tcosxx α−ω= tcosFDxxrxm ω=++ &&& 0Dxxrxm =++ &&&

Erzwungene Schwingungen

Wir hatten als Bewegungsgleichung der gedämpften freien Schwin- gung:

0 Dx

x r x

m && +

& + =

Wir nehmen an, dass unser Oszillator (z.B. Feder oder Pendel) der Ei- genfrequenz ω₀ durch eine harmonische Kraft mit der Frequenz ω_E angeregt wird:

t cos F

F

=

ω

Die Kräftegleichung ändert sich daher zu

t cos

F Dx

x r x

m && +

& + =

ω

Diese Gleichung hat eine spezielle Lösung der Form

( ^{ω − α} )

= x cos t

x

Durch Einsetzen findet man die Amplitude xA des Oszillators und den Phasenwinkel α:

( )

2 k 2 2

E 2

0 2

0

A m r

x F

ω + ω

− ω

=

(

)

m arctan r

ω

− ω

= ω α

Wir betrachten die Amplitude xA in Abhängigkeit von der Erregerfre- quenz ω_E . Mit =2δ

m r_k

und F0 = ma0 gilt für x_A :

( )

2 2 2 E 2

0 A 0

4 x a

ω δ + ω

−

= ω

In der folgenden Darstellung ist die Amplitude der Schwingung (nach dem Einschwingvorgang) in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz an einem speziellen Beispiel dargestellt:

Resonanzkurve f₀ = 1 Hz, F₀ = 1N, δ = 0,5 s^-1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 0,5 1 1,5

Erregerfrequenz / Hz

Amplitude / cm

2

Aus der Grafik geht hervor, dass die Amplitude der Schwingung ein Maximum hat, wenn die Erregerfrequenz gleich der Frequenz der frei- en Schwingung ist. Die oben abgebildete Kurve heißt Resonanzkurve, die Bedingung

E 0

= ω

ω

Im folgenden diskutieren wir noch den Phasenwinkel α in Abhängig- keit von der Erregerfrequenz. Der Phasenwinkel α entspricht der Pha- senverschiebung zwischen Erreger- und Oszillatoramplitude.

(

)

2 0

2

arctan

ω

− ω

= δω α

Für denselben Parametersatz, wie im Falle der Resonanzkurve, erhält man:

Phasenverschiebung zwischen Erreger und Oszillator

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0 0,5 1 1,5

Erregerfrequenz / Hz

Phasenwinkel / Grad

2

0

E f

f <<

α = 0 °

Oszillator

0

E

f

f = α = 90 °

0

E f

f >>

α = 180 °

Schwingung

Gespeicherte Energie im Resonanzfall

Wird ein Oszillator zu erzwungenen Schwingungen angeregt, so wird Energie vom Erreger auf den Oszillator übertragen. Diese Übertra- gung ist besonders effektiv im Resonanzfall. Welche Energie auf den Oszillator übertragen wird, hängt dabei insbesondere von der Dämp- fung ab. Da die Reibungskraft mit der Geschwindigkeit wächst, ist die maximale Geschwindigkeit des Oszillators und damit seine kinetische Energie durch die Dämpfung begrenzt. Ist die Reibungskraft –rv

gleich der angreifenden Kraft F0 = ma0, so erhält man für v:

= δ

= 2

a r

v F^{0 0}

Wir vergleichen dieses Ergebnis mit der maximalen Geschwindigkeit des Pendels im Resonanzfall. Mit

( ^{ω − α} )

ω

−

= x sin t

x &

erhält man

v

= x

ω

Mit

( )

E 0 0

E

A 2

x a

= δω ω

= ω

ergibt sich schließlich das oben bereits überlegte Ergebnis:

= δ 2 v_max a⁰

Damit erhält man aus der Beziehung für die kinetische Energie einen Ausdruck für die im Oszillator im Resonanzfall gespeicherte mecha- nische Energie:

2 2

a0

8 E m

= δ