Ganzrationale Funktionen. 3 Paare ganzrationaler Funktionen: Die Ableitung

Frank Klinker

Ganzrationale Funktionen

Teil 2: Steigung und Ableitung, Extrema und Sattelpunkte

3 Paare ganzrationaler Funktionen: Die Ableitung

3.1 Die Ableitung zur qualitativen Beschreibung der Steigung einer Funktion

Zu einer vorgegebenen ganzrationalen Funktionen f(x) gibt es immer eine sehr spe- zielle weitere ganzrationale Funktion. Diese zweite Funktion hat die folgende quali- tative Eigenschaft:

Ob der Graph von f(x) steigt oder f¨allt, ist durch das Vorzeichen der Partner- funktion bestimmt.

Diese Partnerfunktion heißt die Ableitungsfunktion von f(x) oder auch kurz die Ableitung von f(x).

Wir schreiben:

f⁰(x) ist die Ableitung von f(x) Es gilt:

• f⁰(x) ist positiv an den Stellen, wo f(x) steigt

• f⁰(x) ist negativ an den Stellen, wo f(x) f¨allt

• f⁰(x) hat Nullstellen an den Stellen, wo die Steigung von f(x) neutral ist

Beispiel 1. In Abb. 1sieht man den Zusammenhang zwischen der Steigung von f(x) = 4x³−8x²+ 2x+ 1

und dem Vorzeichen der Ableitung

f⁰(x) = 12x²−16x+ 2.

Abbildung 1: Die Steigung von f(x) = 4x³−8x²+ 2x+ 1 und das Vorzeichen von f⁰(x) = 12x² −16x+ 2

3.2 Von f(x) zu f⁰(x): das Ableiten ganzrationaler Funktionen

Wir notieren zun¨achst einige Paare von Funktionen gem¨aß des vorigen Abschnitts.

Anschließend untersuchen wir die Systematik zur Konstruktion der Ableitungsfunk- tion zu einer vorgegebenen Funktion

f₁(x) = 4x³−8x²+ 2x+ 1 =⇒ f₁⁰(x) = 12x²−16x+ 2 f₂(x) =x⁵−3x³+ 3x²−3 =⇒ f₂⁰(x) = 5x⁴−9x²+ 6x f₃(x) = 2x³+ 4x²+ 9x+ 4 =⇒ f₃⁰(x) = 6x²+ 8x+ 9 f₄(x) =−3x⁷−x³+ 2x² =⇒ f₄⁰(x) =−21x⁶−3x²+ 4x

Zur Verdeutlichung der Systematik innerhalb der Paaref_i(x), f_i⁰(x) f¨uri= 1,2,3,4 schreiben wir die Tabelle ausf¨uhrlicher:

f₁(x), f₁⁰(x)

f₁(x) = 4x³ −8x² + 2x + 1 f₁(x) = 4·x³ −8·x² +2·x¹ +1·x⁰

↓ ↓ ↓ ↓

f₁⁰(x) = 4·3·x³⁻¹ −8·2·x²⁻¹ +2·1·x¹⁻¹ +1·0·x⁰⁻¹ f₁⁰(x) = 12x² −16x + 2

f₂(x), f₂⁰(x)

f₂(x) = x⁵ −3x³ + 3x² −3 f₂(x) = 1·x⁵ −3·x³ +3·x² −3·x⁰

↓ ↓ ↓ ↓

f₂⁰(x) = 1·5·x⁵⁻¹ −3·3·x³⁻¹ +3·2·x²⁻¹ −3·0·x⁰⁻¹ f₂⁰(x) = 5x⁴ −9x² + 6x

f₃(x), f₃⁰(x)

f₃(x) = 2x³ + 4x² + 9x + 4 f₃(x) = 2·x³ +4·x² +9·x¹ +4·x⁰

↓ ↓ ↓ ↓

f₃⁰(x) = 2·3·x³⁻¹ +4·2·x²⁻¹ +9·1·x¹⁻¹ +4·0·x⁰⁻¹ f₃⁰(x) = 6x² + 8x + 9

f₄(x), f₄⁰(x)

f₄(x) = −3x⁷ −x³ + 2x² f₄(x) = −3·x⁷ −1·x³ +2·x²

↓ ↓ ↓

f₄⁰(x) = 3·7·x⁷⁻¹ −1·3·x³⁻¹ +2·2·x²⁻¹ f₄⁰(x) = −21x⁶ −3x² + 4x

Wir fassen zusammen:

Die Ableitungsfunktion f⁰(x) einer ganzrationalen Funktion f(x)

Zu jedem Summanden von f(x) erh¨alt man den zugeh¨origen Summanden von f⁰(x), indem man

• den Vorfaktor der Potenz vonxmit dem Exponenten der Potenz multipliziert und

3.3 Die Ableitung zur quantitativen Beschreibung der Steigung einer Funktion

Abgesehen von den obigen qualitativen Aussagen, k¨onnen wir noch weitergehende Beobachtungen machen. Dazu betrachten wir die Paare ganzrationaler Funktionen aus Abb. 2.

Zum Einen erkennen wir auch hier die Vorzeicheneigenschaft der Ableitungsfunktion;

d. h. das Vorzeichen der Ableitungsfunktion beschreibt qualitativ die Steigung der Funktion, siehe Abb. 1.

Allerdings kann man den Zusammenhang noch detaillierter ausdr¨ucken: Der Wert der Ableitungsfunktionf⁰(x₀) an einer speziellen Stellex=x₀ gibt uns an, wie stark die Funktion in dem Punkt (x₀/f(x₀)

steigt bzw. f¨allt.

• In Abb.2.1 beschreibt die Funktionf(x) = 10x−5 eine Gerade von dieser wissen wir, dass sie eine konstante Steigung hat (die wir z.B ¨uber ein Steigungsdreieck berechnen k¨onnen, m = 10). Das bedeutet, dass die Steigung an jeder Stelle die gleiche ist. Berechnen wir die Ableitungsfunktion f⁰(x) = 10, so ist diese Funktion konstant. Das heißt sie gibt an jeder Stelle den Wert 10 aus, was genau der Steigung entspricht.

• Zumindest qualitativ sehen wir den Zusammenhang zwischen der Gr¨oße der Steigung der Funktionf(x) und den Werten seiner Ableitungsfunktion auch in den anderen Beispielen aus Abb. 2:

– Je st¨arker eine Funktion steigt, desto gr¨oßer ist der positive Wert der Ab- leitungsfunktion.

– Je st¨arker eine Funktion f¨allt, desto kleiner ist der negative Wert der Ablei- tungsfunktion.

Wir pr¨azisieren das wie folgt:

Die Ableitung als Maß f¨ur die Steigung einer Funktion

Sind eine Funktion f(x) und ihre Ableitungsfunktion f⁰(x) gegeben, so gilt:

Der Wert f⁰(x₀) der Ableitungsfunktion an der Stelle x₀ ist das Maß f¨ur die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x₀.

Abbildung 2: Beispiele ganzrationaler Funktionen und ihrer Ableitungen

f(x) = 10x−5 f⁰(x) = 10

f(x) = 4x²+ 16x+ 10 f⁰(x) = 8x−16

f(x) =x³−13x²+ 48x−42 f⁰(x) = 3x²−26x+ 48

f(x) =−2x³+ 17x²−69x+ 136 f⁰(x) =−6x²+ 34x−69

f(x) = 2x³−18x²+ 54x−44 f⁰(x) = 6x²−36x+ 54

f(x) =₁₂¹x⁴−⁵₃x³+ 10x²−17²₃x+ 7¹₃

f⁰(x) = ¹₃x³−5x²+ 20x−17²₃ f(x) =x⁵−12x⁴+ 43x³−36x²−44x+ 68 f⁰(x) = 5x⁴−48x³+ 129x²−72x−44

4 Neutrale Steigung: Extrema und Sattelpunkte

Wir schauen uns nun die Stellen genauer an, an denen eine Funktion f(x) neutrale Steigung hat, das heißt, wo sie weder f¨allt noch steigt. Dies sind genau die Nullstellen der Ableitung f⁰(x). Die zugeh¨origen Punkte der Funktion f(x) haben besondere Eigenschaften.

In Abb. 1und auch in Abb. 2 sehen wir, dass die Nullstellen der Ableitung oftmals (aber nicht immer) ein Maximum oder ein Minimum der Funktion beschreiben.

Ein Punkt mit neutraler Steigung, der kein Maximum oder Minimum ist, heißt Sattelpunkt. Ein Maximum oder ein Minimum nennt man auch Extremum.

Punkte mit neutraler Steigung

Hat die Ableitungf⁰(x) eine Nullstelle in x=x₀, dann ist der Punkt x₀/f(x₀)

• einMaximum von f(x), wenn f⁰(x) an der Stelle x=x₀ das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt.

• ein Minimumvon f(x), wenn f⁰(x) an der Stelle x=x₀ das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt.

• ein Sattelpunkt von f(x), wenn f⁰(x) an der Stelle x = x₀ das Vorzeichen nicht wechselt.

Beispiel 2. a) Wir untersuchen als erstes Beispiel die allgemeine quadratische Funktionen

f(x) =ax²+bx+c auf Extrema.

Wir haben das bereits fr¨uher gemacht, indem wir z. B. die quadratische Funk- tion von der Normalform in die Scheitelpunktform gebracht und den Scheitel- punkt abgelesen haben, siehe z. B. https://youtu.be/jsbVtNa5-hg

Mit unseren neuen Mitteln finden wir diesen Scheitelpunkt, indem wir zun¨achst die Ableitungsfunktion berechnen:

f⁰(x) = 2ax+b .

Das Extremum liegt an der Nullstelle der Ableitung. Dass es sich hier tats¨achlich um ein Extremum handelt und nicht um einen Sattelpunkt, liegt daran, dass die Ableitung als lineare Funktion an der Nullstelle das Vorzeichen wechselt.

f⁰(x) = 0 ⇐⇒ 2ax+b = 0 ⇐⇒ x=− b 2a. Als Funktionswert erhalten wir

b b 2 b

und das gibt den Scheitelpunkt SP

− b 2a

.4ac−b² 4a

.

b) Als zweites Beispiel bestimmen wir zun¨achst die m¨oglichen Extremstellen der Funktion f(x) = 4x³+ 36x²−84x−400. Dazu ben¨otigen wir die Nullstellen der Ableitung

f⁰(x) = 12x²+ 72x−84. Wir bekommen

12x²+ 72x−84 = 0 ⇐⇒ x²+ 6x−7

⇐⇒ x1,2 =−6 2 ±

r 6

2 2

+ 7

⇐⇒ x_1,2 =−3±4 =−7 ; 1

Unsere m¨oglichen Extrema liegen also an den Stellen x=−7 undx= 1.

Eine quadratische Funktion mit zwei Nullstellen wechselt an beiden Nullstellen das Vorzeichen. Unsere beiden berechneten Stellen sind solche Nullstellen einer quadratischen Funktion und damit sind die zugeh¨origen Punkte Extrema.

Wir berechnen

f(−7) = 580 und f(1) =−444,

sodass M₁(−7/580) das Maximum und M₂(1/−444) das Minimum ist.

VORSICHT Auch wenn wir hier stets von Extrema und Maximum oder Mini- mum sprechen, so muss man sich klar machen, dass das nur lokale Extrema sind.

Das heißt, wenn man sich in der N¨ahe des Punktes befindet, dann findet man keine gr¨oßeren bzw. kleineren Funktionswerte.

Sieht man sich die Funktion allerdings im Großen an, so kann es selbstverst¨andlich gr¨oßere oder kleinere Funktionswerte geben. Das folgt bereits aus dem Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion f¨ur betragsm¨aßig großex-Werte, siehe Teil 1, Abschnitt 2.

5 Charakterisierung ganzrationaler Funktionen dritten Gra- des

Wir nutzen das Erarbeitete nun, um die ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 zu charakterisieren. Die Ableitung einer Funktion dritten Grades ist immer eine quadratische Funktion.

3) oder sie hat keine Nullstelle.

F¨ur die Funktion dritten Grades bedeutet das dann:

1) Sie hat zwei Extrema, siehe auch Beispiel 2a) 2) oder sie hat einen Sattelpunkt

3) oder sie hat keine neutrale Stelle.

Wir fassen zusammen: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat entweder zwei Extrema, f₁(x), oder einen Sattelpunkt, f₂(x), oder kein Extremum, f₃(x).

Nehmen wir an, dass der Leitkoeffizient positiv ist, dann kann eine solche Funktion dritten Grades einen der qualitativen Verl¨aufe aus Abb. 3haben.

Indem wir die Funktionenf₁(x), f₂(x) und f₃(x) nach oben oder unten verschieben, sehen wir, dass die Funktionen die folgende Anzahl an Nullstellen haben k¨onnen.

• Eine Funktion mit dem typischen Verlauf von f₁(x) kann entweder eine, zwei oder drei Nullstellen haben.

• Eine Funktion mit dem typischen Verlauf vonf₂(x) oderf₃(x) hat immer genau eine Nullstelle.

Abbildung 3: Typischer Verlauf der Graphen ganzrationaler Funktionen dritten Gra- des (hier:f₁(x) = 4x³−8x²+x+2,f₂(x) =x³−3x²+3x−4,f₃(x) = 2x³+4x²+5x+4)