Zyklentyp und Zyklenzeiger

Der Polyasche Abz¨ahlsatz und F¨arbungen regul¨arer Polyeder

Hans-Gert Gr¨abe, Leipzig

Der Polyasche Abz¨ahlsatz behandelt folgende Abz¨ahlaufgabe:

(Unterscheidbare) Teile eines ObjektsO sollen mit (unterscheidbaren) Farben aus einer Menge F gef¨arbt werden, wobei zwei F¨arbungen als “gleich” z¨ahlen, wenn sie durch eine “Symmetrie” von O in ¨Ubereinstimmung gebracht werden k¨onnen.

Genauer: Bezeichne M die Menge der (unterscheidbaren) zu f¨arbenden Teile von O. Eine F¨arbung ist dann eine Abbildungf :M →F. Istσ∈Geine Symmetrie vonO, so beschreibt diese Symmetrie eine Permutation der Elemente vonM. Zwei F¨arbungenf₁, f₂∈M ap(M, F) heißen¨aquivalent, wenn sie sich um eine solche Symmetrie unterscheiden, d.h. wennf₁ =f₂◦σ gilt¹.

Wir wollen im Weiteren nicht zwischen den Symmetrien und diesen Permutationen unter- scheiden und mit G die Gruppe der Permutationen der Elemente von M bezeichnen, die diesen Symmetrien entspricht. Dazu und um die Unterscheidbarkeit zu gew¨ahrleisten werden wir die Elemente von M durchnummerieren: M ={1, . . . , n}.

Beispiel: Finde die Anzahl aller M¨oglichkeiten, von den 6 Kanten eines regul¨aren Tetraeders drei rot und drei blau zu f¨arben, wobei zwei F¨arbungen als gleich gelten, wenn sie durch eine Drehung des Tetraeders ineinander ¨uberf¨uhrt werden k¨onnen. M = {1, . . . ,6} ist die (durchnummerierte) Menge der Kanten des Tetraeders, F ={rot,blau}. Ohne Ber¨ucksichti- gung der Symmetrien gibt es genau ⁶₃

= 20 verschiedene Kantenf¨arbungen der angegebenen Art (w¨ahle aus den 6 Kanten die drei rot zu f¨arbenden und f¨arbe die restlichen blau), mit Ber¨ucksichtigung der Symmetrien nur 4.

Zyklentyp und Zyklenzeiger

Wir wollen immer M = {1, . . . , n} annehmen. G besteht also aus Permutationen von n Elementen.

Jede Permutation σ ∈ G l¨asst sich auf eindeutige Weise in elementfremde Zyklen zerlegen.

Bestehtσ ausbi Zyklen der L¨angei, so nennen wir

ZT(σ) =x^b₁¹x^b₂² ·. . .·x^b_nⁿ

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1f₂◦σ steht f¨ur die Nacheinanderausf¨uhrung (Komposition) der beiden AbbildungenM →^σ M →^f2 F und bedeutetf₁(o) =f₂(σ(o)) f¨ur alle Teileo∈M, d.h. dass die Farbe f₁(o) vonoin der F¨arbungf₁ gleich der Farbef₂(σ(o)) vonσ(o) in der F¨arbungf₂ ist.

denZyklentypvonσ. Um den Zusammenhang zuσzu verdeutlichen, schreiben wir auchb_i(σ).

Insbesondere muss b₁+ 2b₂+· · ·+n bn=ngelten, da jedes Element von M in genau einem Zyklus vorkommen muss.

Das Polynom

ZG= 1

|G|

X

σ∈G

ZT(σ)

(das “arithmetische Mittel” der Zyklentypen aller Elemente vonG) bezeichnet man auch als denZyklenzeiger von G.

Beispiel: Gist die Gruppe der 12 Permutationen der Ecken eines Tetraeders:

• 4·2 = 8 Drehungen um eine Achse durch einen der vier Eckpunkte um±120^◦ haben den Zyklentyp x₁x₃: ein Einerzyklus – die Ecke auf der Drehachse – und ein Dreierzyklus – die anderen drei Eckpunkte.

• 3 Drehungen um eine Achse durch gegen¨uberliegende Kantenmitten um 180^◦ haben den Zyklentyp x²₂: die vier Eckpunkte werden durch eine solche Drehung paarweise vertauscht.

• Die identische Bewegung hat den Zyklentypx⁴₁.

Der Zyklenzeiger f¨ur diese Situation (TE=Tetraederecken) lautet ZT E= 1

12 x⁴₁+ 3x²₂+ 8x₁x₃

Der Polyasche Abz¨ ahlsatz

Wir besprechen hier nur die einfachste Form des Polyaschen Abz¨ahlsatzes, der den Fall be- handelt, wo mit zwei Farben (schwarz und weiß) gef¨arbt werden soll und die Anzahl schwarz zu f¨arbender Teile vorgegeben ist.

Ist zi die Anzahl der verschiedenen F¨arbungen mit genau i schwarzen Teilen und t eine Unbestimmte, so bezeichnen wir

γ =z₀+z₁t+z₂t²+. . . als Numerator(oder erzeugende Funktion) der Abz¨ahlaufgabe.

In der vorher beschriebenen Situation (M ={1, . . . , n}, SymmetriegruppeG als Permutati- onsgruppe von M, zwei Farben) k¨onnen wir auch den ZyklenzeigerZ(x₁, . . . , xn) berechnen.

Zwischen dem Numerator γ_G dieser Abz¨ahlaufgabe und dem Zyklenzeiger besteht folgender Zusammenhang

Satz 1 (Polyas Abz¨ahlsatz)

γ_G=Z 1 +t,1 +t², . . . ,1 +tⁿ .

Die Anzahl der verschiedenen F¨arbungen mit genau k schwarzen Objekten bekommt man also als Koeffizient vor t^k, wenn man im Zyklenzeiger f¨uri= 1, . . . , n die Variablexi durch1 +tⁱ ersetzt und das so entstehende Polynom expandiert.

Beweisskizze: Der Beweis beruht auf einer geschickten Formulierung des Abz¨ahlproblems und der Regel des doppelten Abz¨ahlens.

F¨ur eine F¨arbungf ∈M ap(M, F) mit genaukschwarzen Teilen bezeichnen wir mitw(f) =t^k dasGewicht dieser F¨arbung. Die Menge [f] ={f◦σ, σ∈G}aller zu f ¨aquivalenten F¨arbun- gen bezeichnet man als Orbit von f. F¨ur den Numerator ergibt sich dann

γ_G=X

f

w(f)

|[f]| ,

wobei ¨uberalleF¨arbung summiert wird, ohne dass wir uns um ¨Aquivalenz k¨ummern, aber jede F¨arbung nur mit einem solchen Bruchteil z¨ahlen, dass in der Summe jede ¨Aquivalenzklasse genau mit dem Faktor 1 gez¨ahlt wurde (w(f) ist auf allen F¨arbungen eines Orbits gleich).

Die Gr¨oße des Orbits h¨angt eng mit der Gr¨oße des Stabilisators G_f = {σ∈G, f◦σ =f} zusammen. Der Stabilisator enth¨alt alle Permutationen, die eine F¨arbung f invariant lassen.

Es gilt folgende Beziehung (Burnside-Lemma):

|G|=|[f]| · |G_f|

Beweis: Wir zeigen, dass die MengenGund [f]×Gf gleichm¨achtig sind. Sind [f] ={f₁, . . . , f_k} die zu f ¨aquivalenten F¨arbungen, fi = f ◦σi und f⁰ =f ◦τ f¨ur ein τ ∈ G, so muss f⁰ mit einem derf_i ubereinstimmen:¨

f⁰ =f_i, also f◦τ =f ◦σ_i

und folglich τ◦σ⁻_i ¹ ∈Gf. Zu jedem Element τ ∈G k¨onnen wir also ein Paar (fi, τ ◦σ_i⁻¹)∈ [f]×G_f angeben. Diese Beziehung ist offensichtlich eineindeutig.

F¨ur den Numerator ergibt sich damit die Formel γ_G=X

f

|G_f|

|G| w(f) = 1

|G|

X

f

|G_f|w(f) = 1

|G|

X

f∈F

X

σ∈G

e(f, σ)w(f)

! ,

wobei

e(f, σ) =

(1 f◦σ =f 0 sonst gesetzt ist. Nun doppeltes Abz¨ahlen: P

f

P

σ =P

σ

P

f. γ_G= 1

|G|

X

σ∈G



 X

f∈F

e(f, σ)w(f)



= 1

|G|

X

σ∈G



 X

f∈F^σ

w(f)



,

Die Summe im zweiten Summenzeichen geht bei fixierten σ uber all diejenigen¨ f ∈ M mit e(f, σ) = 1, also ¨uber die Menge

F^σ ={f ∈F, f ◦σ =f} aller unter σ invarianten F¨arbungen.

σ hat als Permutation eine eindeutige Zerlegung in elementfremde Zyklen. Eine F¨arbung ist unter σ invariant genau dann, wenn alle Teile innerhalb eines jeden Zyklus vonσ die gleiche

Farbe haben. Ein Zyklus der L¨angek kann also entweder k weiße oder k schwarze Teile zur Gesamtf¨arbung beitragen. Der Beitrag zum Numerator ist also 1 (kweiße) +t^k (k schwarze).

Ist (b₁, . . . , b_n) der Zyklentyp vonσ, so ist der Beitrag zum Numerator aller Elemente ausF^σ also gerade

(1 +t)^b1(σ) 1 +t²b₂(σ)

·. . .·(1 +tⁿ)^bn(σ),

da die Farbe der Zyklen unabh¨angig voneinander gew¨ahlt werden kann (Produktregel). Damit ergibt sich schließlich

γ_G=Z 1 +t,1 +t², . . . ,1 +tⁿ

Anwendung auf F¨ arbungen platonischer K¨ orper

Als Anwendung soll die folgenden drei Fragestellungen f¨ur die verschiedenen platonischen K¨orper studiert werden:

Gegeben ist ein platonischer K¨orperP. Wieviele wesentlich verschiedene F¨arbun- gen der Ecken, der Kanten, der Seitenfl¨achen dieses K¨orpers mit zwei Farben (schwarz und weiß) gibt es, bei denen genau k der Ecken bzw. Kanten bzw. Sei- tenfl¨achen schwarz gef¨arbt sind.

Zwei F¨arbungen heißen dabei wesentlich verschieden, wenn sie nicht durch eine Drehung von P ineinander ¨uberf¨uhrt werden k¨onnen.

Bezeichnetzkdie Zahl der F¨arbungen mit genauk schwarzen Teilen, so ist also der Numerator γ=z₀+z₁t+z₂t²+. . .

zu bestimmen. Dazu ist die oben entwickelte Theorie auf die Gruppe der Permutationen der Ecken bzw. Kanten bzw. Seitenfl¨achen von P anzuwenden, jeweils der Zyklenzeiger zu be- rechnen und daraus der Numerator zu bestimmen. Wir erhalten die Anzahl der m¨oglichen wesentlich verschiedenen F¨arbungen. K¨onnen nun genau so viele (bewiesendermaßen) ver- schiedene F¨arbungen angegeben werden, so haben wir einen vollen Satz von F¨arbungen der gesuchten Art gefunden.

Weitere Details siehe Diplomarbeit von Heike K¨uhne (PH Erfurt, 1985) Tetraeder

Die Drehgruppe des Tetraeders besteht aus 12 Elementen (warum?):

• Der identischen Abbildung ι;

• 4· 2 = 8 Drehungen um eine dreiz¨ahlige Achse durch einen der Eckpunkte und die gegen¨uberliegende SeitenmitteD_E^±;

• 3 Drehungen um eine zweiz¨ahlige Achse durch gegen¨uberliegende Kantenmitten D_K. Diese Drehgruppe induziert Permutationen der Ecken (T_E), Kanten (T_K) und Seitenfl¨achen (TF) des Tetraeders mit folgenden Zyklentypen:

Element Anzahl TE TK TF

ι 1 x⁴₁ x⁶₁ x⁴₁ D_E^± 8 x₁x₃ x²₃ x₁x₃ D_K 3 x²₂ x²₁x²₂ x²₂ Als Zyklenzeiger ergeben sich f¨ur die drei Abz¨ahlaufgaben²

Z_{T E}=Z_{T F} = 1

12 x⁴₁+ 8x₁x₃+ 3x²₂ Z_{T K} = 1

12 x⁶₁+ 8x²₃+ 3x²₁x²₂ und daraus als Numeratoren

γ_{T E}=γ_{T F} = t⁴+t³+t²+t+ 1

γ_{T K} = t⁶+t⁵+ 2t⁴+ 4t³+ 2t²+t+ 1 W¨urfel und Oktaeder

W¨urfel und Oktaeder sind zueinander dual: Die Mittelpunkte der Seitenfl¨achen eines W¨urfels bilden ein Oktaeder und umgekehrt. Deshalb haben beide K¨orper dieselbe Drehgruppe und es gibt eine eineindeutige Korrespondenz zwischen den Eckenf¨arbungen des W¨urfels und den Seitenf¨arbungen des Oktaeders usw., d.h. es gilt ZOE = ZW F, ZOK = ZW K, ZOF = ZW E. Wir beschr¨anken die Betrachtungen deshalb auf den Fall des W¨urfels.

Die Drehgruppe des W¨urfels besteht aus 24 Elementen (warum?):

• Der identischen Abbildung ι;

• 4·2 = 8 Drehungen um eine dreiz¨ahlige Achse durch zwei diametral gegen¨uberliegende Eckpunkte (Raumdiagonale) D^±_E;

• 3·3 = 9 Drehungen um eine vierz¨ahlige Achse durch zwei gegen¨uberliegende Seitenmit- ten D_F^± (±90^◦) und D_F⁰ (um 180^◦);

• 6 Drehungen um eine zweiz¨ahlige Achse durch gegen¨uberliegende Kantenmitten D_K. Diese Drehgruppe induziert Permutationen der Ecken (WE), Kanten (WK) und Seitenfl¨achen (W_F) des W¨urfels mit folgenden Zyklentypen:

Element Anzahl WE WK WF

ι 1 x⁸₁ x¹²₁ x⁶₁ D_E^± 8 x²₁x²₃ x⁴₃ x²₃ D_F^± 6 x²₄ x³₄ x²₁x₄ D_F⁰ 3 x⁴₂ x⁶₂ x²₁x²₂ D_K 6 x⁴₂ x²₁x⁵₂ x³₂

2ZT E=ZT F ist auch wegen der Selbstdualit¨at des Tetraeders klar: Die Seitenmitten eines Tetraeders bilden selbst wieder ein Tetraeder, was eine eineindeutige Beziehung zwischen den Ecken- und den Fl¨achenf¨arbungen des Tetraeders vermittelt.

Als Zyklenzeiger ergeben sich f¨ur die drei Abz¨ahlaufgaben Z_{W E} = 1

24 x⁸₁+ 8x²₁x²₃+ 6x²₄+ 9x⁴₂ Z_{W K} = 1

24 x¹²₁ + 8x⁴₃+ 6x³₄+ 3x⁶₂+ 6x²₁x⁵₂ ZW F = 1

24 x⁶₁+ 8x²₃+ 6x²₁x₄+ 3x²₁x²₂+ 6x³₂ und daraus als Numeratoren

γ_{W E} = t⁸+t⁷+ 3t⁶+ 3t⁵+ 7t⁴+ 3t³+ 3t²+t+ 1

γW K = t¹²+t¹¹+ 5t¹⁰+ 13t⁹+ 27t⁸+ 38t⁷+ 48t⁶+ 38t⁵+ 27t⁴+ 13t³+ 5t²+t+ 1 γ_{W F} = t⁶+t⁵+ 2t⁴+ 2t³+ 2t²+t+ 1

Dodekaeder und Ikosaeder

Ahnlich wie W¨¨ urfel und Oktaeder sind auch Dodekaeder aund Ikosaeder zueinander dual.

Wir k¨onnen uns deshalb auch hier auf die Betrachtung der F¨arbungsabz¨ahlaufgabe f¨ur einen der beiden K¨orper beschr¨anken.

Die Drehgruppe des Ikosaeders besteht aus 60 Elementen (warum?):

• Der identischen Abbildung ι;

• 6·4 = 24 Drehungen um eine f¨unfz¨ahlige Achse durch zwei diametral gegen¨uberliegende Eckpunkte (Raumdiagonale) D^±_E;

• 10·2 = 20 Drehungen um eine dreiz¨ahlige Achse durch zwei gegen¨uberliegende Seiten- mitten D^±_F;

• 15 Drehungen um eine zweiz¨ahlige Achse durch gegen¨uberliegende Kantenmitten D_K. Diese Drehgruppe induziert Permutationen der Ecken (I_E), Kanten (I_K) und Seitenfl¨achen (IF) des Ikosaeders mit folgenden Zyklentypen:

Element Anzahl I_E I_K I_F ι 1 x¹²₁ x³⁰₁ x²⁰₁ D^±_E 24 x²₁x²₅ x⁶₅ x⁴₅ D^±_F 20 x⁴₃ x¹⁰₃ x²₁x⁶₃ D_K 15 x⁶₂ x²₁x¹⁴₂ x¹⁰₂ Als Zyklenzeiger ergeben sich f¨ur die drei Abz¨ahlaufgaben

Z_IE = 1

60 x¹²₁ + 24x²₁x²₅+ 20x⁴₃+ 15x⁶₂ ZIK = 1

60 x³⁰₁ + 24x⁶₅+ 20x¹⁰₃ + 15x²₁x¹⁴₂ ZIF = 1

60 x²⁰₁ + 24x⁴₅+ 20x²₁x⁶₃+ 15x¹⁰₂

und daraus als Numeratoren

γ_IE = t¹²+t¹¹+ 3t¹⁰+ 5t⁹+ 12t⁸+ 14t⁷+ 24t⁶+ 14t⁵+ 12t⁴+ 5t³+ 3t²+t+ 1 γIK = t³⁰+t²⁹+ 11t²⁸+ 78t²⁷+ 483t²⁶+ 2423t²⁵+ 10025t²⁴+ 34112t²³+ 97890t²²

+ 238993t²¹+ 501507t²⁰+ 911456t¹⁹+ 1442875t¹⁸+ 1997499t¹⁷ + 2425320t¹⁶+ 2587100t¹⁵+ 2425320t¹⁴+ 1997499t¹³+ 1442875t¹² + 911456t¹¹+ 501507t¹⁰+ 238993t⁹ + 97890t⁸+ 34112t⁷

+ 10025t⁶+ 2423t⁵+ 483t⁴+ 78t³+ 11t²+t+ 1

γ_IF = t²⁰+t¹⁹+ 6t¹⁸+ 21t¹⁷+ 96t¹⁶+ 262t¹⁵+ 681t¹⁴+ 1302t¹³+ 2157t¹² + 2806t¹¹+ 3158t¹⁰+ 2806t⁹ + 2157t⁸+ 1302t⁷ + 681t⁶+ 262t⁵ + 96t⁴+ 21t³+ 6t²+t+ 1

Attribution Section graebe (2005-07-24):

Der erste Teil dieses Materials wurde f¨ur die Projektarbeit in Klasse 11/12 f¨urs Mathelager 2005 in Ilmenau erstellt und dort zusammen mit Teilen der Diplomarbeit von Heike K ¨uhne eingesetzt. Der zweite Teil (F¨arbungen der regul¨aren Polyeder) ist noch in kursorischer Form.