Formale Methoden 1

Formale Methoden 1

Gerhard J¨ager

Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de

Uni Bielefeld, WS 2007/2008

7. November 2007

Geordnete Paare

• Mengen sind ungeordnet: {a, b}={b, a}

• f¨ur viele Anwendungen braucht man geordnete Strukturen

• einfachstes Beispiel: geordnete Paarha, bi

• geordnet:

Wenna6=b, dannha, bi 6=hb, ai.

• extensional:

ha1, b₁i=ha2, b₂igenau dann wenna₁=a₂ undb₁=b₂.

Mengentheoretische Definition ha, bi .

={{a},{a, b}}

Geordnete Paare und Tupel

• mengentheoretische Definition erf¨ullt ihren Zweck, denn:

• Wenna6=b, dann{{a},{a, b}} 6={{a},{a, b}}.

• {{a1},{a1, b1}}={{a2},{a2, b2}}genau dann wenna1=a2

undb1=b2.

• geordnete n-Tupel k¨onnen rekursiv als geordnete Paare definiert werden:

ha, b, ci .

= hha, bi, ci ha, b, c, di .

= hha, b, ci, di ...

ha₁, . . . , a_ni = hha₁, . . . , an−1i, a_ni

Das Cartesische Produkt

• Cartesisches Produkt:

• Operation zwischen zwei Mengen

• Notation:A×B

• Menge aller geordneten Paare, bei denen das erste Element aus Akommt und das zweite Element ausB:

A×B={ha, bi|a∈A undb∈B}

Das Cartesische Produkt

• Beispiele:

• SeiK={a, b, c}undL={1,2}.

K×L = {ha,1i,ha,2i,hb,1i,ha,2i,hc,1i,hc,2i}

L×K = {h1, ai,h1, bi,h1, ci,h2, ai,h2, bi,h2, ci}

K×K = {ha, ai,ha, bi,ha, ci,hb, ai,hb, bi,hb, ci, hc, ai,hc, bi,hc, ci}

L×L = {h1,1i,h1,2i,h2,1i,h2,2i}

K× ∅ = ∅ L× ∅ = ∅

Beobachtung: WennAund B endlich sind, dann gilt:

|A×B|=|A| × |B|

Das Cartesische Produkt

• Cartesisches Produkt zwischen mehr als zwei Mengen:

• A×B×C .

= (A×B)×C

• analog f¨ur mehr als drei Mengen

• A×B×C ist die Menge aller Tripel (

”3-Tupel“), so dass die erste Komponente eine Element vonAist, die zweite ein Element vonB, und die dritte ein Element vonC

• gilt wiederum sinngem¨aß auch f¨ur mehr als drei Mengen

• Notationen:

• Π_1≤i≤nAi .

=A1×A2× · · · ×An (nicht mit den Projektionen verwechseln!)

• Aⁿ .

=A× · · · ×A

| {z }

nmal

Projektionen

• Projektions-Operationen bilden ein geordnetes Paar auf eine seiner Komponenten ab:

π₀(ha, bi) .

= a π₁(ha, bi) .

= b

• Außerdem Projektionen von Mengen von geordneten Paaren aus die Menge der ersten bzw. zweiten Elemente:

Π0(R) .

= {x|Es gibt eina∈R so dassπ0(a) =x}

Π1(R) .

= {x|Es gibt eina∈R so dassπ1(a) =x}

Relationen

• Intuitiv:

• Eine (bin¨are) Relation ist eine Beziehung zwischen zwei Objekten.

• Kann durch transitive Verben oder Konstruktionen wie [Nomen] von/ [Adjektiv im Komparativ] als ausgedr¨uckt werden

• Beispiele:

• Mutter von

• gr¨oßer als

• Vorg¨anger von

• liebt

• interessiert sich f¨ur

• . . .

Relationen

• mathematische Modellierung: extensional

• Wichtig ist nur, welche Objekte in der fraglichen Relation stehen; nicht, wie die Relation charakterisiert ist.

• Z.B.: Wenn jeder Mensch (im Diskursuniversum) seinen Ehepartner liebt und niemand jemanden anderen liebt als seinen Ehepartner, dann gelten

”liebt“ und

”ist Ehepartner von“ als die selbe Relation.

Relationen

• Notation:

• Relationen werden h¨aufig notiert alsR, S, T, . . .

• ”asteht in RelationRzu b“ wird geschrieben alsR(a, b), oder RaboderaRb.

• Eine Relation ist eine Menge von geordneten Paaren.

Definition

R ist eine Relation gdw. es MengenA und B gibt so dass R⊆A×B.

Die NotationRab (R(a, b), aRb) steht also f¨urha, bi ∈R.

Relationen

SeiR⊆A×B.

• R ist eine Relation zwischenA und B.

• Π0(R)⊆A

• Π₁(R)⊆B

• Π₀(R)ist der DefinitionsbereichvonR (engl.: Domain)

• Π₁(R)ist der WertebereichvonR (engl.: Range)

R ist eine Menge, also sind auch mengentheoretische Operationen definiert. Z.B.:

R⁰ =A×B−R

Relationen

Inverse Relation SeiR⊆A×B.

• R⁻¹ ist die inverse RelationzuR.

• Rab gdw. R⁻¹ba

• R⁻¹ .

={ha, bi ∈B×A|hb, ai ∈R}

• Π0(R) = Π1(R⁻¹)

• Π₁(R) = Π₀(R⁻¹)

Relationen

Beispiel:

• A={1,2,3}

• B ={a, b, c}

• R={h1, ai,h1, ci,h2, ai}

• Π0(R) ={1,2} ⊆A

• Π₁(R) ={a, c} ⊆B

• R⁰ ={h1, bi,h2, bi,h2, ci,h3, ai,h3, bi,h3, ci}

• R⁻¹={ha,1i,hc,1i,ha,2i}

Relationen

• Relationsbegriff kann auf mehrstellige Beziehungen erweitert werden

• Beispiele f¨ur dreistellige Relationen:

”zwischen“,

”Eltern von“, ...

• Formal: einen-stellige Relation ist eine Mengen vonn-Tupeln.

• R⊆A₁× · · · ×A_n

Funktionen

• Funktion: besondere Art Relation

• f ⊆A×B ist eine Funktion genau dann wennjedem Element von A genau einElement von B zugeordnet ist

Beispiel:

• A={a, b, c}und B ={1,2,3,4}

• Funktionen:

P = {ha,1i,hb,2i,hc,3i}

Q = {ha,3i,hb,4i,hc,1i}

R = {ha,3i,hb,2i,hc,2i}

• keine Funktionen:

S = {ha,1i,hb,2i}

T = {ha,2i,hb,3i,ha,3i,hc,1i}

V = {ha,2i,ha,3i,hb,4i}

Funktionen

• Notation und Begrifflichkeit:

• f¨ur Funktionen werden h¨aufig die Buchstabenf, g, F, G, H usw. verwendet

• f :A7→B steht f¨ur

”f ist eine Funktion undf ⊆A×B“

• f(a) =b steht f¨ur

”ha, bi ∈f“

• Elemente des Definitionsbereichs heißenArgumenteder Funktion.

• Elemente des Wertebereichs heißenWerteder Funktion.

• F heißtsurjektivgdw. jedes Element von B mindestens einem Argument zugeordnet ist, alsoΠ1(F) =B.

• F heißtinjektiv(oder

”eineindeutig“) gdw. jedes Element von B maximal einem Argument zugeordnet ist.

• F heißtbijektiv(oder

”umkehrbar“), wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Funktionen

• Funktionen werden h¨aufig als ¨uber eine Regel definiert, die es erlaubt, aus jedem Argument den zugeh¨origen Wert zu gewinnen.

• Beispiele:

• f(x) =x+ 2

• g(x) =x²

• h(x) = 3x²+ 2x+ 1

• Um zu wissen, um welche Funktion es sich dabei jeweils handelt, muss der Definitions- und Wertebereich bekannt sein.

• Frage: Unter welchen Bedingungen definieren die genannten Regeln injektive, surjektive bzw. bijektive Funktionen?

Mehrstellige Funktionen

• Definitionsbereich einer Funktion kann selber eine Relation sein

• Beispiel:

• A={1,2},B={a, b},C={α, β}

• F :A×B7→C

• F ={h1, a, αi,h1, b, αi,h2, a, βi,h2, b, αi}

• StattF(h1, ai) usw. schreibt man auch F(1, a) usw.

• Wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine n-stellige Relation ist, spricht man von einer n-stelligen Funktion.

• Merke:n-stellige Funktionen sind n+ 1-stellige Relationen!