Mist Grenzwvty

4

Ben

^{. : . Es}

gilt

^{lntlu ) e U e in :}

⁽

^{lntlu ) udu )}

sowie ^{au :} lillutlu )

Def

^{.: UEM}

heipt

^{dicht in M. weun Tt = M .}

Bsp^{. : Q ist dicht in IR}

° In

(

^{C([ aib])},

H ^-Hoo

)

_{liegt die Menge du Polynome} dicht .

i

(

Wcierstrap

^{' scher} Approximations^satz ,⁾

D. h.

fir

_jedes

fe

^{C( [ aib ]}

⁾

^{existent nine} Folge ^von Polyuumen , die

auf

^[a,b]

gleichmapig

gegeu

f kouvrgiert

^.

Far C(^(a.b))

gilt

^{dies uicht , da (( lab))} unbischrankte Funktioueu

beinhaltrt

, wogegen ^Polynome ant ^{eudl . lutvvallen shts beschiankt sihd .}

Def

^{.: . ne}

Teilmenge

^{K lines metrischeu Raums}

heipt folgeukompakt

,

wenn

jede Folge

^{x://V.sk eine in K}

kouvwgente Teilfolge

^{besitzt .}

Ben

^.:

Da fir

^{metrische Raine}

.

Folgenkompakthit

'

Equivalent

^zur

topologischeu Definition

^du

Uompaktheit

^ist

⁽

^{die wir Ende des Semesters} besprechen

)

,

wvden wir

'

folgenkomakt

^{' in Rahmen metrischer Raine heist Lax}

'

kompaht

^{' hennen .}

korollw

:

Jede kompakte Teilmenge

^{K cines metrischeu Raums}

Mist

abgeschlossen

^.

Beweis

^{: Sei} x://V.sk line in M

konvvgente

Focge ^unit

Grenzwvty

^.

Wegeu kompakthu

^{'t eeistivt eine}

Tiilfolge

^{, die in K}

kouvugivt

^.

Da

^der

freuzwvt

^{du selbe Sein}

^mup

,

gilt yck

^{and somit k=E .}

11

s

Zur

Eriwnvuug

^{: U}

^heipt

^' beschroinkt ^' _, wenn es ein CER

gibt

^{, so dass}

K _x.

y ^{EU :} d( x. y) I C .

Satz

:

[

Heine ^-

Borel ]

^In

(

^{IK "},

11. 11

)

^unit IKEYR , 6

} gilt ^for

^{Uek " :}

U ist

folgeukompakt

^{⇒ U ist}

abgeschlossen

^und beschroinkt

Beweis

^{: ( Skizze}

)

i. ^.

:

Abgesohlosseuheit folgt

^aus

vorigem

^{korollw . Ware U nicht beschrankt ,}

dann

gibe

^{es nine Folge xu EU unit}

^Hxull

^{'- n, was keine}

kouvergente Teilfolge

zwliepe

"

⇐ ^" se; x://v.su .

wegen

Beschroiuktheit ^{existivt eine in}

1k^"

konvvgente Teilfolge

^{( Satz non Bolzano -} Weierstrass

)

^{. Da U ab -}

geschlosseu

^ist _, ^{ist der}

frenzwut

^{in U euthalten .} D

Ben

^{. : •} Wie der

Bewiis

^{Schon erkennen list} ,

gilt

"

koupakt

^⇒

abgeschl

^{. &} beschroiukt ^"

fur jeden

^metrischen Raum

.

Die

Umhehruug gilt

^{i. a. uicht .}

( Gegenbsp^{.: (R.} d) ^{unit dlx ,y ): 1-}

Say )

Lemma

^: 1st M ein

kompakter ^{metrischer Raum}

^{und Atm}

abgeschlosseu

^,

daun ist anch A

kompakt

^.

Beweis ^{: Sei × : N→ AEM line}

Folge

^.

^Da

^M

kumpakt

^is , existivt

eine in M

konvergente Teilfolge

^{yn : xnim , unit} ym ^→

yen

^.

Da A

abgeschlossin

^{ist ,}

gilt yea

^. _D

6

Def

^{. : Sei}

f

^{:X →}

Y

^line

Abbildung

^{zw . metrischen Roiumen ( X. d×) und}

( Y^.

dy )

^.

•

f heipt stetig

^bei

aeX

^,

⁽

^{weun⇐'s He: >}

^d×(

^OFSa.

^Bsca

^{b)> 0}

^flat

^e:S

^{tb f(}

^{⇒ dy( fla)}

⁾

^{)e ,f ( b )}

^Be

⁾

⁽

^{< {}

^{) )}

•

f heipt stetig

^{, wenn}

f _skkg

^ist

fir

^{alle aeX .}

.

f ^heist glichmapigstetig

^{, weun He. 078>0 -VaeX :}

f ^{( Bsla}

⁾

⁾

^e

^{Be ( fla}

⁾

⁾

.

f ^heipt Lipchitz stekg

^unit

Lipschitzkonstante

^LE

^R+

, weun

V. _a. be X :

dtfla

^{), flb )}

⁾

^{e L}

^dxl

^{a. b)}

Ben

. : ^•

Summon

, Poodukte und

Verknipfungeu stetigr

^{Fkt .eu Sind}

stetig

^.

•

Lipschitzsfekg

^⇒

gl

^.

shkg

^⇒

stetig

Satz :

(

A

qnivaknte Charaktvisivungu

^non

^Stekgkeit

⁾

For eine

Abbildung f

^{:X → Y zw . metrisohen Roiumen Sind}

equivalent

ⁱ

Li)

f

^ist

stetig

lii) Fer able ×eX und able

Folgen ( ×uEX)n⇐µmitxu→× gilt figzfk

^.):

^fcx

⁾

( iii ) UEY

often

^⇒

f-

^{'( a) e X}

often

( ir

)

^{A e} Y

abgeschlosseu

^it

f.

^'

(A)

^{e X}

abgeschlossen

Beweis

^{: (i) ⇐7 C ii}) ^:

Analysis

^I

(ⁱⁱⁱ) ⇒ Liv) ^: Sei Ae Y

abgeschlosseu

, also A

coffin

^.

^Dann

^ist

f-

'

IA) ^:

f-

^{'( '}

y\A ⁾ ly

⁼

f-

^{' )\}

f-

^'IA'

)

^:

X\fi±

abgeschlossen

. often

,

nach l iii)

Liv ) ^⇒ liii ) i

analog

li) ⇒ liii ) ^: Sei

f stekg

^{. UEY}

often

^and

xef

^{' '(U)} ,

d. h.

flx

^{) c. U .}

Winkle ^E> 0 so

, class

Belflx

^{') EU}

⁽

^{uvwmdet U}

often ⁾

und 8>0 so

, class

f (

Bslxl

)

^E

_Be (

^fix'

) (

uvwendet

f stehj)

^.

Daun

ist

f ^{( Bslx}

^'

⁾

^{E U , also}

f-

^{'l h) ?}

Bslx

⁾

often

^.

( ⁱⁱⁱ ) ^{⇒ Li) : Sei ×eX und e > 0 .}

Wegeu ^{(iii ) ist}

f-

^'

(

Be⁽ fix ^')

) offence Umgebuny

^{von x . Dawit}

existivt ein S^> 0 ,

so dass

Bs

^{(×) E}

f-

^'

( Be (

flu )

)

^{. Also}

f

⁽

^{Bski )}

^E

Be( fix

^'

)

^.

a

Def

^{.: Seien X.} y netrische Reaume .

° Eine

Abbilduug ^f.

^X→Y

^heipt

tlomoomorphismus

,

weun sie

bijektiv

^{und sowohl}

^fals

^anch

f

^''

stetigist

^.

° × und Y

heipeu homsomorph

^{, weun es einln}

tlomoomorpwsmus f

^{: X → Y}

_gibt

^.

Bsp

^{. : ° ( -7,7 ) und R Sind}

homioomorph

^{, da try ) sxts tan}

⁽

^×

^E)

^ER

ein

tlomoomorphismus

^{ist .}

o

f

^{:[ 0,2T ) → S' := T xe R' /}

^xitxz

^{- 7}

}

,

flt

^{): ( cost , sint}

⁾

^ist

zwar

sletrg

^and

^bijektiv

^{aber kein}

tlomoomorphismus

, da

f

^{" nicht}

strkyist

^.