Vorlesungen über Massivbau

Fritz Leonhardt

Vorlesungen über

Massivbau

Vierter Teil

Nachweis der Gebrauchsfähigkeit

Rissebeschränkung, Formänderungen,

Momentenumlagerung und Bruchlinientheorie im Stahl betonbau

Von F Leonhardt

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1976

Dr.-Ing. Dr.-Ing. E. h. dr. techn. h. c. FRITZ LEONHARDT em. Professor am Institut fur Massivbau der Universităt Stuttgart

Mit 170 Abbildungen

ISBN 978-3-540-07930-9 ISBN 978-3-662-08900-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-08900-2

Library of Congress Cataloging in Publication Data Leonhardt, Fritz, 1909-Naehweis der Gebrauehsfăhigkeit.

(His Vorlesungen Ober Massivbau; T. 4) Bibliography: p.

1. Reinforced concrete construction. 1. Title.

II. Series

TA681.L58 T.4 [TA683) 624'.1834'08s [624'.1834) 76-40325

Das Werk ist urheberreehtlieh gesehOtzt. Die dadureh begrOndeten Reehte, insbesondere die der Obersetzung, des Naehdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomeehanisehem oder ăhnliehem Wege und der Speieherung in Datenverarbeitungsanlagen biei ben aueh bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten.

Bei Vervielfăltigungen fOr gewerbliehe Zwecke ist gemăB § 54 UrhG ei ne Vergiitung an den Veriag zu zahlen, deren Hohe mit dem Verlag zu vereinbaren ist.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1976

UrsprOnglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1976 Softcover reprint of lhe hardcover 1 SI edition in 1976

Die Wiedergabe von Gebrauehsnamen, Handelsnamen, Warenbezeiehnungen usw. in diesem Buehe berechtigt aueh ohne besondere Kennzeiehnung nieht zu der Annahme, daB solehe Namen im Sinne der Warenzeiehen- und Markensehutz-Gesetzgebung als trei zu betraehten wăren und daher von jedermann benutzt werden dOrften.

Gesamtherstellung: fotokop wilhelm weihert kg, Darmstadt

Vorwort

Die Erfahrungen mit Stahlbetonbauten im letzten Jahrzehnt lehrten uns, daß wir uns mehr als bisher mit dem Verhalten der Tragwerke im Gebrauchszustand, also unter den ständigen oder häufigen Einwirkungen,beschäftigen müssen. Bei der hohen Ausnutzung der Baustoffe und den immer kühner werdenden Entwürfen der Ingenieure genügt es nicht mehr, die Be- messung allein für die Tragfähigkeit mit vorgeschriebener Sicherheit durchzuführen, viel- mehr muß auch ein einwandfreies Verhalten im Gebrauchszustand gewährleistet werden.

Hier spielen die bei der Bemessung vorausgesetzten Risse im Beton eine wesentliche Rolle, weil jeder sichtbar werdende Riß beim Laien den Eindruck einer beginnenden Zerstörung oder einer Gefahr erweckt. Die Bewehrung muß daher so bemessen und angeordnet werden, daß die Rißbreiten auf ein in der Regel unsichtbares Maß beschränkt werden. Auch Durchbie- gungen haben wiederholt zu Schäden oder zu einer Beeinträchtigung der Gebrauchsfähigkeit geführt. Dieser vierte Teil ist daher hauptsächlich den wissenschaftlichen Grundlagen für entsprechende Gebrauchsfähigkeitsnachweise gewidmet.

Die Grundlagen für die Berechnung von Rißbreiten im Beton haben trotz vieler Forschungs- arbeiten noch keinen befriedigenden Stand erreicht. Der Verfasser versucht,in diesem Band einige neue Gedanken zur Rissebeschränkung einzuführen,und geht damit über das hinaus, was er in den vergangenen Jahren in Vorlesungen behandelt hat. Er hinterläßt damit seine Einsichten und Erkenntnisse als Anregung und in der Hoffnung, daß auf diesem Gebiet weitere Forschungsarbeiten bald die nötige Abklärung bringen. Der Stoff ist trotzdem so behandelt, daß auch der in der Praxis stehende Ingenieur im Bedarfsfall damit arbeiten kann und auf alle Fälle brauchbarere Ergebnisse erhält als bei Anwendung früherer Regeln. Die Bemessung der Bewehrung für Rissebeschränkung in der Praxis sollte ohnehin in der Zukunft möglichst mit einfachen Kurventafeln vorgenommen werden. Vorschläge solcher Tafeln sind hier ent- halten.

Die Berechnung der Formänderungen von Tragwerken beherrschen wir seit langem, wenn wir es mit homogenen, isotropen Baustoffen zu tun haben, die sich nach bekannten Verformungs- gesetzen verhalten. Beim Verbundbaustoff Stahlbeton können wir entsprechend die Formände- rungen für den Zustand I, also für den Zustand vor dem Auftreten von Rissen im Beton, aus- reichend genau berechnen. Für Formänderungen im Zustand II (Zugzone des Betons gerissen) haben wir bisher meist die Querschnittswerte unter Ausschluß der auf Zug beanspruchten Be- tonflächen angesetzt und die Mitwirkung des Betons in Zugzonen durch einen empirischen Fak- tor berücksichtigt. In der Praxis zeigte sich bald, daß die so für Zustand II berechneten Formänderungen, z. B. Durchbiegungen, in den meisten Fällen viel zu groß ermittelt waren, entsprechend wurden häufig Decken und Unterzüge zu stark überhöht, was zu BeanstandWlgen führte. Durch Versuche war längst bekannt, daß siCh die Rißbildung über einen erheblichen Lastbereich erstreckt und daß unter ständigen oder häufigen Lasten die Rißbildung nur teil- weise zustande kommt, so daß die Formänderungen weit hinter denen für den voll entwickel- ten Zustand II zurückbleiben. Auch hier war es also nötig, für diesen Rißbildungsbereich neue Wege zu beschreiten, um zu wirklichkeitsnahen Ermittlungen der im Gebrauchsbereich entstehenden Formänderungen der Stahlbetontragwerke zu gelangen. Dies ist hier versuchs- weise geschehen, auch hier ist eine weitere Abklärung erwünscht.

IV Vorwort

Natürlich sind die Grundlagen zur Ermittlung von Formänderungen der Stahlbetontragwerke auch für den Zustand I und den "nackten" Zustand II sowohl für Biegung als auch für Schub und Torsion dargestellt. Auch der Fall kombinierter Biegung, Querkraft und Torsion ist nach den Vorschlägen von B. Thürlimann und P. Lüchinger, Zürich, behandelt. Für den Rißbildungsbereich sind in der Praxis anwendbare Regeln gegeben. Für dieses Gebiet wäre es erwünscht, für die Praxis Hilfstafeln der Momenten-Krümmungsbeziehungen oder Tafeln zur direkten Ermittlung von Durchbiegungen einfacher Platten und Balken herauszubringen.

Solche Tafeln sollen demnächst in einem Handbuch des CEB/FIP verfügbar sein.

Die Formänderungen werden nicht nur für den elastischen Bereich der Zustände I und II be- handelt, sondern auch für den plastischen Bereich (Zustand III). Im Zusammenhang mit den Formänderungen werden die durch unterschiedliche Steüigkeiten entstehenden oder planmäßig herbeigeführten Momentenumlagerungen beschrieben. Dabei wird besonders hervorgehoben, daß die für den elastischen Bereich des Zustandes II schon unter Gebrauchslasten nachweis- bare Momentenumlagerung in vielen Fällen zu konstruktiven Ulld wirtschaftlichen Vorteilen führt.

Den Abschluß bildet ein von Prof. E. Mönnig bearbeitetes Kapitel über die Bruchlinientheorie, ein für Flächentragwerke anwendbares Traglastverfahren, das den Studenten hier zur Kennt- nis gebracht wird, weil diese Theorie in unseren Nachbarländern gern angewandt wird.

Dieser vierte Teil der VORLESUNGEN ist in vielen Abschnitten besonders für Vertiefer im Massivbau gedacht, die sich in die Feinheiten der Berechnung und Bemessung hauptsächlich für Gebrauchsfähigkeit einarbeiten wollen. Er soll darüber hinaus Anregungen für die wei- tere Entwicklung geben.

Bei dem angeführten Schrifttum haben wir uns wieder auf die für die Entwicklung grundlegen- den Arbeiten und auf wesentliche neuere Beiträge beschränkt.

Bei der Erstellung des Manuskriptes hat Herr Dip!. -Ing. W. Dietrich in verdienstvoller Wei- se mitgewirkt. Prof. E. Mönnig hat mit der ihm eigenen Gründlichkeit, .sorgfalt und Sach- kenntnis die Texte überprüft und korrigiert. Der Verfasser dankt Frau M. Martenyi für die pünktliche Herstellung der vielen Zeichnungen und insbesondere Frau I. Paechter für das ge- duldige und sorgfältige Herstellen der Reinschrift sowie Herrn cand. ing. M. Neuser für sei- ne Hilfe. Besonderer Dank gebührt wieder dem Verlag für sein Bemühen, den Preis dieser Vorlesungsumdrucke mäßig und damit für Studenten erschwinglich zu halten, ohne seine An- forderungen an die Qualität zu senken.

Stuttgart, August 1976 F. Leonhardt

Inhaltsverzeichnis

1. Nachweise für Gebrauchsfähigkeit . . . ... 1 1.1 Anforderungsgrade der Nutzung im Gebrauchsbereich

1.2 Grenzwerte des Verhaltens der Tragwerke.

2. Rissebeschränkung, Begrenzung der Rißbreiten 2.1 Einführung . .

2.1.1 Rißbildung und Zweck der Rissebeschränkung . 2.1.2 Arten der Risse . . . .

2. 1. 3 Zur Definition der Rißbreite w ..

2.2 Vorgänge bei der Rißbildung . . . . 2.2.1

2.2.2 2.2.3 2.2.4

Spannungs sprung im Stahl und Verbundstörung beim 1. Riß Rißabstände in bewehrten Zugzonen - Rißbildungsgrade . Rißabstände bei relativ zu d niedrigen Zugzonen

Wirkungszone der Bewehrung F bw . 2.3 Ermittlung der Rißabstände für die Praxis.

2.3.1 Einführung von k-Faktoren 2. 4 Ermittlung der Rißbreiten . . . .

2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4

Die Entwicklung der Rißbreite bei Erstbelastung . Einfluß von Lastwiederholungen und Lastdauer Die kritische Rißbreite . . . . Formeln für die kritische Rißbreite . . . .

2.5 Einfluß der Abweichung der Bewehrungsrichtung von der Spannungs- richtung auf die Rißbreite . . . .

2.6 Rißbreitenbeschränkung nach DIN 1045 . 2.6.1 Herleitung der Formel . . . .

2.6.2 kein Rißnachweis für Uz ^;§; 0,3 % - ein Irrtum

2.7 Praktische Anwendung der Erkenntnisse zur Rissebeschränkung bei Zug und Biegung . . . . 2. 7. 1 Diagramme für Rissebeschränkung bei Zug durch Zwangspannungen

1 2 3 3 3 4 7 7 7 12 14 14 16 16 18 18 22 23 23 25 25 25 26 27 oder Lastspannungen . . . 27 2.7.2 Diagramme für Biegung und Biegung mit Längskraft

(Zug oder Druck) . . . 30 2.7.3 Einfluß von Schwinden und Temperatur auf die Rißbreite . 33 2.7.4 Rissebeschränkung bei Spannbetonträgern mit beschränkter,

mäßiger bzw. teilweiser Vorspannung . 34

2.8 Beschränkung von Schubrißbreiten . . . . 2.8.1 Schubrißbreiten in Stegen von Balken . . . . 2.8.2 Schubrißbreiten in Platten oder dicken Stegen.

36 36 38

VI

2.9

Inhaltsverzeichnis

Beschränkung der Torsions-Rißbreiten . 2. 9.1

2. 9.2 2. 9. 3 2.9.4

Vorbemerkung . . . .

Die maßgebende Stahlspannung (jeT' • . . . Berechnung der Rißbreiten bei Torsion für (90⁰+ OO)-Bewehrung Rißbreiten bei Torsion für 45⁰-Bewehrung . . . .

39 39 39 40 42 2.10 Beschränkung der Breite von Oberflächenrissen infolge von Eigenspannungen 42

2.11 Rißbreitenbeschränkung ohne Bewehrung 42

2. 12 Beispiele der Anwendung. . . 44

2.13 Praktische Hinweise, Nachweisgrenzen • 56

2.14

2.

13. 1 2. 13. 2

Nachweis der Rissebeschränkung kann entfallen Stababstände der Bewehrungen .

Mindestbewehrungen . . . .

56 57 57

3. Formänderungen der Betontragwerke - Allgemeines. 61

61 61 61 3. 1 Zweck der Berechnung von Formänderungen .

3.2

3.3

3.4 3.5

3.1. 1

3. 1.2 Für die Sicherung der Gebrauchsfähigkeit Für die Sicherung der Tragfähigkeit . . . .

Ursachen, Arten, Rechengrößen und Streuung der Formänderungen 3. 2. 1

3.2.2

3.2.3 3.2.4

Ursachen und Arten • • . . . Rechenwerte der Steifigkeiten . . . . 3.2.2.1

3.2.2.2 Baustoffkennwerte E e und Eb . Querschnittswerte .

Streuung der Steifigkeiten Schwind- und Kriechbeiwerte .

Die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

3. 3. 1 Einfluß von Art und Grad der Beanspruchung auf die mittlere Dehnung von Zugstäben . . . . 3.3.2 Annahmen für die rechnerische Erfassung der Mitwirkung des

Betons zwischen den Rissen . . . .

Annahmen für die Streubreite der Steifigkeiten . . . . Annahmen für die Berücksichtigung von Lastwiederholungen 4. Verformungen durch Längskraft, Dehnsteifigkeit' . . . .

4.1 4.2

Verkürzung von Druckgliedern bei mittigem Druck Kurzzeit und Dauerlast . . . . Verlängerung von Zuggliedern bei mittigem Zug 4.2.1

4.2.2

Zustand I bei Kurzzeit- und Dauerlast . Zustand II bei Kurzzeit- und Dauerlast 5. Verformungen durch Biegung, Biegesteifigkeit

- ohne Schubverformung und ohne Längskraft - 5.1

5.2 5. 3 5.4 5.5 5.6

Grundlagen zum Verständnis, einfach dargestellt Biegesteifigkeit im Zustand I . . . .

Biegesteifigkeit im Rißbildungsbereich - nur für I-l < 0,7 o/a von Bedeutung.

Biegesteifigkeit im Zustand II, abgeschlossene Rißbildung Biegesteifigkeit im nackten Zustand II . . . .

Verlauf der Biegesteifigkeiten bei steigender Biegebeanspruchung

61 61 62 62 65 66 66 67 67 70 72 73 75 75 79 79 80

85 85 88 89 90 91 95

Inhaltsverzeichnis

5.7 Die Berechnung von Durchbiegungen fo bei Erst- und Kurzzeitlast . 5. 7.1 Verschiedene Abhängigkeiten . . . .

5.7.2 Ermittlung der anfänglichen Durchbiegung fo ... . 5.7.3 Vereinfachte Verfahren für fo ... . 5.7.4 Verminderung der anfänglichen Durchbiegung durch Druck- gurtbewehrung . . . . 5.8 Berechnung der Durchbiegung bei Dauerlast (Kriechen u. Schwinden)

5. 8. 1 Durchbiegung infolge Kriechen des Betons und Einfluß von Biegedruckbewehrung . . . . 5.8.2 Durchbiegung infolge Schwinden des Betons im Zustand II . 5. 9 Weitere Hinweise zur Durchbiegung . . . .

5.9.1 Durchbiegung bei Biegung mit Längskraft und bei besonderen Querschnitten . . . . . . . 5.9.2 Einige Hilfsmittel für verschiedene statische Systeme und

Belastungen . . . . 5.10 Verhütung von Schäden durch Durchbiegungen von Stahlbetontragwerken

VII

96 96 97 99 101 101 101 104 106 106 106

und Begrenzung der Durchbiegung . . . 109

5.10.1 5.10.2 5.10.3

Häufige Schadensarten und Abhilfe . . . . Vorbeugung gegen Schäden . . . . Begrenzung der Durchbiegungen und Schlankheiten J, / d 6. Verformungen durch Querkraft, Schubverformungen, Schubsteifigkeiten

6.1 6.2 6.3

6.4 6.5

Überblick, praktische Bedeutung

Schubverformungen im Zustand I (in der Praxis vernachlässigbar ) . Schubverformungen im Zustand II . . . . 6. 3. 1

6.3.2 6. 3. 3

Wichtige Vorbemerkung . . . . Theoretische Grundformeln für die Schubsteifigkeit im nackten Zustand II mit dem Modell des Fachwerkes mit parallelen Gurten Empirische Anpassung der Grundformel für Zustand II an die wirklichen Verhältnisse mit erweiterter Fachwerkanalogie . Nachträgliche Schubverformungen durch Kriechen und Schwinden des Betons im Zustand II . . . .

Einige Angaben zur Beurteilung der Schubsteifigkeit . . . . 6.5.1

6.5.2

Verhältnis der Schubsteifigkeiten im Zustand II und Zustand I Verhältnis der Anteile der Durchbiegung aus Schub und Biegung zur Beurteilung der Grenze für die Berücksichtigung der Schubverformung . . . .

7. Verformungen durch Torsion, Torsionssteifigkeiten 7.1

7.2 7.3

7.4 7.5

Überblick, praktische Bedeutung Torsionssteifigkeit im Zustand I.

Torsionssteifigkeit im Zustand II, einschließlich Rißbildungsbereich.

7.3.1 7.3.2 7.3.3

Abgrenzung des Rißbildungsbereiches . . . . Grundformeln für die Torsionssteifigkeit im nackten Zustand II . Empirische Anpassung der Grundformel für Zustand II im Riß- bildungsbereich und bis zul MT . . . . Nachträgliche Torsionsverformungen durch Kriechen und Schwinden des Betons im Zustand II . . . .

Verhältnis zwischen Torsions- und Biegesteifigkeit . . . .

109 112 112 113 113 114 115 115 116 119 121 122 123

124 127 127 130 131 131 132 136 139 140

VIII Inhaltsverzeichnis

7.6

7.7

Torsions~ lUld Biegesteifigkeiten bei Torsion mit BieglUlg lUld Querkraft . 7.6.1

7.6.2 7.6.3

VorbemerklUlg. . . . . . . Gegenseitige Beeinflussung von T, M lUld Q • . . . Vorläufige Empfehlung zur Berechnung der Verformungen bei T, M und Q . . . .

Einfluß der VorspannlUlg auf Torsionsverformungen 8. FormänderlUlgen im plastischen Bereich (Zustand III)

8. 1 8.2 8.3 8.4 8.5

Zweck der BetrachtlUlg des Zustandes III . BiegeverformlUlgen im Zustand III ..

Plastische Gelenke, Gelenkrotation

Rotation bei Biegung mit Längsdruckkraft (M und N) .

MomentenumlagerlUlg in statisch lUlbestimmt gelagerten Tragwerken 8.5.1

8.5.2 8.5.3

MomentenverteillUlg im Zustand II . . . • . . MomentenumlagerlUlg im Zustand III . . . . Vereinfachte, linearisierte Methode für Momentenumlagerung . 9. Bruchlinientheorie für Flächentragwerke, vorzugsweise für Platten

(Yield line theory), Von E. Mönnig.

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Vorbemerkung.

Einleitung ...

Die Bruchlinien . Die Schnitt größen

Besondere Verhältnisse an Plattenecken

Ermittlung der Traglast als maßgebendes Bruchmoment • Einschränkungen für die AnwendlUlg der Bruchlinientheorie Beispiel

Schrifttumverzeichnis

141 141 143 146 147 149 149 149 154 162 162 162 165 171

175 175 176 177 178 182 183 185 186 189

Inhalt der weiteren Teile zum Werk LEONHARDT

"Vorlesungen über Massivbau":

1. Teil: Grundlagen zur Bemessung im Stahlbetonbau 1. Einführung

2. Beton 3. Betonstahl

4. Verbundbaustoff Stahlbeton

5. Tragverhalten von Stahlbetontragwerken 6. Grundlagen für die Sicherheitsnachweise 7. Bemessung für Biegung mit Längskraft 8. Bemessung für Querkräfte

9. Bemessung für Torsion

10. Bemessung von Stahlbeton-Druckgliedern

H. Teil: Sonderfälle der Bemessung im Stahlbetonbau 1. Bewehrung schiefwinklig zur Richtung der Beanspruchung 2. Wandartige Träger, Konsolen, Scheiben

3. Einleitung konzentrierter Lasten oder Kräfte 4. Betongelenke

5. Durchstanzen von Platten

6. Bemessung bei schwingender oder sehr häufiger Belastung 7. Leichtbeton für Tragwerke

III. Teil: Grundlagen zum Bewehren im Stahlbetonbau 1. Allgemeines über Entwurf und Konstruktion

2. Schnittgrößen

3. Allgemeines zum Bewehren

4. Verankerungen der Bewehrungsstäbe 5. Stoßverbindungen der Bewehrungsstäbe

6. Umlenkkräfte infolge Richtungsänderungen von Zug- oder Druckgliedern 7. Zur Bewehrung in biegebeanspruchten Bauteilen

8. Platten

9. Balken und Plattenbalken

10. Rippendecken, Kassettendecken und Hohlplatten 11. Rahmenecken

12. Wandartige Träger oder Scheiben 13. Konsolen

14. Druckglieder

15. Krafteinleitungsbereiche 16. Fundamente

V. Teil: Spannbeton

VI. Teil: Grundlagen zum Bau von Massivbrücken

Bezeichnungen

DIN 1080 regelt die im Stahlbetonbau anzuwendenden Bezeichnungen; im folgenden ein Aus- zug hieraus mit einigen englischen Fachausdrücken. Außerdem sind zusätzliche Bezeichnun- gen angeführt, die in diesem 4. Teil benützt werden.

Fußzeiger Ursache:

k t s T Art:

B D S T Z Zw

Kriechen Schwinden

Zeitdauer oder Zeitpunkt Temperatur

Biegung Druck Schub Torsion Zug Zwang Richtung, Ort:

b e o u z L Bü S

Beton Betonstahl oben unten Spann stahl Längsbewehrung Bügel

Wendelbewehrung oder Schubbewehrung Sonstiges:

i n R R U

o

(Xl

95

bezeichnet "ideelle" Größen netto

bezeichnet den Rechenwert einer Festigkeit für die Schnittgröße bei Rißlast

kennzeichnet Kraft- oder Schnittgrößen, bei denen die Tragfähigkeit erschöpft ist, z. B. Bruchlast

Anfangszeit, t = 0, zum Grundsystem gehörig zum Zeitpunkt t = (Xl

95 %-Fraktile

creep shrinkage time

temperature

bending, flexure compression shear

torsion tension restraint

concrete

reinforcing steel top

bottom

prestressing steel

longitudinal reinforcement stirrup

helical or shear reinforcement

transformed values net

characteristic strength referring to cracking load ultimate

value at time = 0, initial value s value at time = (Xl

XII

Kopfzeiger I

II IIo III

auf Druckbewehrung zu beziehen Zustand I

Zustand II

nackter Zustand II

Zustand III, plastischer Bereich Hauptzeichen

Querschnittswerte:

b b 0

b m d d , e ~ d 0

d w d z e ⁼ e e Bü F F b F bZ F bw F _i

=

F n F m F e F e,S

Breite bei Rechteckquerschnitten Stegbreite bei Plattenbalken

mitwirkende Breite bei Plattenbalken Kreisdurchmesser , Plattendicke, Balkenhöhe, Wanddicke

Durchmesser eines Bewehrungsstabes Gesamthöhe bei Plattenbalken

Höhe der Wirkungszone F bw Höhe der Biegezugzone

M/N = Ausmitte e der Längskraft N Abstand von Bewehrungsstäben Abstand von senkrechten Bügeln Querschnittsfläche

Betonquerschnitt (brutto) Betonzugzone

Wirkungszone der Bewehrung

F b + (n - 1) Fe = ideeller Querschnitt Betonquerschnitt (netto)

b • d = Kernfläche bei Torsion

m m

Stahlquerschnitt

(meist Gurtbewehrung, Längsbewehrung) Querschnitt der Schubbewehrung

F e, L Querschnitt der Längsbewehrung F BOO Querschnitt eines Bügels e, u

F e,s Querschnitt eines Schrägstabes f e

f e,w h

h'

i

auf eine Längeneinheit bezogener Stahl- querschnitt

Querschnitt einer Wendelbewehrung

Abstand des Schwerpunkts der Zuggurtbeweh- rung vom gedrückten Rand, Nutzhöhe

desgleichen für Druckgurtbewehrung

VJ7F'

⁼ Trägheitshalbmesser

Bezeichnungen

referring to compression steel uncracked state

cracked state

naked cracked state (without tension stiffening) plastic state

width

web width, web thickness effective width of T-beams diameter,

overall depth

diameter of reinforcing bar overall depth

depth of effective tension zone depth of flexural tension zone excentricity of force N spacing of reinforcing bars spacing of stirrups

cross- sectional area area of concrete

tension zone of concrete effective tension zone around reinforcing bars

transformed section

kern area for torsion

area of tension reinforcement area of transverse reinforcement,

~ ~ shear reinforcement

area of longitudinal reinforcement area of stirrup

area of bent up bar

area of steel bars related to unity of length

area of helical reinforcement effective depth

radius of gy ration , ~ ~ inertia

Bezeichnungen

J K s S u

ü W x

Trägheitsmoment Steifigkeit

Stablänge, Strecke

Statisches Moment einer Fläche Umfang eines Stabes

bzw. u

=

_{2 (bm} + _{dm )}

=

Umfang der Kern- fläche bei Torsion Betondeckung

Widerstandsmoment

Abstand der Nullinie vom gedrückten Rand y Abstand von der Schwerlinie des Beton-

querschnitts z

\-1₀

Abstand der Druckgurtresultierenden von der Zuggurtresultierenden, innerer Hebelarm

F

Bewehrungsgrad, z. B.

= __

e_ wird b·h meist in

%

angegeben:

100 F

\-I [%)

=

^{b . h e}

=

Bewehrungsprozentsatz F e _

b d - Bewehrungsgrad bezogen auf den vollen Betonquerschnitt

F e F_bZ

~= F F_bw

Bewehrungsgrad bezogen auf die Betonzugzone

Bewehrungsgrad bezogen auf die Wirkungs zone F bw der Bewehrung 2600

V

^\-I

^[%] =

bezogener dimensions- F bw z loser Bewehrungsgrad Kennwerte für Werkstoffe

E Elastizitätsmodul

E b Elastzitätsmodul des Betons E Elastizitätsmodul des Stahles

e

fR bezogene Rippenfläche bei Rippenstahl

E Schwindbeiwert s

cp Kriechbeiwert

G Gleitmodul, Schubmodul n E lEb

=

Verhältnis der beiden

e Elastizitätsmodule R Reifegrad der Betonerhärtung

_ Querdehnung Querdehnzahl - L" angs e ung d hn Temperaturdehnzahl

XIII

moment of inertia, second moment of area

rigidity or stiffness length of a member first moment of area, static moment of a section circumference of a bar

concrete cover

modulus of section, section modulus depth of neutral axis

lever arm

percentage of reinforcement

Young' s modulus, modulus of elasticity

shear modulus

maturity degree of concrete hardening

Poisson' s ratio

coefficient of (thermal) expansion

XIV Bezeichnungen

ß

Festigkeit eines Baustoffes strength of materials

i3Z i3

_p

i3

_w

i3

w28

i3

_c

i3

bZ

i3

_BZ

13

R

13S

Zugfestigkeit tensile strength

Prismendruckfestigkeit des Betons prism strength in compression Würfeldruckfestigkeit des Betons cube strength

Würfeldruckfestigkeit nach 28 Tagen cube strength at 28 days

Zylinderdruckfestigkeit des Betons cylinder strength in compression Zugfestigkeit des Betons (vereinfacht auch

i3

Z ) tensile strength

Biegezugfestigkeit bending tensile strength

Rechenwert der Betondruckfestigkeit characteristic strength

Streckgrenze des Stahles yield strength

130 2 , ^0,2 % Dehngrenze des Stahles 0,2 % yield strength

13 Tl Verbundfestigkeit zwischen Stahl und Beton bond strength

Lastgrößen: (große Buchstaben entsprechen Einzellasten, kleine Buchstaben sind auf die Länge oder Fläche bezogene Lasten)

g, G ständige Last

p, P Verkehrslast, Nutzlast q Gesamtlast g+p

w, W Windlast V Vorspannkraft

H horizontale Komponente einer Einzellast V vertikale Komponente einer Einzellast Schnittgrößen:

M Moment

MB Biegemoment

MT oder T Torsionsmoment N Längskraft

Q Querkraft Weggrößen:

f Durchbiegung u, v, w Verschiebungen 6. L Längenänderung

E: Dehnung, bezogene Längenänderung 6. L / L, Kürzung bei Druck

Spannungen:

Spannung

+ positiv

=

Zugspannung - negativ = Druckspannung

CI e Spannung in der Zugbewehrung

CI' Spannung in der Druckbewehrung e

dead load live load total load wind load

prestressing force horizontal component vertical component

moment

bending moment, flexural ~

twisting moment, moment of torque normal force, axial ~

shear force

deflection displacements elongation strain

stress

+ tensile stress - compressive stress

Bezeichnungen

6. (J eR

(J II e

(J ew

Stahlspannung im Zustand I

Stahlspannung im Rißquerschnitt unmittelbar nach dem Riß

= (J R - (JI Spannungs sprung beim Reißen e e

Stahlspannung im Rißquerschnitt bei maß- gebendem Lastgrad (Zustand II)

wirksame Stahlspannung bei Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen

Druckspannung im Beton Zugspannung im Beton

(JI' (Jn Hauptspannungen

T T o

Schub spannung

Rechenwert der Schub spannung bei Stahl- betonbalken

Verbundspannung zwischen Beton und Stahl Sonstiges:

a Rißabstand

k a

Beiwerte, allgemein

Korrekturglied für den Einfluß der Beton- deckung auf Rißabstand und Rißbreite Verhältnis der Mittelwerte ß_bZ/ ^T 1m Beiwert für die Form des Spannungsdia- gramms der Wirkungszone F bw

Beiwert für 95

%

Fraktile der Rißbreite w 95 bezogen auf mittlere Rißbreite w m

Beiwert für Lastwiederholungen und Lastdauer Beiwert für die Mitwirkung des Betons

zwischen Rissen

Beiwert für die Abweichung der Bewehrungs- richtung von der Spannungs richtung

k Z ' kB Beiwerte für den Bezug von Steifigkeiten des Zustandes II auf Zustand I

k Schwindkrümmungsbeiwert s

k Kriechkrümmungsbeiwert cp

t Eintragungslänge

t e fiktive Länge nach Falkner o

t Rißtiefe v

v _o v w

Versatzmaß der M _ Linie z

Länge des gestörten Verbundes am Riß Sicherheitsbeiwert

Rißbreite

Lastbeiwert für Lastgrad

WF Beiwert für den Rißabstand nach Falkner

principal stresses shear stress

bond stress

coefficients

xv

displacement of M _ line, shift ^{cv cv} z

safety factor, factor of safety crack width

load degree

XVI

y .e-

e

. Bie gedrehung Biegekrümmung

Gleitwinkel bei Schubverformung Verwindung, Verdrehung

plastische Rotation Tl Umlagerungsfaktor

Bezeichnungen

angle of flexural deformation flexural curvature

unit shear angle of torque plastic rotation

Maßeinheiten:

1 kg 1 kp 1 Mp IN 1 KN 1

li.

m 2

1~ 2 mm

Einheit der Masse

9,81 kgm/s Einheit der Kraft 2 = Masse· Erdbeschleunigung 1000 kp

(Newton) = 1kgm/s "" 0,1 kp 2

(KiloNewton) "" 100 kp; 1 MN (MegaNewton) "" 100 Mp 1 Pa (Pascal)

1 MN m 2

1 M Pa (MegaPascal) "" 10

~

₂

cm Abkürzungen

DAfStb.

CEB FIP DBV IVBH lASS RILEM B. u. Stb.

BSt

}

B Bn Z NB LB NL el erf konst krit max min m, mitt!

Deutscher Ausschuß für Stahlbeton

Comite Euro-International du Beton, Euro-Internationales Beton-Komitee, Paris Federation Internationale de la Precontrainte, Intern. Spannbeton Vereinigung Deutscher Beton- Verein, Wiesbaden

Internationale Vereinigung für Brückenbau und Hochbau International Association for Shell and Spatial Structures

Reunion Internationale des Laboratoires d' Essais et de recherches sur les Materiaux et les constructions

Zeitschrift "Beton- und Stahlbetonbau"

Betonstahl

Beton (alte DIN 1045) Güteklassen für {

Beton (neue DIN 1045, Jan. 1972)

Normalbeton Leichtbeton Nullinie elastisch erforderlich konstant kritisch maximal

minimal, mindest mittlere

Zement

pI plastisch red reduziert

rLF. relative Luftfeuchte theor theoretisch

vorh vorhanden zug zugehörig zul zulässig