(1)Orthogonale Basis Eine Basis B ={u1

Orthogonale Basis

Eine Basis B ={u₁, . . . ,un} eines VektorraumsV ist orthogonal, wenn hu_j,u_ki= 0, j 6=k.

Eine normierte orthogonale Basis, d.h. |u_k|= 1∀k, wird als Orthonormalsystem oder Orthonormalbasis bezeichnet.

Die Elemente v des Vektorraums besitzen die Darstellung v=

n

X

k=1

c_ku_k, c_k = hu_k,vi

|u_k|² . F¨ur die Koeffizientenc_k gilt

|c₁|²|u₁|²+· · ·+|c_n|²|u_n|² =|v|².

Ist die Basis normiert, so fallen die Terme |u_k|² weg, d.h. es gelten die einfacheren Formeln

c_k =hu_k,vi, |c₁|²+· · ·+|c_n|² =|v|².

F¨ur einen komplexen Vektorraum ist die Reihenfolge der Argumente im Skalarprodukt von Bedeutung. Bei der Berechnung der Koeffizienten muss h·,·ibez¨uglich des Argumentes v linear sein.

Beweis

u₁, . . . ,u_n Basis =⇒ Existenz von Skalaren c₁, . . . ,c_n mit v =

n

X

j=1

cjuj

Skalarprodukt mit uk, Orthogonalit¨at der Basis (hu_k,uji= 0, j 6=k) und Linearit¨at

hu_k,vi=hu_k,ckuki=ckhu_k,uki bzw. ck = hv,u_ki hu_k,uki Identit¨at f¨ur die Koeffizienten =b Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras

Beweis durch Ausmultiplizieren von

|v|² =hc₁u1+· · ·+cnun,c1u1+· · ·+cnuni unter Ber¨ucksichtigung von

Beispiel

Darstellung des Vektors v = 8 4 t

bez¨uglich der orthogonalen Basis u₁ = 1 3 t

, u₂ = −6 2 t

(i) Koeffizienten und Basisdarstellung:

c₁ = hu₁,vi

hu₁,u₁i = 1·8 + 3·4 1²+ 3² = 20

10 = 2 c2 = hu₂,vi

hu₂,u₂i = −6·8 + 2·4

6²+ 2² = −40 40 =−1 Linearkombinationv =c₁u₁+c₂u₂

8 4

= 2 1

3

− −6

2

(iii) Quadratsumme der Koeffizienten:

Uberpr¨¨ ufung der Identit¨atc₁²|u₁|²+c₂²|u₂|² =|v|²

2²·10 + (−1)²·40 = 80 = 8²+ 4² = 80 X

Beispiel

Darstellung des Vektors v = −1 1 3 t

bez¨uglich der orthonormalen Basis

u1 = 1

9 1 4 8 t

, u2 = 1

9 4 7 −4 t

, u3= 1

9 8 −4 1 t

|u₁|=|u₂|=|u₃|= 1 Koeffizientenc_k =hu_k,vi, d.h.

v = hu₁,viu₁+hu₂,viu₂+hu₁,viu₃

= −1·1 + 4·1 + 8·3

9 u₁+−4 + 7−12

9 u₂+−9 9 u₂

= 3



 1/9 4/9 8/9



−



 4/9 7/9

−4/9



−



 8/9

−4/9 1/9





Kontrolle der Quadratsumme der Koeffizienten: