDistributionkennenwiraber:EsistgeradedieDIRAC- Distribution
V 0.Alsoist9= Y=
V 0, wassichinFunktionenausgedr¨uckt(mitallergebotenenVorsicht)auch als9W ( )=
8 ( ) schreibenl¨aßt.EntsprechendlassensichimDistributionensinneauch andereSprungfunktionendifferenzieren;dieAbleitunganeinerSprung- stelle
=
0istjeweilsSprungh¨ohemal
8 (
0). AuchmitderAbleitungderBetragsfunktionhabenwiraufDistribu- tionenniveaukeineProbleme:F¨ur
( )=
zeigtpartielleIntegration, daß 9
=N@
(
A )=
K
A (
)
=
0
K
A (
)
0
K
A (
)
=
A (
)
BCBCBHB0
0
A (
)
A (
)
BCBCBHB
0+
0
A (
)
=
0
A (
)
+
0
A (
)
=
=]\
(
A ) mit ( )=
^1f¨ur
1
0 1f¨ur
0. AnderStelle
=0k¨onnenwireinenbeliebigenFunktionswertw¨ahlen, denn
=_\
h¨angtnichtvondiesemWertab.Wirbekommenalsof¨ur
` =0, wo
( )=
differenzierbarist,dieerwartetenErgebnisse,undf¨ur =0keineAussage.NichtsdestowenigeristdieDistribution
9
=S@
wohl- definiert.AufdemNiveauderDistributionensindAbleitungenalso ziemlichproblemlos–auchf¨urnichtdifferenzierbareFunktionen. DasProdukteinerDistributionmiteinerbeliebigoftstetigdifferen- zierbarenFunktionmith¨ochstenspolynomialemWachstumhabenwir
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
23 bereitsdefiniert;dask¨onnenwirinsbesondereanwendenaufdieFunk- tion Π':
;
/
' . Wirerwarten Lemma:F¨urjedeDistribution
= :
O (
)
undjedenat¨urlicheZahl
ist=(') =(
4 )
'
6 Π'
= undΠ'
= =(
4 )
'
6 =('). Beweis:F¨ur
A
O (
)giltnachdenentsprechendenFormelnf¨urstark abfallendeFunktionenaus
6b) =(') (
A )=(
1)
'
= (
A(
') )=(
1)
'=
b
6 A(')
c =(
1)
'=
b4
' Π'
A
c =(
4 )
'= (Π'
A )=(
4 )
' Π'
= (
A )=(
1)
'
6 Π'
= (
A ), dennausderFormel
'A ()=(
4 )
'
6 A(')()folgt 6 A(')()=
4
''A (). EntsprechendzeigtmanauchdiezweiteFormel Π'
= (
A )=
= (Π'
A )=
=
b
6 Π'
A
c =
=
b4
'A(
')
c =
4
'=
bA(
')
c =(
4 )
'=(
') (
A )=(
4 )
'
6 = ('). R¨uck¨ubersetztf¨urFunktionenheißtdas,daßdieFormeln
' '
()=(
4 )
'
5 '
() und'
()=(
4 )
'
6 (')(); zumindestbisaufNullfunktionenauchdannf¨urquadratintegrierbare Funktionengelten,wenndiesenurimDistributionensinndifferenzierbar sind.DieentsprechendeFormelf¨urdieLAPLACE-Transformation,die zus¨atzlichdieFunktions-undAbleitungswerteanderStelleNullenth¨alt, istnat¨urlich(auchmoduloNullfunktionen)nurdannsinnvoll,wenn dieseWertewohldefiniertsind.
23d H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 g)Faltungen BeiderUntersuchungvonFOURIER-Reihenin
4a)erwiessichdie (periodische)FaltungzweierFunktionenalswichtigesInstrumentzum NachweisderKonvergenz;außerdemwarsieoftn¨utzlich,umohne großenAufwandneueFOURIER-Reihenausbekanntenherzuleiten. HierimnichtperiodischenFallistsieeinfacherundanschaulicherzu verstehenalsimperiodischenFall:
(
e )(
)isteinfachdasgewichtete MittelderFunktionswertevon
inderUmgebungvon
,wobei
die Gewichtsfunktionenist.Ameinfachstenistes,wennmansich
als eineFunktionvorstellt,dieimPunktNulleinMaximumhatunddann nachbeidenSeitenmonotonabf¨allt;dannkannmansich
e alseine ”verschmierte“(oderauchgegl¨attete)Versionvon
vorstellen.Indem manf¨ur
(
)GAUSSscheGlockenkurvennimmt,kannmanbeispiels- weiseunscharfe(oderweichgezeichnete)Photographiensimulieren–je gr¨oßerderParameter
f ,destounsch¨arferistdasResultat. F¨urdieformaleDefinitionlassenwirallerdingsbeliebigeFunktionen und
zu;sp¨aterwerdenwirsogarFaltungenvonFunktionenmit Distributionenbetrachten. Definition:F¨urzweiFunktionen
:
heißt e :
)g***, *-**.
/
(
$ )
(
$ )
$, fallsdiesesIntegralexistiert,Faltungvon
mit
. Lemma:F¨ur
L2 (
)existiertdieFaltung
e . Beweis:Mit
liegtf¨urjedes
auchdieFunktion
$/
(
$ ) inL2 (
);dieAbsch¨atzungenaus
8a)zeigendaherdieExistenzdes Integrals
e ( ). Ebenfallsinv¨olligerAnalogiezumperiodischenFallgilt
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
23
h Lemma:FallsdieFOURIER-Transformationenvon
undvon
< ( )= (
e )(
)alsFunktionenexistieren,ist
< ()=
()K
(). Beweis:NachdemSatzvonFUBINIist < ()=
< ( )
=
i j
(
$ )
(
$ )
$
k l
=
i j
(
$ )
(
$ )
k l
$ =m=
n
i j
(
o )
(
$ )
(
m+
n)o
k l
$ =
i j
(
o )
mo
k l
(
$ )
n$ =
i j
(
o )
mo
k l
K
i j
(
$ )
n$
k l=
()K
(), wiebehauptet. AlsersteAnwendunghiervonk¨onnenwirdieFOURIER-Transformierte einesProduktsdurchdieFOURIER-TransformiertenderFaktorenaus- dr¨ucken: Korollar:
5 ()=1 2
p(
e
)(). Beweis:WirwendendasgeradebewiesenenLemmaanaufdieFOURIER- Transformiertenvon
und
;dannist 6e
( )=
-
( )K
(
). Wiewirwissen,unterscheidensichFOURIER-Transformationundin- verseFOURIER-TransformationdurchdenFaktor1
q 2
r vorderinversen
23s H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 TransformationunddasVorzeichendesArgument,d.h.
-
( )=2
rK
(
)
( )=2
rK
(
)und
6e
( )=4
r2K
(
)
(
). AusdemgleichenGrundist
66e
( )=2
rK(
e
)(
),also 2
rK(
e
)(
)=4
r2K
5 (
)oder(
)(
)=1 2
r(
e
)(
). Diesgiltf¨urallereellenZahlen
,deshalbk¨onnenwirdasMinuszeichen linksundrechtsauchweglassenundhabendanndieBehauptungdes Korollars. WieimperiodischenFallfolgtauch,daßdieFaltung(abgesehenvon eventuellvorhandenenUnstetigkeitsstellen)kommutativundassoziativ ist: e =
e
und
e (
e
< )=(
e )
e
< , dennf¨urdieFOURIER-TransformationenderbeidenSeitensindjeweils gleichnachdemKommutativit¨atsgesetzundAssoziativit¨atsgesetzf¨ur dieMultiplikationkomplexerZahlen. EineweitereinteressanteKonsequenzdiesesLemmasist,daßsichFal- tungengelegentlichr¨uckg¨angigmachenlassen:
e istdurchseine FOURIER-Transformation
K
(fast¨uberall)bestimmt;falls
()keine Nullstellenhat,kannmandieMultiplikationmit
()durcheineDivi- sionr¨uckg¨angigmachen.EineGrundideezumR¨uckg¨angigmachender Faltungw¨arealsodiefolgende:Ist
< ( )dieinverseFOURIER-Transfor- mationvon1
q (),sohat(
e )
e
< FOURIER-Transformierte ()K
()K
< ()=
()K
()K1 ()=
(), (
e )
e
< stimmtalsofast¨uberallmit
¨uberein. LeideristdieSacheaberdochnichtganzsoeinfach,denndieExistenz von
< istallesanderealsklar:F¨ureinestarkabfallendeFunktion
()ist 1
q () ”starkansteigend“.DasmußabernichtimmereinProblemsein, dennf¨urpraktischeZweckewirdmansowohldenFrequenzbereich,¨uber denintegriertwird,alsauchdenZeit-oderOrtsbereichoftabschneiden k¨onnen,sodaßnureinIntegral¨ubereinendlichesIntervallbetrachtet
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
23
t werdenmuß.DieFormel,diewirgeradebenutzthaben,geltennach dieserEinschr¨ankungdesIntegrationsintervallsnat¨urlichnichtmehr, zumindestnichtmehrexakt,aberausgehendvondenobigenFormeln kannmanmiteinigemGeschickdochgelegentlichFormelnfinden,die zumindestn¨aherungsweiseeinbrauchbaresErgebnisliefern.Sokonnte beispielsweisedieNASAdieBilderdesfalschfokusiertenHUBBLE- TeleskopsdurchdigitaleNachbehandlungsodeutlichverbessern,daß dieBildqualit¨atauchvorderReperaturnichtvielschlechterwaralsbei einemkorrektfokusiertenTeleskop. BesonderseinfachsindFaltungenmit
8 -Funktionenzuberechnen:F¨ur u ( )=
8 (
0)zeigtdieSubstitutionsregelmit
o =
0
$ ,daß ue
=
8 (
0
$ )
(
$ )
$ =
8 (
o )
(
0
o )
o =
(
0) ist,Faltungmit
8 (
0)verschiebtalsoeinfachdasArgumentum
0. Insbesondereist
8e
=
. 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 -4-20246 Abb.25:FaltungeinesDreiecksimpulsmiteinerSummevon
v -Distributionen ImFalleeinerFunktion,dieaußerhalbeinesgewissenIntervallsnull (oderpraktischnull)ist,l¨aßtsichdurchFaltungmiteinerSummevon
23 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 8 -FunktionenderGraphanverschiedeneStellenverschieben;Abbil- dung25zeigtdiesf¨urdieFaltungeines(fetteingezeichneten)Dreieck- simpulsesauf[
11]unddieDistribution 8 (
4)+
8 (
2)+
8 ( )+
8 ( +2)+
8 ( +4). h)DerAbtastsatzvonNyquist EgalobesumdieautomatischeErfassungvonMeßwertengehtoder umdieAufzeichnungvonMusik:DiedigitaleDarstellunganaloger DatenistwesentlicherBestandteilderInformationsverarbeitung.Nun istabereinebeliebigeFunktion
:
sicherlichnichtdurchihre FunktionswerteanendlichvielenStellenoderauchaneineinerdiskreten MengevonStellenbestimmt:Auchwennwirwissen,daß
( )=0 istf¨urjedesganzzahligeVielfachevon0,001,wissenwirnochnicht, daß
dieNullfunktionist:AuchdieFunktionen
( )=sin(1000
r
) und
( )=
3sin(5000
r
)habendieseEigenschaft.Auchbeivonnull verschiedenenAbtastwertentrittdiesesProblemauf:Beispielsweise stimmenauchdieFunktionen ( )=cos(500
r
)und
(
)=cos(1500
r
) f¨uralleganzzahligenVielfachenvon0,001¨uberein,abersienehmen hierabwechselnddieWerte10
10an;sieheAbbildung26.Dader FrequenzunterschiedzwischendenbeidenSchwingungenfastdemzwi- schenBaßundSopranentspricht,istklar,daßmandiebeidenSchwin- gungenzumindestaufeinerMusik-CDnichtmiteinanderverwechseln darf. DieProblemebeidenobigenBeispielenberuhenoffensichtlichdar- auf,daßeszujedemgegebenenSignalauchh¨oherfrequenteSignale gibt,dieanvorgegebenenAbtastpunktenmitihm¨ubereinstimmen;eine eindeutigeRekonstruktionisth¨ochstensdannm¨oglich,wennmaneine Grenzefestlegt,oberhalbdererFrequenzennichtmehrber¨ucksichtigt werdensollen.DerAbtastsatzvonNYQUISTsagt,daßdanninderTat eineRekonstruktionm¨oglichist,undersagtauch,wodieGrenzeliegen soll,oberhalbderermandieFrequenzenabscheidenmuß:DieAbtast- frequenzmußmehralsdoppeltsohochseinalsdieh¨ochsteimSignal vorkommendeFrequenz.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
23 -1
-0.5
0
0.5
1 0.0050.010.0150.02 Abb.26:AbtastungzweierSchwingungen DiegenaueFormulierungdesSatzesistetwastechnischer;insbesondere m¨ussenwirber¨ucksichtigen,daßdieKreisfrequenz,mitderwirimmer arbeiten,etwasanderesist,alsdieFrequenz:EinereineSchwingung miteinerFrequenzvon1000HzistnichtgegebendurcheineFunktion wiesin1000
,sondern–beiinSekundengemessenerZeit–durch sin2000
r
.EntsprechendkommtauchjetztbeiderFormulierungdes AbtastsatzesvonNYQUISTeinFaktor2
r insSpiel: Satz:
L2 (
)habedieEigenschaft,daß
()außerhalbeines IntervallsderL¨ange
w verschwinde.Dannist
eindeutigbestimmt durchdieWerte
(2
Gr
qw )mit
G x . Beweis:(12)seieinIntervallderL¨ange
w derart,daß
()außerhalb diesesIntervallsverschwindet.DannistbisaufeineNullfunktion ( )=ˇ ( )=1 2
r
()
-
=1 2
r
2 1
()
-
. Indemwir
durchdierechteSeiteersetzen(wasnichtswesentliches ¨andert)k¨onnenwirannehmen,daßdieseGleichungwirklichgilt.Also
2 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 istinsbesondere
y 2
Gr w
z =1 2
r
2 1
()
2
Fp
{| .(
} ) NunbetrachtenwirjeneFunktion
(),dieaufdemIntervall[12) mit
()¨ubereinstimmtunddieperiodischmitPeriode
w inauf
fortgesetztist.F¨urdieseFunktionistnat¨urlichauch
y 2
Gr w
z =1 2
r
2 1
()
2
Fp
{|
, dennimIntegrationsintervallstimmen
und
¨uberein. alsperiodischeFunktioninmitPeriode
w hateineDarstellungals FOURIER-Reihe
]~
F =
EF
F mit
=2
r w; der
G -teFOURIER-Koeffizientist EF=1 w
2 1
()
F =1 w
2 1
()
2
p
F
{|
=2
r w
y 2
Gr w
z , wobeidasletzteGleichheitszeichenwegen(
} )gilt. DurchdieWerte
b 2
Fp |
c sindalsoalleFOURIER-Koeffizientenvon
bestimmt,damitauch(fast¨uberall)dieFunktion
(),unddamitauch dieFunktion
(),dieimIntervall[12)mit
()¨ubereinstimmt undaußerhalb(außereventuellimPunkte2)verschwindet.Damitist auch
( )=ˇ
( )fast¨uberalldurchdieseWertebestimmt.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
22 HARRYNYQUIST(1889–1976)wurdeinSchwedenge- boren,arbeiteteaberabAnfangderzwanzigerJahre beidenBellLabaratories;dasBildzeigtihnum1960 mitseinendortigenKollegenJOHNPIERCE(links)und RUDOLFKOMPFNER(Mitte).SeineArbeitvon1924 ¨uberdie
¨ Ubertragungsgeschwindigk
eitvonTelegraphen giltalseinederBegr¨undungenderInformationstheo- rie.DenAbtastsatz,denCAUCHYbereits1841postu- lierthatte,bewieser1928.WeiterewichtigeArbeiten befassensichmitderquantitativenErforschungdesthermischenRauschensundderSta- bilit¨atvonVerst¨arkern. BeipraktischenAnwendungendiesesSatzeswird
( )imallgemeinen einereelleFunktionsein;dannverschwindet (
)=
( )
(
)
=
( )
=
( )
=
( )
=
() genaudann,wennauch
()verschwindet.DaherwirdindiesemFall alleseinfacher,wennmandasIntervall,außerhalbdessen
()ver- schwindet,symmetrischzumNullpunktw¨ahlenkann,alsovonderForm (
0 0). DiezurKreisfrequenz0geh¨orendeFrequenz2
r 0wirdindiesem ZusammenhangoftalsBandbreitebezeichnet.Hierist
w =20,zur RekonstruktionderFunktion
brauchenwiralsodieFunktionswerte
y 2
Gr w
z =
yGr 0
z mit
G
x . EinSignalderBandbreite
0mußalsomiteinerFrequenzvonmin- destens2
0abgetastetwerden,damitmaneseindeutigrekonstruieren kann. BekanntestesBeispielhierf¨ursindMusik-CDs:Praktischniemandkann T¨onemitFrequenzenvonmehrals20kHzh¨oren;f¨urAufnahmenaufCD
2[ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 wird44100MalproSekundederSchalldruckgemessenundgespei- chert,f¨urSignaledienichtallzuweitoberhalbvon20kHzabgeschnitten werden,istalsoeineperfekteRekonstruktionm¨oglich. AuchinderComputergraphikspieltderSatzvonNYQUISTeinewichti- geRolle,dennPixelgraphikistschließlichnichtsanderesalsdie(zwei- dimensionale)diskreteAbtastungeineskontinuierlichenBilds.Falls dasBildzuhochfrequenteAnteileenth¨alt,entstehensogenanntealias- Effekte,dadasAugedieseAnteileanhanddesPixelbildsalsniedriger- frequenteStrukturenmitgleichenAbtastwerteninterpretiert.Vorder AbtastungmußdasBilddahertiefpaßgefiltertwerden;dadieFunktion sin
,dieFOURIER-TransformiertedesRechteckimpulses,einigerma- ßenschnellabf¨allt,wendetmandazumeistdasLemmaausdemletzten AbschnittanundfaltetmiteinergeeignetensolchenFunktion.Fallsdas Ursprungsbildauchschonals(h¨oheraufgel¨oste)Pixelgraphikgegeben war,wirddieFaltunghiereinfachzueinerSummation¨ubernichtgarzu vieleNachbarpixel,wassehreffizientdurchgef¨uhrtwerdenkann.
§ 9: A usblick: Mehrdimensionale F ourier -Theorie
a)FaltungenundFourier-Integrale Inv¨olligerAnalogiezumeindimensionalenFaltungsintegrall¨aßtsich aucheinQ -dimensionalesdefinieren:F¨urzweiFunktionen
:
R
, definierenwiedieFaltungals e =
KK
K
(
1
1
R
R)
(
1
R)
1
R –soferndiesesIntegralexistiert. AuchdieanschaulicheInterpretationistdieselbewieimeindimensio- nalenFall:Wennwir
alseineGewichtsfunktionauffassen,ist
e eingewichtetesMittel¨uberWertevon
;f¨ur (
1
R)=1 r
R
{ 2
f
R
1 2
2
=1
2
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
2a etwa,die
Q -dimensionaleGAUSS-Funktion,entsprichtdasimFall
Q =2 einemjenachGr¨oßevon
f mehroderwenigerdefokusiertenBild. DurchmehrdimensionaleFaltungenmit
8 -Distributionenlassensich Verschiebungungenrealisieren:Beispielsweisew¨are,wennderSatzvon FUBBINIineinersolchenSituationanwendbarw¨are, 2
8 (
)
8 (
)
(
)
=
(
), undgenausodefinierenwirdieInterpretationderapriorisinnlosen linkenSeite. (Manbeachte,daßAusdr¨uckewir
8 (
)
8 (
)oder
8 (
)2 weiterhin sinnlosbleiben,egalobsieuntereinemodermehrerenIntegralzeichen stehen.) Istalso
:
2
eineFunktion,die(z.B.durchGrauwerte)einBild definiertunddieaußerhalbdesBereichs0I
I 1verschwindet,so istmitderDistribution u (
)=
~ F =1
~ =1
8 (
G )
8 (
) dieFaltung
u
e
einBilderbogenaus
J ExemplarendiesesBil- des.Abbildung27zeigtdiesf¨urdenGrapheinerzweidimensionalen Normalverteilung. AuchdieFOURIER-Transformationl¨aßtsichinv¨olligerAnalogiezum eindimensionaleFallaufbeliebigeDimensionenverallgemeinern:F¨ur :
R
definierenwir :
)+, .
R
(1
R)
/
KK
K
(
1
R)
=1
1K
KK
R. DaesnureineZeitgibt,l¨aßtsichdiesnichtalsZerlegungeineszeitlichen SignalsinseineFrequenzeninterpretieren;die
solltemansichhier alsr¨aumlicheKoordinatenvorstellen.Beispieledazufolgenimn¨achsten Abschnitt,wowireineAnwendungsolcherr¨aumlicherFOURIER-Trans- formationenbetrachten.
2d H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 -10 -5 0 5 10
x-10 -5 0 5 10y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 Abb.27:EinezweidimensionaleFaltung Wenigstenkurzseinochangedeutet,wiemanauchdiemehrdimen- sionaleFOURIER-Theorie¨uberstarkabfallendeFunktionenmehrerer Ver¨anderlicherexaktbegr¨undenkann: EineFunktion
A :
R
heißtstarkabfallend,wennalleAusdr¨ucke derForm
1 1
KKK
R
'
1+
+
'
' 1 1
KKK
' R
A (
1
R) aufganz
R beschr¨anktsind.DerVektorraumallerdieserFunktionen istderSCHWARTZ-Raum
O (
R ). F¨urFunktionenaufdiesemRaumistwiederallesrelativproblemlos;zur VerallgemeinerungenaufinteressantereFunktionengehtmanwieder denUmweg¨uberDistributionen = :
O (
R )
, dieindernaheliegendenWeisealsVerallgemeinerungeneindimensio- nalerDistribibutionendefiniertwerden.Beispielsweisekannmandem geradeadhocbetrachtetenProdukt
8 (
)
8 (
)¨uberdieDistribution V
:
P2
A/
A (
)
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
2 einenpr¨azisenSinngeben–solangeesineinemsinnvollenKontext unterzweiIntegralzeichensteht. b)Fraunhofer-Beugung WennLichtaufStrukturentrifft,inVergleichzuderenGr¨oßeseine Wellenl¨angenichtmehrvernachl¨assigbarkleinist,lassensichdieGe- setzedergeometrischenOptikbekanntlichnichtmehranwenden;man beobachtetdannBeugungsph¨anomene. BeugungisteinsehrkomplexesGebiet;f¨ureinBeispielimRahmeneiner Vorlesung¨uberH¨ohereMathematikm¨ussenwirunsaufdenallerein- fachstenFallbeschr¨anken.WirgehendaherausvoneinemLichtstrahl, deraussehrgroßerEntfernungkommtoderderzumindest(z.B.dank einerLinse,ausderenBrennpunkterkommt)soaussieht,undbeob- achtenauchdieBeugungsfiguringroßerEntfernung.DieseSituation bezeichnetmanalsFRAUNHOFER-Beugung. JOSEPHVONFRAUNHOFER(1787–1826)wurdeinStrau- bingalselftesundletztesKindeinesGlasermeisters geboren;ermachteauchselbsteineLehrealsGlas- schleiferundSpiegelmacher.Danebenbesuchteerdie Feierabendschule,woerzumindestprimitiveGrund- kenntnisseimRechnenerwarb.1806kamerandasop- tischeInstitutvonUTZSCHNEIDER,derihmB¨ucher¨uber OptikundMathematikbesorgte.FRAUNHOFERentwik- keltePr¨azisionsmaschinenzurFertigungoptischerIn- strumentevonbisdahinnichtgekannterQualit¨atund erfandauchdasoptischeGitter.DurchseineVersu- chezurLichtbeugungbewieserdieWellennaturdes Lichts.1824wurdeerzumProfessorernannt;erberichteteunteranderemin¨offentlichen Sonntagsvorlesungen¨uberseineArbeit.ImgleichenJahrwurdeervombayrischenK¨onig LUDWIGI.indenAdelsstanderhoben.ZweiJahresp¨aterstarberanTuberkulose. ZurmathematischenBehandlungderoptischenBeugungbrauchenwir zun¨achsteinphysikalischesModellf¨urLichtwellen.F¨ureinephysika- lischkorrekteBeschreibungm¨ussenwirLichtalszeitlichver¨anderliches elektromagnetischesFeldbetrachten,d.h.wirbrauchenzweir¨aumlich undzeitlichvariableVektorfelder
(
;
)und
(
;
),dieden MAXWELLschenGleichungengen¨ugen.Gl¨ucklicherweisemußmanin
