T = e − G über den sogenannten Gamov- Faktorgegeben ist:

Dr. Uwe Gerstmann SS 2010

Dr. Christian Thierfelder 18.06.2010

Übungsblatt 11 Kernphysik III, Elementarteilhenphysik

Abgabe: Fr 25.06.2010 (bis 12:00 Uhr imBriefkasten aufN3)

Besprehung:Fr02.07. 12:00 Uhr 13:30 Uhrim Sondertermin(anstelleVorlesung)

1.Tunneleekt und Kernzerfall

(a) Zeigen Sie, daÿ in der Näherung genügend hoher und breiter radialsymmetrisher

Barrieren die Transmissionswahrsheinlihkeit

T = e ^{− G}

^{über den} sogenannten Gamov- Faktorgegeben ist:

G = 2

~ Z r ^max

0

s 2m

V (r) + l ( l + 1) ~ ² 2mr ² − E

dr

Hinweis: Berehnen Sie zunähst die Transmissionswahrsheinlihkeit

T

^{für eine ein-}

dimensionale breite rehtekige Potentialshwelle (Höhe

V ₀

^Breite

d

^{), siehe Physik C.}

Zeigen Sie, daÿ in der Näherung breiter Potentialshwellen (also für

d ≫ √ ^~

2m(V 0 −E)

)

gilt:

T ∼ e ^{− ~ 2} √

2m(V ⁰ −E)·d

(b)DieHalbwertszeit

t _1/2

^einesZerfallsprozessesverhältsihantiproportionalzurTrans- missionswahrsheinlihkeit

T

^{. Wie hängt demnah die} Halbwertszeit im Falle eines

α

^-

Zerfallsinder Näherung sehr groÿer Zerfallsenergien

E = E _α

^von

E _α

^ab?

() Ein

232

Th Kern (

m _{T h} = 232, 037146 u

^{) zerfällt unter Aussendung eines}

α

^-Teilhens

in

228

Ra(

m _Ra = 228 , 028731 u

^{).Berehnen Siedie}Zerfallsenergie.

2.Zur C14-Altersbestimmung

(a)Erklären SiedieC14-Methode zur Altersbestimmug.

(b) Ein Tierknohenfragment besitzt eine Kohlenstomasse von 200g. Man registriert

eine Aktivitätvon16 Zerfällen pro Sekunde. Wie altist der Knohen?

()EinFremdenführerndeteine OriginalplankevonderArhe Noah(10000Jahrealt).

EinWissenshaftler stellt fest, daÿ von 1gKohlensto 20Zerfällepro 100s des

14

CIso-

tops registriert werden. Istder Fund glaubhaft?

Die für die Molekülbindung verantwortlihen Kräfte sind Austaushkräfte quantenme-

hanishen Ursprungs. Siewerden verursaht durh den Austaush eines Elektrons zwi-

shendengebundenenPartnern.Esliegtnahe,inAnalogiehierzuauhfürdieKernkräfte

eineZweikörperformanzunehmen,diedurhAustausheinesTeilhensbewirktwird.Ein

entsprehendes Teilhen, das sog.

π

^{-Meson (Pion),wurdezunähst theoretish gefordert}

(Yukawa 1935) und später experimentell gefunden(Powell 1946).

(a) Lösen Sie die Klein-Gordon Gleihung für des Grundzustand eines freien Teilhen

der Masse

m _π

^imvershwindenden Zentralfeld:

1 c ²

∂ ² ψ ( ~r, t )

∂t ² =

∆ − m _π c

~ 2

ψ ( ~r, t )

Hinweis: Verwenden Sie Kugelkoordinaten. Für den stationären Fall läÿt sih sih der

zeitabhängigie Teil und danah der winkelabhängige Teil wie bei der Shrödingerglei-

hungdesWasserstoproblemsabspalten.DiesihergebenderadialeKlein-GordonGlei-

hung läÿtsih dann fürden Grundzustand (

n

^=1,

l

^{=0) elementar} integrieren.

(b) Experimentell ergibt sih für die Ruhemasse des Pions ein Energieäquivalent von

m _π · c ² ≈ 139

^{MeV.ShätzenSiedieReihweite derdurhAustaushvonPionenerzeug-}

ten Kernkräfte mitHilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil(a) und der Heisenbergshen

Unshärferelation ab.

Vergleihen Sie das Ergebnis mit typishen Werten für den Kernradius. Inwiefern führt

IhreBetrahtungaufdas inder LiteraturbekannteYukawa-Potential,undwie lässt sih