Marco Bettner/Erik Dinges
Vertretungsstunden Mathematik 32
10. Klasse: Körperberechnungen
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Marco Bettner/Erik Dinges
Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse
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VORSC
HAU
Volumen der Pyramide 1
Körperberechnungen
Im Folgenden soll eine Volumenformel für eine quadratische Pyramide
(V Pyramide ) aufgestellt werden.
Dazu siehst du rechts eine Pyramide und einen Quader. Beide Körper haben die gleiche Höhe h k und die gleiche Grundseite a.
a) Notiere zunächst die bekannte Volumenformel für den Quader.
V Quader =
b) Tipp: Wie viel mal passt das Volumen der Pyramide in den Quader?
c) Notiere eine Formel für das Volumen der Pyramide.
V Pyramide =
d) Eine Pyramide ist 20 cm hoch und die Grundseite a ist 15 cm lang.
Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
a
a
h
kc = h
ka
a
h und die r Pyramide
Grundse
? V Pyramide
d) Eine Py Wie g
=
ormel für das olum
men d r Pyramide in de
ader.
VORSC
HAU
Volumen der Pyramide 2
Körperberechnungen
1. Berechne das Volumen der abgebildeten quadratischen Pyramiden.
a) b) c)
2. Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide.
a) a = 7 cm; h
k= 5 cm b) a = 40 cm; h
k= 33 cm c) a = 3,5 dm; h
k= 4,1 dm d) a = 255 mm; h
k= 298 mm e) a = 85,7 cm; h
k= 83,4 cm f ) a = 0,53 m; h
k= 0,61 m
3. Berechne die gesuchten Größen der quadratischen Pyramide.
a) a = 17 cm; V
P= 1541,33 cm3; gesucht: h
kb) h
k= 4,5 cm; V
P= 82,14 cm3; gesucht: a
4. Die berühmte Cheopspyramide in Gizeh war ursprünglich 146,60 m hoch. Die quadratische Grundseite a war 230,33 m lang.
a) Berechne das Volumen der Pyramide.
b) Der rechts abgebildete Lastwagen besitzt ein Volumen von 48 m3. Um das wie viel Fache ist das Pyramidenvolumen größer als die des Lastwagens?
5. Kreuze die richtige Aussage an.
Wenn sich die Seitenlänge a der quadratischen Pyramide verdoppelt, verdoppelt sich auch das Volumen der Pyramide.
vervierfacht sich das Volumen der Pyramide.
verdreifacht sich das Volumen der Pyramide.
hat dies keinen Einfluss auf das Volumen der Pyramide.
35 cm
34 cm
132 dm
148 dm 10 cm
15 cm
er rech 48 m3. U größer als d
Volum bildet e da
ts abg
m das wie vie ie de
adrat
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Gizeh war ur Grundseite
4,5 cm;
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= 82, 4 cm3;
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= 0,61
k
Die ber 146
m; V
P= 1
uchten Größen d 541,33 cm3; ges
r qu 40 c 85,7 c
k
= 33 cm
; h
kk= 83,4 c
c m
VORSC
HAU
Vo lu me n de r P y ra m ide 1 Vo lu me n de r P y ra m ide 2
Lösungen
Körperberechnungen
Im F olgenden soll eine V olumenf ormel für eine quadr a tische P y ramide (V
Pyramide) auf gest ellt w e rden. Dazu siehst du r ech ts eine P y ramide und einen Quader . B eide K örper haben die gleiche Höhe h
kund die gleiche Grundseite a. a) Notier e zunächst die bek annt e V olumenf ormel für den Quader . V
Quader= a · b · c = a
2· c = a
2· h
kb) T ipp: W ie viel mal passt das V olumen der Pyr amide in den Quader? 3mal c) Notier e eine F o rmel für das V olumen der Pyr amide . V
Pyramide= d) Eine Pyramide ist 20 cm hoch und die Grundseit e a ist 15 cm lang . W ie g roß ist das V olumen der Pyr amide?
a
a
hkc = hk a
a
V = a
2· h
k· 1 3 = (15 cm)
2· 20 cm · 1 3 = 1500 cm
3a
2· h
k· 1 3
1. Berechne das Volumen der abgebildeten quadratischen Pyramiden. a) b) c) V = 750 cm3 V = 13 486,67 cm3 V = 963 776 dm3 2. Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide. a) V = 81,67 cm3 b) V = 17 600 cm3 c) V = 16,74 dm3 d) V = 6 459 150 mm3 e) V = 204 176,82 cm3 f) V = 0,06 m3 3. Berechne die gesuchten Größen der quadratischen Pyramide. a) hk = 16 cm b) a = 7,4 cm 4. Die berühmte Cheopspyramide in Gizeh war ursprünglich 146,60 m hoch. Die quadratische Grundseite a war 230,33 m lang. a) V = 2 592 469,95 m3 b) Das Volumen der Pyramide ist um das 54 009-fache größer als das Lastwagenvolumen. 5. Kreuze die richtige Aussage an. Wenn sich die Seitenlänge a der quadratischen Pyramide verdoppelt, verdoppelt sich auch das Volumen der Pyramide. vervierfacht sich das Volumen der Pyramide. verdreifacht sich das Volumen der Pyramide. hat dies keinen Einfluss auf das Volumen der Pyramide.
35 cm 34 cm
132 dm 148 dm
10 cm 15 cm
el
hk aa
der?
la b) Da größ 5. Kreuze die richti der quadratische rdoppelt sic vervierfach erdDie be 46,60 g ich das Volu ht sich das Volu es keinen Einfluss
= hk V = 750
1 2. Berechne das V a) V = 81,67 cm33 6 459 150 m edieesuchten Grö pyramide in Gize adratische Grund de ist um vodas 54 009- men. n sich
VORSC
HAU
Oberfläche der Pyramide 1
Körperberechnungen
Im Folgenden soll eine Oberflächen- formel für eine quadratische
Pyramide (O Pyramide ) aufgestellt werden. Dazu siehst du rechts das Netz einer quadratischen Pyramide.
a) Berechne zunächst die graue Fläche unten.
b) Berechne die Fläche der 4 weißen Dreiecke.
c) Berechne die gesamte Oberfläche der Pyramide (O Pyramide ).
d) Notiere eine allgemeine Formel für die Oberfläche der Pyramide in Abhängigkeit der Seitenlänge a und der Seitenhöhe h s .
7 cm
5 cm
e h s .
yramide in e de
h meine Fo
der Seitenlän
che mel für die
e a u
der Py e.
yramide (
VORSC
HAU
Oberfläche der Pyramide 2
Körperberechnungen
1. Berechne die Oberfläche der abgebildeten Pyramiden.
a) b) c)
2. Berechne die Oberflächengröße der quadratischen Pyramiden.
a) a = 40 cm; h
s(Seitenhöhe) = 45 cm b) a = 6 cm; h
s= 7 cm c) a = 257 mm; h
s= 366 mm
3. Berechne die gesuchten Größen der Pyramide.
a) a = 10 cm; O
P= 340 cm2; gesucht: h
sb) h
s= 149 cm; O
P= 55 640 cm2; gesucht: a
4. Die Oberfläche der rechts abgebildeten Pyramide soll berechnet werden. Neben der Länge der Grundseite a ist die Länge der Seitenkante s gegeben. Berechne zunächst aus s und a die Seitenhöhe h
s. Tipp: Pythagoras hilft hier weiter!
5. In der rechts abgebildeten Pyramide soll ebenfalls die Oberfläche bestimmt werden. Diesmal ist die Länge der Seitenkante a und die Körperhöhe h
k(Achtung: Diese entspricht nicht der Seitenhöhe h
s) gegeben. Berechne zunächst aus a und h
kdie Seitenhöhe h
s.
6. Die Cheopspyramide in Ägypten ist 230,33 m lang (a). Die Körperhöhe h
kbeträgt 146,60 m.
a) Berechne die Seitenhöhe h
s.
b) Ein Sportplatz hat im Schnitt eine Fläche von 7000 m2. Wie oft passt ein Standardsportplatz in die Oberfläche der Cheopspyramide?
50 dm
30 dm
30 cm
27 cm
100 mm
109 mm
30 cm
20 cm
35 cm
33 cm
ts a er rech
mmt werd rhöh
bgeb
undseite zunächst a ilft hier weite
ramide soll b ist die Länge
us s und a er!
erechn der
640 cm2; gesucht: a O
4. Die Ober werden. N Seitenkan Seitenhö
fläche der r eben de
esuc
der Pyram ht: h
sde.
b)
h
s= 7 cm
VORSC
HAU
O be rf läc h e de r P y ra m ide 1 O be rf läc h e de r P y ra m ide 2
Lösungen
Körperberechnungen
Im F olgenden soll eine Ober flächen- formel für eine quadr a tische P y ramide ( O
Pyramide) auf gest ellt w e rden. Dazu siehst du r ech ts das Netz einer quadr a tischen P y ramide . a) Ber echne zunächst die g raue F läche unt en. b) Ber echne die F läche der 4 w eißen Dr eiecke . c) Ber echne die gesamt e Ober fläche der Pyramide ( O
Pyramide). d) Notier e eine allgemeine F o rmel für die Ober fläche der Pyr amide in Abhäng igkeit der S eit enlänge a und der S eit enhöhe h
s.
7 cm 5 cm
a) A
grau= 5 cm · 5 cm = 25 cm
2b) A
weiß= 5 cm · 7 cm 2 · 4 = 70 cm
2c) Ober fläche = 25 cm
2+ 70 cm
2= 95 cm
2d) O
Pyramide= a
2+ 2 · a · h
s1. Berechne die Oberfläche der abgebildeten Pyramiden. a) b) c) O = 3900 dm2 O = 2349 cm2 O = 33 681 mm2 2. Berechne die Oberflächengröße der quadratischen Pyramiden. a) O = 5200 cm2 b) O = 120 cm2 c) O = 254 173 mm2 3. Berechne die gesuchten Größen der Pyramide. a) hs = 12 cm b) a = 130 cm 4. Die Oberfläche der rechts abgebildeten Pyramide soll berechnet werden. Neben der Länge der Grundseite a ist die Länge der Seitenkante s gegeben. Berechne zunächst aus s und a die Seitenhöhe hs. Tipp: Pythagoras hilft hier weiter! 0 =1531,2 cm2 (hs = 28,28 cm) 5. In der rechts abgebildeten Pyramide soll ebenfalls die Oberfläche bestimmt werden. Diesmal ist die Länge der Seitenkante a und die Körperhöhe hk (Achtung: Diese entspricht nicht der Seitenhöhe hs) gegeben. Berechne zunächst aus a und hk die Seitenhöhe hs. 0 = 3642,54 cm2 (hs = 38,69 cm) 6. Die Cheopspyramide in Ägypten ist 230,33 m lang (a). Die Körperhöhe hk beträgt 146,60 m. a) 186,43 m b) 19,8 mal
50 dm 30 dm
30 cm 27 cm
100 mm 109 mm 30 cm 20 cm 35 cm 33 cm
5 cm
n
5. In de bestim Körpe egebe hk ben. Berec 0 = 3642,54 cm2 Die Cheops 10 = yramide in m 8 mal
O = 2. Berechne d a) O = 5200 cm erechndie gesuchten G s= 12 cm che der rechts ab ben der Länge de s gegeben. Ber . Tipp: Pytha ,28 cm) en Pyamide soll eb t die Länge der Seitenk se entspricht nicht der Se t aus a und hk die Seitenhk
VORSC
HAU
Volumen der Kugel 1
Körperberechnungen
Im Folgenden soll eine Volumenformel für eine Kugel (V Kugel ) aufgestellt werden.
Dazu siehst du rechts ein Kegel und eine Halbkugel.
Beide Körper haben den gleichen Radius r bzw. die gleiche Höhe r.
a) Gib zunächst die Formel für das Volumen des Kegels (V K ) in Abhängigkeit der angegebenen Größen an.
b) Schätze: Wie oft passt das Volumen des dargestellten Kegels in die Halbkugel?
c) Erstelle aus deinen bisherigen Ergebnissen aus a) und b) für das Kugelvolumen V Kugel eine Formel:
d) Eine Kugel hat einen Radius von 4 cm. Berechne das Kugelvolumen. ugel hat einen Ra n Er nissen aus a) und
gels in n die Halbk en
c) Erstelle V el ein
aus dein Form
as V Volumen des d
els (V K in Abhäng
VORSC
HAU
Volumen der Kugel 2
Körperberechnungen
1. Berechne das Volumen der abgebildeten Kugeln.
a) b) c) d)
2. Berechne das Volumen der Kugeln.
a) d = 60 cm b) d = 147 mm c) d = 1,5 dm d) d = 3 4 cm
3. Berechne den Radius der Kugel.
a) V
Kugel= 33,51 cm3 b) V
Kugel= 4 188,79 cm3
4. Eine Betonkugel besitzt einen Durchmesser von 180 cm.
a) Berechne das Volumen der Kugel.
b) Wie schwer ist die Kugel, wenn 1 dm3 Beton 2,2 kg schwer ist?
5. Das rechts abgebildete Atomium steht in Brüssel und besitzt insgesamt 9 Kugeln. Jede Kugel besitzt einen Durchmesser von 18 m.
Wie groß ist das Gesamtvolumen aller Kugeln?
6. Der Radius einer Kugel verdoppelt sich.
Was passiert mit dem Volumen der Kugel?
Kreuze an.
Das Volumen verdoppelt sich.
Das Volumen vervierfacht sich.
Das Volumen verachtfacht sich.
Das Volumen verzehnfacht sich.
Das Volumen wird um 2 cm3 größer.
140 mm
9 cm
547 mm 6,3 cm
adius e
n 18 st das Gesam
Ato Kugeln.
m.
mtvolu
teht in Brü uge
n 2,2 kg schw m.
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b) Wie sc
Das
g ne das Volu hwer ist die
besitzt einen Du men de
b) V
1,5 dm d
VORSC
HAU
Vo lu me n de r K ug el 1 Vo lu me n de r K ug el 2
Lösungen
Körperberechnungen
Im F olgenden soll eine V o lumenf ormel für eine K ugel ( V
Kugel) auf gest ellt w e rden. Dazu siehst du r ech ts ein K egel und eine Halbkugel . B eide K örper haben den gleichen R adius r b z w . die gleiche Höhe r . a) Gib zunächst die F o rmel für das V olumen des Kegels ( V
K) in Abhäng igkeit der angegebenen Gr ößen an. b) S chätz e: W ie of t passt das V olumen des dar gest ellt en Kegels in die Halbkugel? 2mal c) Erst elle aus deinen bisherigen Er gebnissen aus a) und b) für das K ugelv olumen V
Kugeleine F o rmel: d) Eine K ugel hat einen R adius v on 4 cm. Ber echne das K ugelv olumen.
V
Kegel= π · r
2· r · 1 3 = π · r
3· 1 3 V
Kugel= 2 · 2· π · r
3· 1 3 = 4 3 · π · r
3V
Kugel= 4 3 · π · (4 cm)
3= 268,08 cm
31. Berechne das Volumen der abgebildeten Kugeln. a) b) c) d) 2. Berechne das Volumen der Kugeln. a) 113 097,34 cm3 b) 1 663 223,55 mm3 c) 1,77 dm3 d) 0,22 cm3 3. Berechne den Radius der Kugel. a) r = 2 cm b) r = 10 cm 4. Eine Betonkugel besitzt einen Durchmesser von 180 cm. a) 3 053 628,06 cm3 b) 6717,98 kg 5. Das rechts abgebildete Atomium steht in Brüssel und besitzt insgesamt 9 Kugeln. Jede Kugel besitzt einen Durchmesser von 18 m. Wie groß ist das Gesamtvolumen aller Kugeln? 27 482,65 m3 6. Der Radius einer Kugel verdoppelt sich. Was passiert mit dem Volumen der Kugel? Kreuze an. Das Volumen verdoppelt sich. Das Volumen vervierfacht sich. Das Volumen verachtfacht sich. Das Volumen verzehnfacht sich. Das Volumen wird um 2 cm3 größer.
140 mm 9 cm
547 mm6,3 cm 11 494 040,32 mm3
3053,63 cm3 685 568 079,43 mm31047,39 cm3
n Abhäng igkeit d die albkugel? v olume
5. D Du Wie gro 27 482,65 6. Radius einer K Was passiert m Kreuze an. Das Volumen v Das Volumen Das Volurv verachtfach men verzehnfa olumen wird um 2
11494 Berechne das a)113 097,34 cm echne
4 0 Radius der Ku cm gel besitzt einen 6 cm3 e Atomium steht i eln. Jede Kugel umealler Kugeln? lt sich. Kugel?
