Funktionentheorie I. Gerd Herzog, SS 2013

Funktionentheorie I

Gerd Herzog, SS 2013

1 Komplex differenzierbare Funktionen

Es sei D ⊆ C und z₀ ein innerer Punkt von D. Eine Funktion f : D →C heißt in z₀ komplex differenzierbar, wenn

z→zlim0

f(z)−f(z₀)

z −z₀ =: f⁰(z₀) existiert. Dies bedeutet:

∀ε > 0 ∃δ >0 ∀z ∈ D : 0< |z−z₀| < δ

⇒

f(z)−f(z₀)

z−z₀ −f⁰(z0)

< ε oder

f(z)−f(z0)−f⁰(z0)(z −z0) = o(|z −z0|) (z → z0).

Definition 1.1 Es sei D ⊆ C offen. f heißt holomorph in z0 ∈ D, wenn f in einer Umgebung von z0 komplex differenzier- bar ist. f heißt holomorph in D (kurz holomorph), wenn f in jedem z0 ∈ D komplex differenzierbar ist. Schreibweise:

H(D) := {f : D →C : f ist holomorph in D}.

Bemerkungen: 1) Jede Funktion f : D → C, D ⊆ C kann als Funktion f :D → R², D ⊆ R² aufgefasst werden. Ist z₀ innerer Punkt von D, so gilt:

f : D → C, f = u +iv ist genau dann in z₀ komplex differen- zierbar, wenn u, v : D → R in z₀ = (x₀, y₀) differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRD) gelten:

u_x(x₀, y₀) = v_y(x₀, y₀), u_y(x₀, y₀) =−v_x(x₀, y₀).

In diesem Fall gilt

f⁰(z0) =ux(x0, y0) +ivx(x0, y0).

Beweis: Es sei f komplex differenzierbar in z₀ = (x₀, y₀) ∈ D mit f⁰(z₀) =a+ib. Dann gilt f¨ur h = h₁ +ih₂, h+z₀ ∈ D:

f(z₀ +h)−f(z₀) = hf⁰(z₀) +ε(h)

mit lim_h→0 ^ε(h)_|h| = 0

⇐⇒







u(x₀ + h₁, y₀ +h₂) = u(x₀, y₀) +h₁a−h₂b+ Re ε(h) v(x₀ + h₁, y₀ +h₂) = v(x₀, y₀) +h₁b+h₂a+ Im ε(h) mit lim_h→0 ^ε(h)_|h| = 0

⇐⇒ u, v sind differenzierbar in (x0, y0) mit

u_x(x₀, y₀) =a = v_y(x₀, y₀), u_y(x₀, y₀) = −b = −v_x(x₀, y₀).

2) Es gelten die ¨ublichen Rechenregeln ( ¨Ubung):

a) Ist f komplex differenzierbar in z₀, so ist f stetig in z₀. b) Sind f, g komplex differenzierbar in z₀, so sind f+g und f·g komplex differenzierbar in z₀ und es gilt:

(f +g)⁰(z₀) =f⁰(z₀) +g⁰(z₀) (f ·g)⁰(z₀) =f⁰(z₀)g(z₀) +f(z₀)g⁰(z₀).

Ist zus¨atzlich g(z₀) 6= 0, so ist ^f_g auf einer Kreisscheibe K(z₀, r) := {z ∈ C: |z −z₀| < r}

definiert und in z₀ komplex differenzierbar mit f

g 0

(z₀) = f⁰(z₀)g(z₀)−f(z₀)g⁰(z₀) (g(z₀))² .

c) (Kettenregel) Sind f : D → C in z₀ ∈ D^◦ und g : E → C in f(z₀) ∈ E^◦ komplex differenzierbar, so ist auch g ◦ f in z₀ komplex differenzierbar und es gilt:

(g ◦f)⁰(z₀) =g⁰(f(z₀))f⁰(z₀) Bea.: g ◦f ist in einer Umgebung von z₀ definiert.

d) Es seien D ⊆ C offen, f ∈ H(D) und γ : [a, b] → D dif- ferenzierbar. Dann ist f ◦γ : [a, b] → C differenzierbar und es gilt

(f ◦γ)⁰(t) =f⁰(γ(t))γ⁰(t) (t∈ [a, b]).

Beispiele: 1.) Jedes Polynom

p(z) =a₀ +a₁z+. . .+a_nzⁿ ist holomorph in C mit

p⁰(z) = a₁ + 2a₂z+. . .+na_nzⁿ⁻¹.

2.) f : C → C, f(z) = z ist in keiner Stelle z0 ∈ C komplex differenzierbar, denn z = x−iy, ux(x, y) = 1 6= −1 = vy(x, y).

2 Potenzreihen

Wie im reellen Fall heißt eine Reihe der Form (∗)

∞

X

n=0

an(z−z0)ⁿ (an ∈ C, z0 ∈ C) eine Potenzreihe.

Satz 2.1 (Cauchy-Hadamard) F¨ur den Konvergenzradius

R = 1

lim sup_n→∞pⁿ

|a_n|

gilt: F¨ur |z−z₀| < R ist (∗) absolut konvergent und f¨ur |z−z₀| >

R ist (∗) divergent. Weiter konvergiert (∗) gleichm¨aßig auf je- dem Kreis K(z₀, r) mit 0< r < R.

Bemerkungen: 1.) R := 0 bzw. ∞ falls lim sup_n→∞pⁿ

|a_n| = ∞ bzw. 0 und K(z₀,∞) := C.

2.) Insbesondere ist z 7→

∞

P

n=0

a_n(z −z₀)ⁿ stetig auf K(z₀, R).

Beweis: Es sei r > 0 mit r < R, also 1

r > 1

R = lim sup

n→∞

pn

|a_n|.

Es sei 1/R < q < 1/r. Dann existiert ein n0 ∈ N mit pn

|a_n| ≤ q < 1

r (n≥ n₀),

also |a_n| ≤ qⁿ (n ≥n₀). Somit gilt f¨ur |z −z₀| ≤ r, n≥ n₀:

|a_n(z−z₀)ⁿ| ≤(q ·r)ⁿ,

mit qr < 1. Nach dem Konvergenzkriterium von Weierstraß konvergiert (∗) absolut und gleichm¨aßig f¨ur |z −z₀| ≤ r.

Ist andererseits|z−z₀| > R, also _|z−z¹

0| < _R¹, so gilt pⁿ

|a_n| > _|z−z¹

0|

f¨ur unendlich viele n ∈ N⁰. Somit ist (a_n(z −z₀)ⁿ) keine Null-

folge, also ist (∗) divergent.

Beispiele: a) Geometrische Reihe:

∞

X

n=0

zⁿ = 1

1−z (|z| < 1); R = 1.

b)

∞

X

n=0

(−z²)ⁿ =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ = 1

1 +z² (|z| < 1); R = 1.

c)

exp(z) :=

∞

X

n=0

zⁿ

n!, sin(z) :=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

cos(z) :=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ

(2n)! (z ∈ C);

jeweils R = ∞.

Satz 2.2 Es sei f(z) =

∞

P

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist f ∈ H(K(z₀, R)) mit

f⁰(z) =

∞

X

n=1

na_n(z −z₀)ⁿ⁻¹.

Diese Potenzreihe hat ebenfalls den Konvergenzradius R.

Beweis: Wegen lim_n→∞ √ⁿ

n= 1 ist lim sup

n→∞

pn

n|a_n| = lim sup

n→∞

pn

|a_n|,

so daß die formal differenzierte Reihe ebenfalls den Konvergenz- radius R besitzt.

I.f. sei O.B.d.A. z₀ = 0. F¨ur z ∈ K(0, R) gilt:

f(z +h)−f(z)

h −

∞

X

n=1

na_nzⁿ⁻¹ =

∞

X

n=1

a_n

(z +h)ⁿ −zⁿ

h −nzⁿ⁻¹

=

∞

X

n=1

a_n

"

1 h

n−1

X

k=0

n k

z^kh^n−k −nzⁿ⁻¹

#

=

∞

X

n=2

a_n1 h

n−2

X

k=0

n k

z^kh^n−k = h

∞

X

n=2

a_n

n−2

X

k=0

n k

z^kh^n−2−k. Wegen

n k

= n!

k!(n−k)! = (n−2)!

k!(n−2−k)!

(n−1)·n (n−1−k)(n−k)

≤

n−2 k

n(n−1)

2 (0 ≤ k ≤n−2) folgt:

f(z+h)−f(z)

h −

∞

X

n=1

na_nzⁿ⁻¹

≤ |h|

∞

X

n=0

|a_n+2|(n+ 2)(n+ 1)

2 (|z|+|h|)ⁿ.

W¨ahlt man δ > 0 mit |z| + δ < R, so existiert eine Konstante M mit

∞

X

n=0

|a_n+2|(n+ 2)(n+ 1)

2 (|z|+|h|)ⁿ ≤M (|h| ≤ δ) woraus die Behauptung folgt. Insbesondere gilt:

f(z +h)−f(z)

h −f⁰(z)

≤ M|h| (|h| ≤ δ).

Bemerkungen: 1.) Ist f(z) =

∞

P

n=0

a_n(z −z₀)ⁿ eine Potenzreihe, so heißt

fˆ(z) :=

∞

X

n=0

|a_n|zⁿ

die Majorante von f. Sie hat den gleichen Konvergenzradius.

Es gilt (klar):

|f(z)| ≤ fˆ(|z −z₀|), |f⁰(z)| ≤ fˆ⁰(|z −z₀|).

Der Beweis von Satz 2.2 zeigt:

f(z +h)−f(z)

h −f⁰(z)

≤ |h|

2

fˆ⁰⁰(|z−z₀|+|h|), f¨ur |z−z₀|+ |h| < R.

2.) Induktiv folgt aus Satz 2.2: Ist f(z) =

∞

X

n=0

a_n(z −z₀)ⁿ

eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0, so ist f auf K(z₀, R) beliebig oft komplex differenzierbar,f⁽ⁿ⁾ ∈ H(K(z₀, R)) ist eine Potenzreihe mit KonvergenzradiusRundf⁽ⁿ⁾(z₀) = n!a_n (n∈ N⁰).

Satz 2.3 (Abel) Es sei (a_n)^∞_n=0 eine fallende Nullfolge in R. Dann konvergiert die Potenzreihe

∞

P

n=0

a_nzⁿ f¨ur alle z mit |z| ≤ 1, z 6= 1 (⇒R ≥ 1).

Beweis: Setze

s_n(z) := 1 +z+· · ·+zⁿ = 1−zⁿ⁺¹

1−z (|z| ≤ 1, z 6= 1).

Es gilt: |s_n(z)| ≤ _|1−z|² =: h(z). F¨ur n ≥m ≥1 gilt nun:

n

X

k=m

a_kz^k =

n

X

k=m

a_k(s_k(z)−s_k−1(z))

=

n

X

k=m

a_ks_k(z)−

n−1

X

k=m−1

a_k+1s_k(z)

=

n−1

X

k=m

(a_k −a_k+1)s_k(z) +a_ns_n(z)−a_ms_m−1(z).

Da (a_n) fallend ist folgt

n

X

k=m

akz^k

≤

n−1

X

k=m

ak −ak+1

!

h(z) + (an+am)h(z)

= (a_m −a_n +a_n +a_m)h(z) = 2a_mh(z).

Wegen am → 0 (m → ∞) folgt aus dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe

∞

P

k=0

akz^k.

Beispiel: f(z) =

∞

P

n=1 zⁿ

n konvergiert f¨ur |z| ≤ 1, z 6= 1.

3 Stammfunktionen

Definition 3.1 Ist Ω ⊆ C offen und f : Ω → C eine Funktion, so heißt jede Funktion F ∈ H(Ω) mit F⁰(z) =f(z) (z ∈ Ω) eine Stammfunktion von f auf Ω.

Definition 3.2 Eine offene und zusammenh¨angende Teilmenge von C heißt ein Gebiet in C.

Bemerkung: Eine offene Menge Ω ⊆ Cist genau dann ein Gebiet wenn gilt: Sind O₁, O₂ ⊆ Coffene Mengen mit Ω = O₁∪O₂ und O₁ ∩ O₂ = ∅, so gilt O₁ = Ω oder O₂ = Ω. Aquivalent ist:¨ Zu je zwei Punkten z₀, z₁ ∈ Ω existiert eine stetige Funktion γ : [0,1] → Ω mit γ(0) = z₀ und γ(1) = z₁. ( ¨Ubung.)

Satz 3.1 Ist G ⊆ C ein Gebiet und f ∈ H(G) mit f⁰(z) = 0 (z ∈ G), so ist f konstant.

Beweis: Es sei z₀ ∈ G fest gew¨ahlt und c := f(z₀).

Die Menge O₁ := {z ∈ G : f(z) 6= c} ist offen (da f stetig ist)

und O₂ := {z ∈ G: f(z) =c} ist ebenfalls offen:

Ist K(z, r) ein Kreis in G und ze∈ K(z, r), so gilt f¨ur h(t) := f(tze+ (1−t)z) (t ∈ [0,1]) :

h(0) = f(z), h(1) = f(z) unde

h⁰(t) =f⁰(tez+ (1−t)z)·(ze−z) = 0 (t ∈ [0,1]), also f(z) =e f(z). W¨are O1 6= ∅, so w¨are

G = O1 ∪O2, O1 6= ∅, O2 6= ∅, O1 ∩O2 = ∅, also G nicht zusammenh¨angend. Ein Widerspruch.

Satz 3.2 Es sei f(z) =

∞

P

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist

F(z) =

∞

X

n=0

a_n

n+ 1(z −z0)ⁿ⁺¹ eine Stammfunktion von f auf K(z0, R).

Beweis: Wegen lim sup

n→∞

n+1p

|a_n|/(n+ 1) = lim sup

n→∞

pn

|a_n|

hat obige Potenzreihe ebenfalls Konvergenzradius R. Die Be- hauptung folgt nun aus Satz 2.2.

Bemerkung: Aus Satz 3.1 folgt: Ist G ein Gebiet, so unterschei- den sich zwei Stammfunktionen einer Funktion f : G → C nur durch eine Konstante.

Beispiele: 1.) Eine Stammfunktion von exp(z), sin(z), cos(z) ist jeweils exp(z), −cos(z), sin(z) (z ∈ C).

2.) C \ {0} ist ein Gebiet. Ist n ≥ 2 so ist _1−n¹ z⁻ⁿ⁺¹ eine Stammfunktion von z⁻ⁿ. Wir werden sp¨ater sehen: z⁻¹ hat keine Stammfunktion auf C\ {0}.

3.) Ist n ≥ 0, so ist _n+1¹ zⁿ⁺¹ eine Stammfunktion von zⁿ.

4 Die Funktionen e

, log z, z

Wir wissen bereits: exp ∈ H(C) und exp⁰(z) :=

∞

X

n=1

zⁿ⁻¹

(n−1)! = exp(z) (z ∈ C).

Additionstheorem: Sei w ∈ C fest. Es gilt:

d

dz(exp(z +w) exp(−z)) =

exp(z +w) exp(−z)−exp(z+ w) exp(−z) = 0 (z ∈ C), also

exp(z+w) exp(−z) = exp(w) (z ∈ C).

Sind a, b ∈ C und setzt man w = a+b, z = −b, so folgt exp(a) exp(b) = exp(a+b).

Speziell z = x+iy, x, y ∈ R:

exp(z) = exp(x) exp(iy)

= exp(x)

∞

X

n=0

(iy)ⁿ

n! = exp(x)(cosy+ isiny).

Hieraus folgt: exp besitzt die Periode 2πi:

exp(z + 2πi) = exp(x)(cos(y + 2π) + isin(x+ 2π)) = exp(z).

Wir definieren Potenzen der Eulerschen Zahl e als e^z := exp(z) (z ∈ C).

(Stimmt f¨ur z ∈ R mit der reellen Definition ¨uberein.) Es gilt (nachrechnen):

|e^z| = e^Rez, e^iz = cosz+isinz, cos²z+ sin²z = 1;

e^z 6= 0; cosz = 1

2(e^iz +e^−iz), sinz = 1

2i(e^iz −e^−iz) (z ∈ C).

Weiter definieren wir:

coshz := 1

2(e^z + e^−z), sinhz := 1

2(e^z −e^−z) (z ∈ C);

tanz := sinz

cosz (z ∈ C: cosz 6= 0).

Bemerkung: e^z ist (anders als im reellen Fall)nicht injektiv auf C (e^z ist 2πi-periodisch) aber es gilt:

Satz 4.1 Auf G= {z : |Imz| < π} ist e^z injektiv und exp(G) = C\(−∞,0]. F¨ur die zugeh¨orige Umkehrfunktion

log : C\(−∞,0] →C gilt:

log ∈ H(C\(−∞,0]), logz = log|z|+iargz, log⁰z = 1

z (z ∈ C\(−∞,0]).

Bemerkung: Dieser Logarithmus mit G als Definitionsbereich heißt auch Hauptwert des Logarithmus.

z Re z iIm z

log(w) exp(z)

w

Im z

−i i

π π

exp(Re z)

Beweis: Aus w = e^z (w 6= 0 gegeben z gesucht) folgt:

|w| = |e^z| = e^Rez ⇒Rez = log|w|

(reeller log). Wegen

w = |w|(cos(argw) +isin(argw)) =e^z

= e^Rez(cos(Imz) + isin(Imz))

erf¨ullt Imz = argw das Verlangte, d.h. f¨ur z = log|w|+ iargw gilt e^z = w. Bea.: argw ∈ (−π, π].

Ist nun w ∈ C\(−∞,0], so hat w in G das eindeutig bestimmte Urbild z = log|w|+iargw =: logw.

Auf C\(−∞,0] ist log stetig und f¨ur w₀, w₀ +h ∈ C\(−∞,0], h 6= 0, z₀ = logw₀ und z(h) = log(w₀ +h) gilt:

log(w0 +h)−logw0

h = z(h)−z0

e^z(h)−e^z0 →_h→0 1

e^z0 = 1 w₀, also

log⁰(z) = 1

z (z ∈ C\(−∞,0]).

Es ist nun m¨oglich Potenzen komplexer Zahlen zu definieren:

z^α := e^αlogz (α ∈ C, z ∈ C\(−∞,0]) Die Funktion

√z := e^12logz = p

|z|(cos(1

2argz) +isin(1

2argz)) auf C\(−∞,0] heißt Hauptwert der Quadratwurzel.

5 Das Wegintegral

Definition 5.1 Eine stetige Abbildung γ : [α, β] → C heißt Weg, und γ^∗ := γ([α, β]) heißt der Tr¨ager von γ.

Ist γ(α) = γ(β), so heißt γ ein geschlossener Weg. Ist der Weg γ st¨uckweise stetig differenzierbar (ssd)

(α = t₀ < t₁ < · · · < t_n = β, γ_|[tk−1,tk] ∈ C¹([t_k−1, t_k])) und ist f :γ^∗ →C stetig, so definieren wir das (Weg)integral von f uber¨ γ durch

Z

γ

f(z)dz :=

Z β α

f(γ(t))·γ⁰(t)dt

und die L¨ange von γ durch L(γ) :=

Z β α

|γ⁰(t)|dt.

Ist γ1 : [α1, β1] → C ein weiterer ssd Weg mit γ₁^∗ = γ^∗ und gilt Z

γ

f(z)dz = Z

γ1

f(z)dz

f¨ur jede stetige Funktionf :γ^∗ →C, so bezeichnen wirγ und γ1

als ¨aquivalent. Ist z.B. ϕ : [α1, β1]→ [α, β] stetig differenzierbar und bijektiv mit ϕ(α₁) = α, ϕ(β₁) = β, so sind γ und γ₁ := γ◦ϕ

¨

aquivalent: Mit der Substitution s = ϕ(t) gilt

β1

Z

α1

f(γ1(t))γ₁⁰(t)dt

=

β1

Z

α1

f(γ(ϕ(t)))γ⁰(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt =

β

Z

α

f(γ(s))γ⁰(s)ds.

Insbesondere kann das Parameterintervall eines ssd Weges be- liebig gew¨ahlt werden. Sind γj : [αj, βj] → C, j = 1,2 ssd Wege mit γ1(β1) = γ2(α2), so k¨onnen die Parameterintervalle zu dem eines ssd Weges γ vereinigt werden, so daß gilt:

Z

γ

f(z)dz = Z

γ₁

f(z)dz + Z

γ₂

f(z)dz f¨ur jede auf γ^∗ = γ₁^∗ ∪γ₂^∗ stetige Funktion f.

Ist γ : [0,1] → Cein ssd Weg und γ₋ : [0,1] → Cdefiniert durch γ₋(t) = γ(1−t) so gilt: Ist f auf γ^∗ = (γ₋)^∗ stetig, so ist

Z 1 0

f(γ₋(t))γ₋⁰ (t)dt= − Z 1

0

f(γ(1−t))γ⁰(1−t)dt

= − Z 1

0

f(γ(s))γ⁰(s)ds ⇒ Z

γ₋

f(z)dz = − Z

γ

f(z)dz.

Ist γ : [α, β] → C ein ssd Weg so gilt f¨ur stetiges f : γ^∗ →C:

Z

γ

f(z)dz

≤ kfk_∞ Z β

α

|γ⁰(t)|dt= kfk_∞·L(γ),

mit kfk_∞ = max_z∈γ^∗|f(z)|.

Spezialf¨alle:

1.) a ∈ C, r > 0, γ(t) =a+re^it (t∈ [0,2π]) (positiv orientierter Kreis). Hier gilt:

Z

γ

f(z)dz = ir Z 2π

0

f(a+re^it)e^itdt und L(γ) = 2πr.

2.) a, b ∈ C, γ(t) = a+ (b−a)t(t ∈ [0,1]) (Verbindungsstrecke).

Hier ist Z

γ

f(z)dz = (b−a) Z 1

0

f(a+ (b−a)t)dt und L(γ) = |b−a|. Der Weg

γ₁(t) = a(β−t) +b(t−α)

β −α (α ≤ t≤ β)

ist ¨aquivalent zuγ. F¨ur das Wegintegral ¨uber diese Wege schreiben

wir Z

[a,b]

f(z)dz.

Bea.: R

γ₋ f(z)dz = R

[b,a]f(z)dz.

Nun sei (a, b, c) ∈ C³. Mit ∆ = ∆(a, b, c) bez. wir das durch a, b, c festgelegte (evtl. entartete) Dreieck und definieren

Z

∂∆

f(z)dz = Z

[a,b]

f(z)dz + Z

[b,c]

f(z)dz + Z

[c,a]

f(z)dz f¨ur jede stetige Funktion f : ∂∆ →C.

Satz 5.1 Es sei γ : [α, β] → C ein ssd Weg, f : γ^∗ → C stetig, Ω := C\γ^∗ und g : Ω →C definiert durch

g(z) = Z

γ

f(ξ)

ξ −zdξ (z ∈ Ω).

Dann gilt: Ist K(z₀, r) ⊆ Ω, so ist g aufK(z₀, r) als Potenzreihe mit Konvergenzradius ≥ r darstellbar. Insbesondere gilt also g ∈ H(Ω).

Beweis: Sei K(z₀, r) ⊆ Ω und z ∈ K(z₀, r). Es ist g(z) =

Z β α

f(γ(t))γ⁰(t) γ(t)−z dt.

F¨ur t ∈ [α, β] gilt:

z −z₀ γ(t)−z₀

≤ |z −z₀| r < 1.

Somit konvergiert f¨ur jedes feste z ∈ K(z₀, r) die geometrische Reihe

∞

X

n=0

(z−z0)ⁿ

(γ(t)−z₀)ⁿ⁺¹ = 1

γ(t)−z₀ · 1 1− _γ(t)−z^z−z0

0

= 1

γ(t)−z gleichm¨aßig auf [α, β]. Wir erhalten:

g(z) = Z β

α

f(γ(t))γ⁰(t)

∞

X

n=0

(z −z0)ⁿ

(γ(t)−z₀)ⁿ⁺¹ dt

=

∞

X

n=0

Z β α

f(γ(t))γ⁰(t) (γ(t)−z₀)ⁿ⁺¹ dt

(z−z₀)ⁿ

=

∞

X

n=0

Z

γ

f(ξ)

(ξ −z₀)ⁿ⁺¹ dξ

(z −z₀)ⁿ (z ∈ K(z₀, r)).

Sprechweise: Man sagt g ist auf Ω (lokal) durch Potenzreihen darstellbar.

Bemerkungen 1.) Insbesondere gilt:

g⁽ⁿ⁾(z0) = n!

Z

γ

f(ξ)

(ξ −z₀)ⁿ⁺¹ dξ (z0 ∈ Ω, n ∈ N⁰).

2.) Der Konvergenzradius der Potenzreihenentwicklung von g um z₀ ist mindestens dist(z₀, γ^∗) = min_ξ∈γ^∗|z₀ −ξ|, kann aber

gr¨oßer sein (z.B. ∞ falls f = 0).

Der Index eines ssd geschlossenen Weges:

Sei γ : [α, β] → C ein solcher Weg und Ω := C\γ^∗. Die Menge Ω ⊆C ist offen. Es sei z ∈ Ω und

Ω_z := {w ∈ Ω : Es ex. ein Weg in Ω der z und w verbindet}, so ist Ωz eine offene Menge in C und zusammenh¨angend (die gr¨oßte zusammenh¨angende Teilmenge von Ω, die z enth¨alt).

Eine solche Menge heißt Zusammenhangskomponente von Ω.

Verschiedene Zusammenhangskomponenten von Ω sind paar- weise disjunkt und Ω hat h¨ochstens abz¨ahlbar viele Zusammen- hangskomponenten ( ¨Ubung).

Da γ^∗ kompakt ist existiert ein KreisK(z₀, r) mit γ^∗ ⊆ K(z₀, r).

Da C\K(z₀, r) zusammenh¨angend ist hat Ω genau eine unbe- schr¨ankte Zusammenhangskomponente.

Satz 5.2 Sei γ : [α, β] → C ein ssd geschlossener Weg, Ω :=

C\γ^∗, so definieren wir die Funktion ind_γ : Ω →C durch ind_γ(z) := 1

2πi Z

γ

dξ

ξ −z (z ∈ Ω).

Es gilt ind_γ(Ω) ⊆ Z und ind_γ = 0 auf der unbeschr¨ankten Zusammenhangskomponente von Ω. Weiter ist ind_γ auf jeder Zusammenhangskomponente von Ω konstant.

Sprechweise:

ind_γ(z) heißt Index oder Umlaufzahl von γ in z.

Beweis: Sei z ∈ Ω fest.

ind_γ(z) = 1 2πi

Z β α

γ⁰(s)

γ(s)−z ds.

Wegen _2πi^w ∈ Z ⇔ e^w = 1 gilt ind_γ(z) ∈ Z g.d.w. f¨ur ϕ(t) := exp

Z t α

γ⁰(s) γ(s)−z ds

(t ∈ [α, β])

gilt: ϕ(β) = 1. Da γ ssd ist, ist auch ϕ ssd und bis auf evtl.

endlich viele Stellen gilt:

ϕ⁰(t)

ϕ(t) = γ⁰(t)

γ(t)−z (t ∈ [α, β]\S, S endlich).

Somit istt→ _γ(t)−z^ϕ(t) eine stetige Funktion auf [α, β] mit Ableitung ϕ⁰(t)(γ(t)−z)−ϕ(t)γ⁰(t)

(γ(t)−z)² = 0

auf [α, β]\S. Da S endlich ist, ist _γ−z^ϕ konstant auf [α, β] und wegen ϕ(α) = 1 folgt

ϕ(t)

γ(t)−z = 1

γ(α)−z (t ∈ [α, β]) also

ϕ(t) = γ(t)−z

γ(α)−z (t∈ [α, β]).

Wegen γ(α) = γ(β) folgt ϕ(β) = 1, also ind_γ(z) ∈ Z. Sei nun z ∈ Ω und Ω_z die zugeh¨orige Zusammenhangskomponente.

Nach Satz 5.1 ist z 7→ ind_γ(z) stetig auf Ω. Damit ist ind_γ(Ω_z) zusammenh¨angend, somit konstant auf Ω_z.

Weiter gilt

|ind_γ(z)| ≤ 1 2π

Z β α

|γ⁰(s)|

|γ(s)−z|ds < 1

f¨ur|z|hinreichend groß. Also ist ind_γ(z) = 0 auf der unbeschr¨ank-

ten Zusammenhangskomponente von Ω.

Beispiele: 1) Sei γ(t) =a+re^it (t∈ [0,2π]). Dann gilt ind_γ(z) =

( 1, |z−a| < r 0, |z−a| > r

Beweis: Ω = C \ {z : |z − a| = r}), und {z : |z − a| > r}

ist die unbeschr¨ankte Zusammenhangskomponente von Ω. F¨ur

|z −a| < r gilt

ind_γ(z) = ind_γ(a) = 1 2πi

Z

γ

dξ

ξ −a = 1 2πi

Z 2π 0

rie^it

re^it dt= 1.

2) Es sei

γ(t) =e^it+e^2it (t∈ [0,2π]).

Dann ist z.B.

indγ(z) = 0 (|z| > 2), indγ(1 +i) = 1, indγ(−1/3) = 2 (vgl. Kapitel 10).

-2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3

6 Der lokale Cauchysche Integralsatz

Satz 6.1 Es sei Ω ⊆ C offen, F ∈ H(Ω), F⁰ stetig in Ω und γ : [α, β] →Ω ein ssd geschlossener Weg. Dann ist

Z

γ

F⁰(z) dz = 0.

Beweis:

Z

γ

F⁰(z) dz = Z β

α

F⁰(γ(t))γ⁰(t) dt= F(γ(β))−F(γ(α)) = 0.

Beispiel: Sei n ∈ Z, n 6= −1. Dann ist zⁿ =

zⁿ⁺¹ n+1

0

und wir erhalten

Z

γ

zⁿ dz = 0 (n = 0,1,2, . . .),

sowie falls 0 6∈ γ^∗ Z

γ

zⁿ dz = 0 (n = −2,−3,−4, . . .) f¨ur jeden ssd geschlossen Weg γ. F¨ur n = −1 gilt:

Z

γ

1

z dz = (2πi)ind_γ(0) (0 6∈ γ^∗).

Z.B. f¨ur γ(t) =e^it (t∈ [0,2π]) ist ind_γ(0) = 1 6= 0. Also hat z⁻¹ auf C\ {0} keine Stammfunktion.

Satz 6.2 (Lemma von Goursat)

Sei ∆ = ∆(a, b, c) ein Dreieck in der offenen Menge Ω ⊆ C, p ∈ Ω, f : Ω → C stetig und f ∈ H(Ω\ {p}). Dann gilt:

Z

∂∆

f(z) dz = 0.

Beweis: Zun¨achst sei p 6∈ ∆. Seien a⁰, b⁰ und c⁰ jeweils die Mit- telpunkte der Strecken [b, c], [c, a] und [a, b].

Es bezeichne ∆^j, j = 1, . . . ,4 die 4 Dreiecke

∆(a, c⁰, b⁰), ∆(b, a⁰, c⁰), ∆(c, b⁰, a⁰), ∆(a⁰, b⁰, c⁰), und J := R

∂∆f(z)dz.

a

b c

b’

c’

a’

∆⁴

∆¹

∆³

∆²

Dann gilt:

J =

4

X

j=1

Z

∂∆^j

f(z) dz.

Damit ex. ein j₀ ∈ {1,2,3,4} mit

Z

∂∆^j0

f(z) dz

≥ |J|

4 . Sei ∆₁ := ∆^j0.

Dieselbe Konstruktion mit ∆₁ statt ∆ f¨uhrt auf ein Dreieck ∆₂ usw. Induktiv erh¨alt man eine Folge von Dreiecken (∆_n) mit

∆ ⊇ ∆₁ ⊇ ∆₂ ⊇ . . ., so daß|J| ≤ 4ⁿ R

∂∆nf(z) dz

(n ∈ N) gilt.

Weiter ist L(∂∆_n) = 2⁻ⁿL(∂∆) und lim_n→∞diam(∆_n) = 0 (we- gen diam(∆_n) ≤ L(∂∆_n)).

Nach dem Cantorschen Durchschnittssatz existiert ein z₀ ∈ Ω mit ∆∩T∞

n=1∆_n = {z₀}. Da f in z₀ komplex differenzierbar ist, existiert zu ε > 0 ein r > 0 mit K(z₀, r) ⊆Ω und

|f(z)−f(z0)−f⁰(z0)(z −z0)| ≤ ε|z−z0| (z ∈ K(z0, r)) dazu ein n∈ N mit ∆n ⊆ K(z0, r). F¨ur dieses n gilt:

|z−z₀| ≤ 2⁻ⁿL(∂∆) (z ∈ ∆_n).

Wegen (vgl. Satz 6.1) Z

∂∆_n

f(z) dz = Z

∂∆_n

(f(z)−f(z₀)−f⁰(z₀)(z−z₀)) dz folgt

Z

∂∆n

f(z)dz

≤ ε 2⁻ⁿL(∂∆)2

und somit |J| ≤ε(L(∂∆))². Da ε > 0 beliebig war folgt J = 0.

Nun sei p eine Ecke von ∆, o.B.d.A. p = a. Liegen a, b, c auf einer Geraden, so ist J = 0 trivial ( ¨Ubung). Falls nicht, w¨ahle

x ∈ [a, b], y ∈ [a, c] nahe bei a.

b c

p=a x

y

Dann ist Z

∂∆

f(z)dz = Z

∂∆(a,x,y)

f(z)dz+

Z

∂∆(x,b,y)

f(z)dz+

Z

∂∆(b,c,y)

f(z)dz

= Z

∂∆(a,x,y)

f(z) dz, da p /∈ ∆(x, b, y)∪∆(b, c, y).

DaL(∂∆(a, x, y)) beliebig klein gemacht werden kann, folgtJ = 0.

Ist p ∈ ∆ beliebig, so folgt J = 0 aus dem 2. Teil und J =

Z

∂∆(a,b,p)

f(z) dz+ Z

∂∆(b,c,p)

f(z) dz + Z

∂∆(c,a,p)

f(z) dz.

b c

p

a

Satz 6.3 (Cauchyscher Integralsatz f¨ur konvexe Mengen)

Sei Ω ⊆ C offen und konvex, p ∈ Ω, f : Ω → C stetig und f ∈ H(Ω \ {p}). Dann existiert ein F ∈ H(Ω) mit

F⁰(z) =f(z) (z ∈ Ω).

Insbesondere ist f¨ur jeden ssd geschlossenen Weg γ in Ω Z

γ

f(z) dz = 0, (vgl. Satz 6.1).

Beweis: Sei a ∈ Ω fest. Da Ω konvex ist existiert F(z) :=

Z

[a,z]

f(ξ) dξ (z ∈ Ω).

Ebenfalls da Ω konvex ist liegt jedes Dreieck ∆(a, z0, z) in Ω (z, z0 ∈ Ω).

Nach Satz 6.2 gilt F(z)−F(z₀) =

Z

[a,z]

f(ξ) dξ + Z

[z₀,a]

f(ξ) dξ = Z

[z₀,z]

f(ξ) dξ.

F¨ur festes z₀ ∈ Ω folgt f¨ur z ∈ Ω\ {z₀} F(z)−F(z₀)

z −z₀ −f(z₀) = 1 z−z₀

Z

[z0,z]

(f(ξ)−f(z₀)) dξ.

Es sei ε > 0. Da f in z₀ stetig ist existiert ein δ > 0 mit K(z₀, δ) ⊆Ω und

|f(ξ)−f(z₀)| < ε (ξ ∈ K(z₀, δ)).

F¨ur 0 < |z−z₀| < δ folgt

F(z)−F(z₀)

z−z₀ −f(z₀)

< ε

|z −z₀|L([z₀, z]) = ε.

Also ist F⁰(z₀) = f(z₀). Da z₀ ∈ Ω beliebig war ist F eine

Stammfunktion von f auf Ω.

Satz 6.4 (Cauchysche Integralformel f¨ur konvexe Mengen)

Sei Ω ⊆ Coffen und konvex,f ∈ H(Ω)undγ ein ssd geschlossener Weg in Ω. Dann gilt:

f(z)ind_γ(z) = 1 2πi

Z

γ

f(ξ)

ξ −z dξ (z ∈ Ω\γ^∗).

Beweis: Sei z ∈ Ω\γ^∗ fest und g : Ω → C definiert durch g(ξ) =

( _f(ξ)−f(z)

ξ−z , ξ ∈ Ω\ {z}

f⁰(z), ξ = z

Dann ist g stetig auf Ω und g ∈ H(Ω\ {z}). Nach Satz 6.3 ist 1

2πi Z

γ

g(ξ)dξ = 0

also 1

2πi Z

γ

f(ξ)−f(z)

ξ −z dξ = 0.

Hieraus folgt die Behauptung.

Beispiel: Es sei γ(t) = 2·e^it (t∈ [0,2π]). Dann gilt:

1 2πi

Z

γ

4z

(1 +z)(3−z) dz = 1 2πi

Z

γ

z

1 +z + z 3−z dz

= 1 2πi

Z

γ

ξ

ξ −(−1) dξ + 1 2πi

Z

γ

−ξ ξ −3 dξ

= (−1) ind_γ(−1)

| {z }

=1

+(−3) ind_γ(3)

| {z }

=0

= −1.

Satz 6.5 Sei Ω ⊆ C offen und f ∈ H(Ω). Ist K(z₀, R) ⊆ Ω, so ist f auf K(z₀, R) durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius

≥ R darstellbar.

Beweis: Es sei r ∈ (0, R) und γ : [0,2π] → Ω der Weg γ(t) = z₀ + re^it. Da K(z₀, R) konvex ist und γ in diesem Kreis liegt folgt aus Satz 6.4

f(z) = 1 2πi

Z

γ

f(ξ)

ξ −z dξ (z ∈ K(z₀, r)).

Wegen K(z₀, r) ⊆C\γ^∗ ist nach Satz 5.1 f(z) =

∞

X

n=0

c_n(z −z₀)ⁿ (z ∈ K(z₀, r))

f¨ur eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ≥ r. Da r ∈ (0, R) beliebig war, und da die c_n durch die Ableitungen f⁽ⁿ⁾(z₀) be- stimmt sind ist der Konvergenzradius obiger Potenzreihe min-

destens R.

Satz 6.6 Es sei Ω ⊆ C offen und f ∈ H(Ω). Dann ist f⁰ ∈ H(Ω) und damit

f⁽ⁿ⁾ ∈ H(Ω) (n∈ N⁰).

Beweis: Folgt induktiv aus Satz 6.5 und Satz 2.2.

Eine Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes ist:

Satz 6.7 (Satz von Morera)

Sei Ω ⊆ C offen, f : Ω →C stetig und Z

∂∆

f(z) dz = 0

f¨ur jedes Dreieck ∆ ⊆ Ω. Dann ist f ∈ H(Ω).

Beweis: Sei V ⊆ Ω konvex und offen. Genau wie im Beweis von Satz 6.3 folgt: Es existiert ein F ∈ H(V) mit F⁰(z) = f(z) (z ∈ V). Aus F ∈ H(V) folgt f ∈ H(V). Da V ⊆Ω so gew¨ahlt werden kann, daß V einen vorgegebenen Punkt aus Ω enth¨alt

folgt f ∈ H(Ω).

7 Eigenschaften holomorpher Funktionen

Satz 7.1 Sei Ω ⊆ C ein Gebiet, f ∈ H(Ω) und

Z(f) := {a ∈ Ω : f(a) = 0} (=f⁻¹({0})).

Dann ist entwederZ(f) = Ωoder Z(f) hat keinen H¨aufungspunkt in Ω. Im 2. Fall gilt: Zu jedem a ∈ Z(f) existiert genau ein m = m(a) ∈ N, so daß ein g ∈ H(Ω) existiert mit g(a) 6= 0 und

f(z) = (z−a)^mg(z) (z ∈ Ω).

Bemerkungen:

1.) Ist Z(f) 6= Ω so ist Z(f) h¨ochstens abz¨ahlbar ( ¨Ubung).

Hinweis: Betrachte

K_n := {z ∈ Ω : dist(z,C\Ω) ≥ 1

n,|z| ≤n}, falls Ω 6= C.

2.) m heißt die Ordnung der Nullstelle a von f.

3.) Betrachte z.B. Ω = {z : Rez > 0} und f : Ω → C, f(z) = sin(1/z). Dann ist 0 H¨aufungspunkt von Z(f) aber 0 ∈/ Ω.

Beweis: Sei A die Menge aller H¨aufungspunkte von Z(f) in Ω.

Daf stetig ist, istA ⊆ Z(f). Seia ∈ Z(f) fest undK(a, r) ⊆ Ω.

Nach Satz 6.5 gilt (bea. c₀ = f(a) = 0):

f(z) =

∞

X

n=0

c_n(z −a)ⁿ (z ∈ K(a, r)).

1. Fall: c_n = 0 (n ∈ N). Dann ist K(a, r) ⊆ Z(f) und K(a, r) ⊆A.

2. Fall: ∃n ∈ N: c_n 6= 0. Dann existiert ein kleinstes m ∈ N mit c_m 6= 0.

Wir definieren g : Ω →C durch:

g(z) =

( (z −a)^−mf(z), z ∈ Ω\ {a}

c_m, z = a

Dann ist g(a) 6= 0 und f(z) = (z − a)^mg(z) (z ∈ Ω). Es gilt g ∈ H(Ω\ {a}). Wegen

g(z) =

∞

X

k=0

c_m+k(z−a)^k (z ∈ K(a, r)) folgt g ∈ H(K(a, r)) also insgesamt g ∈ H(Ω).

Weiter istmeindeutig bestimmt, denn ausg₁, g₂ ∈ H(Ω),g₁(a) 6=

0 6= g₂(a) und

f(z) = (z −a)^m1g1(z) = (z −a)^m2g2(z) (z ∈ Ω) folgt m₁ = m₂.

Da g stetig auf Ω ist, ist wegen g(a) 6= 0 auf einer Umgebung K(a, δ) auch

g(z) 6= 0 (z ∈ K(a, δ)), also

f(z) 6= 0 (z ∈ K(a, δ)\ {a}).

Somit ist a ein isolierter Punkt von Z(f).

Ist a ∈ A, so muss also der 1. Fall eintreten. Damit istA eine of- fene Teilmenge von C. Ist z ∈ Ω kein H¨aufungspunkt von Z(f), so gibt es eine Umgebung von z, die keinen H¨aufungspunkt von Z(f) enth¨alt. Also ist auch B := Ω \A eine offene Teilmenge von C.

Da Ω ein Gebiet ist, ist entweder Ω = A (dann ist Ω = Z(f))

oder Ω = B, d.h. A = ∅.

Folgerung (Identit¨atssatz): Ist Ω ⊆ C ein Gebiet, f, g ∈ H(Ω) und hat {z ∈ Ω : f(z) = g(z)} einen H¨aufungspunkt in Ω so gilt f = g.

Definition 7.1 Sei Ω ⊆ C offen, a ∈ Ω und f ∈ H(Ω \ {a}).

Dann sagt man: f hat eine isolierte Singularit¨at im Punkt a. Kann f zu einer holomorphen Funktion auf Ω fortgesetzt werden, so heißt a hebbar.

Satz 7.2 (Riemannscher Hebbarkeitssatz)

Es sei Ω ⊆ C offen, a ∈ Ω, f ∈ H(Ω\ {a}) und es existiere ein r > 0 so, daß f auf K(a, r)\ {a} beschr¨ankt ist. Dann ist a eine hebbare Singularit¨at.

Beweis: Es sei h : Ω → C definiert durch

h(a) = 0, h(z) = (z −a)²f(z) (z ∈ Ω\ {a}).

Dann gilt:

z→alim

h(z)−h(a)

z−a = lim

z→a(z −a)f(z) = 0 also h⁰(a) = 0.

Somit ist h ∈ H(Ω). Wegen h(a) = h⁰(a) = 0 ist h(z) =

∞

X

n=2

c_n(z−a)ⁿ (z ∈ K(a, r)).

Setzt man f(a) := c2 so folgt f(z) =

∞

X

n=0

c_n+2(z−a)ⁿ (z ∈ K(a, r)),

also f ∈ H(Ω).

Klassifikation isolierter Singularit¨aten:

Satz 7.3 Es sei Ω ⊆C offen, a ∈ Ω und f ∈ H(Ω\ {a}). Dann liegt genau einer der folgenden drei F¨alle vor:

1.) f hat in a eine hebbare Singularit¨at.

2.) Es gibt ein m ∈ N und c₁, . . . , c_m ∈ C mit c_m 6= 0 so, daß f(z)−

m

X

k=1

c_k

(z −a)^k (z ∈ Ω\ {a}) in a eine hebbare Singularit¨at hat.

3.) Ist K(a, r) ⊆ Ω, so ist f(K(a, r) \ {a}) dicht in C. (Satz von Casorati-Weierstraß).

Bemerkungen: Tritt Fall 2.) ein, so sind m und c₁, . . . , c_m in der rationale Funktion

Q(z) =

m

X

k=1

c_k (z−a)^k

eindeutig bestimmt ( ¨Ubung), a heißt ein Pol der Ordnung m von f, und Q heißt der Hauptteil von f in a. Es gilt dann

|f(z)| → ∞ (z →a),

denn ist K(a, r) ⊆ Ω, so existiert ein M ≥ 0 so, daß f¨ur alle z ∈ K(a, r)\ {a} gilt:

|f(z)| ≥ |c_m| · 1

|z−a|^m− |c_m−1| 1

|z −a|^m−1− · · · − |c₁| 1

|z −a|−M.

Tritt Fall 3.) ein, so heißt a wesentliche Singularit¨at von f. Beweis: Angenommen 3.) gilt nicht. Dann existiert ein r > 0 und ein w ∈ C mit K(a, r) ⊆ Ω und

w 6∈ f(K(a, r)\ {a}), also gilt f¨ur ein δ > 0:

|f(z)−w|> δ (z ∈ K(a, r)\ {a}).

Sei g : K(a, r) \ {a} → C definiert durch g(z) = 1/(f(z)−w).

Dann ist g ∈ H(K(a, r) \ {a}) und |g(z)| < 1/δ. Nach Satz

7.2 ist a eine hebbare Singularit¨at von g, also g ∈ H(K(a, r)) (fortgesetzt).

1. Fall: g(a) 6= 0. Dann ist |g(z)| ≥ c > 0 auf einem Kreis K(a, ρ) ⊆K(a, r), also

|f(z)| ≤ |w|+ 1

|g(z)| ≤ |w|+ 1

c (z ∈ K(a, ρ)\ {a}) und nach Satz 7.2 ist a eine hebbare Singularit¨at von f.

2. Fall: Ist a Nullstelle der Ordnung m ∈ N von g, so ist nach Satz 7.1

g(z) = (z−a)^mg₁(z) (z ∈ K(a, r))

mit g1 ∈ H(K(a, r)), g1(a) 6= 0. Wegen g(z) 6= 0 auf K(a, r)\ {a} ist auch g1(z) 6= 0 auf K(a, r)\ {a}. Sei

h(z) := 1

g₁(z) (z ∈ K(a, r)).

Dann ist h ∈ H(K(a, r)) und es gilt:

f(z) =w + (z −a)^−mh(z) (z ∈ K(a, r)\ {a}) und

h(z) =

∞

X

n=0

bn(z−a)ⁿ (z ∈ K(a, r)) mit b₀ = h(0) 6= 0, also

f(z) = w+ b₀

(z−a)^m + b₁

(z −a)^m−1 +· · ·+ b_m−1 (z−a) +

∞

X

n=m

b_n(z−a)^n−m (z ∈ K(a, r)\ {a}).

Setze c_k = b_m−k (k = 1, . . . , m).

Beispiele: 1.) f : C\ {0} → C, f(z) = e^1z hat in z = 0 eine wesentliche Singularit¨at, denn

f(−¹_n) = e⁻ⁿ → 0 (n → ∞) ⇒ 0 ist kein Pol.

|f(_n¹)| = eⁿ → ∞ (n → ∞) ⇒ 0 ist nicht hebbar.

2.) f : C\ {π} → C, f(z) = _(z−π)^sinz2 hat in z = π einen Pol 1.

Ordnung, denn

sinz =

∞

X

k=0

a_k(z −π)^k mit a0 = 0 und a1 = cos(π) = −1 6= 0, also

sinz

(z −π)² + 1 z −π =

∞

X

k=2

a_k(z −π)^k−2

3.) Hat f ina eine isolierte Singularit¨at, so gilt: f hat ina einen Pol der Ordnung m ⇔ lim_z→a(z−a)^mf(z) existiert und ist 6= 0.

Beweis: “⇒” klar nach Satz 7.3, Fall 2.)

“⇐” vgl. Beweis von Satz 7.3.

Beispiel: Betrachte

f : C\ {kπ : k ∈ Z} → C, f(z) = 1 (sinz)². Es gilt

z→kπlim(z −kπ)² 1

(sinz)² = lim

z→kπ

(z−kπ)²

(sin(z−kπ))² = 1.

Also ist f¨ur jedes k ∈ Z die Stelle kπ ein Pol 2. Ordnung f. 4.) Es sei f : C\({0} ∪ {_kπ¹ :k ∈ Z \ {0}) → C definiert durch

f(z) = 1 sin(¹_z).

F¨ur jedes k ∈ Z \ {0} ist _kπ¹ eine isolierte Singularit¨at (ein Pol 1. Ordnung), aber 0 ist keine isolierte Singularit¨at.

Satz 7.4 (Die Cauchysche Integralformel f¨ur Ableitungen) Es sei Ω ⊆ C offen und konvex, f ∈ H(Ω) und γ ein ssd geschlossener Weg in Ω. Dann gilt:

f⁽ⁿ⁾(z)ind_γ(z) = n!

2πi Z

γ

f(ξ)

(ξ −z)ⁿ⁺¹ dξ (z ∈ Ω\γ^∗)

f¨ur alle n ∈ N⁰.

Beweis (f¨ur n = 1): Es sei z ∈ Ω \ γ^∗ fest und r > 0 so, daß K(z, r) ⊆ Ω\γ^∗. Dann ist indγ konstant auf K(z, r) und es gilt f¨ur alle h ∈ K(0, r)\ {0}:

f(z +h)−f(z)

h ind_γ(z) = 1 2πi

Z

γ

f(ξ)1 h

1

ξ −z −h − 1 ξ −z

dξ

= 1 2πi

Z

γ

f(ξ) 1

(ξ −z)(ξ −z −h) dξ.

Weiter gilt f¨ur 0 < |h| ≤ ₂^r:

1

(ξ −z)(ξ −z −h) − 1 (ξ −z)²

=

h

(ξ −z)²(ξ −z −h)

≤ |h| · 1 r² · 1

r 2

= 2|h|

r³ (ξ ∈ γ^∗), also ist f¨ur 0 < |h| ≤ ^r₂:

f(z +h)−f(z)

h ind_γ(z)− 1 2πi

Z

γ

f(ξ) (ξ −z)²dξ

≤ 1

2πL(γ)·max

ξ∈γ^∗ |f(ξ)| · 2|h|

r³ →0 (h → 0).

Hieraus folgt die Behauptung f¨ur n = 1. Der Fall n > 1 kann

¨

ahnlich bewiesen werden.

Satz 7.5 (Cauchysche Ungleichungen)

Es sei f ∈ H(K(z₀, R)) und |f(z)| ≤ M (z ∈ K(z₀, R)). Dann gilt:

|f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ n!M

Rⁿ (n ∈ N⁰).

Beweis: Es sei 0 < r < R und γ(t) =z₀ +re^it (t∈ [0,2π]).

Nach Satz 7.4 gilt:

f⁽ⁿ⁾(z₀)

= n!

2π Z

γ

f(ξ)

(ξ −z₀)ⁿ⁺¹ dξ

≤ n!

2π Z 2π

0

f(γ(t)) (re^it)ⁿ⁺¹ire^it

dt ≤ n!

2π ·2π· M

rⁿ = n!M rⁿ .

Mit r →R− folgt die Behauptung.

Definition 7.2 Eine Funktion heißtganz, wenn sie auf Cholo- morph ist. Die Menge der ganzen Funktionen ist also H(C).

Satz 7.6 (Liouville)

Ist f ∈ H(C) beschr¨ankt, so ist f konstant.

Beweis: F¨ur ein M ≥ 0 gilt |f(z)| ≤M (z ∈ C) und es sei f(z) =

∞

X

n=0

c_nzⁿ

die Potenzreihenentwicklung von f (Konvergenzradius = ∞).

Nach Satz 7.5 gilt f¨ur n≥ 1 und R >0:

|c_n| = |f⁽ⁿ⁾(0)|

n! ≤ M

Rⁿ → 0 (R → ∞),

also c_n = 0 (n ∈ N). Damit gilt: f(z) =c₀ (z ∈ C).

Satz 7.7 (Hauptsatz der Algebra)

Es sei n ∈ N und p(z) = zⁿ + an−1zⁿ⁻¹ + · · · + a1z + a0, mit a₀, a₁, . . . , a_n−1 ∈ C. Dann hat p genau n Nullstellen in C, z₁, z₂, . . . , z_n (nicht notwendig verschieden; die Summe der Ord- nungen der verschiedenen Nullstellen ist n), und es gilt:

p(z) = (z −z₁)(z −z₂)· · · · ·(z −z_n).

Beweis: Es sei r > 1 + 2|a₀|+|a₁|+· · ·+|a_n−1| =: c. Dann gilt

|p(re^it)| ≥ rⁿ− |a_n−1|rⁿ⁻¹ − |a_n−2|rⁿ⁻² − · · · − |a₁|r − |a₀|

= rⁿ⁻¹(r − |a_n−1| − |a_n−2|1

r − · · · − |a₁| 1

rⁿ⁻² − |a₀| 1 rⁿ⁻¹)

≥_r>1 rⁿ⁻¹(r − |a_n−1| − |a_n−2| − · · · − |a₁| − |a₀|)

> rⁿ⁻¹(1 +|a₀|) > 1 +|a₀| > |p(0)| (t∈ [0,2π]).

Angenommen: p(z) 6= 0 (z ∈ C). Dann ist _p¹ ∈ H(C) und es gilt f¨ur alle z ∈ C:

1 p(z)

≤ max

1 p(w)

:|w| ≤ c

+

1 p(0)

.

Nach Satz 7.6 ist p konstant, ein Widerspruch.

Also gilt p(z₁) = 0 f¨ur ein z₁ ∈ C und es existiert ein Polynom q mit grad q = n − 1 und p(z) = (z − z₁)q(z). Wiederholte Anwendung liefert:

p(z) = (z −z₁)(z −z₂)· · · · ·(z −z_n).

Der Satz von der Gebietstreue und das Maximumprinzip:

Satz 7.8 Es sei f ∈ H(K(z₀, R)) und

|f(z₀)| < min

|z−z0|=r|f(z)|

f¨ur ein r ∈ (0, R). Dann gibt es ein w ∈ K(z₀, r) mit f(w) = 0.

Beweis: Angenommen f(z) 6= 0 (z ∈ K(z₀, r)). Wegen f(z) 6= 0 (z ∈ ∂K(z₀, r)) folgt min_|z−z0|≤r|f(z)| > 0 und da f stetig ist, existiert ein er ∈ (r, R) mit f(z) 6= 0 (z ∈ K(z₀,er)). Also ist

g := 1

f ∈ H(K(z₀,er)).

F¨ur den Weg γ(t) =z₀ +re^it (t ∈ [0,2π])) folgt damit

|g(z₀)| = 1 2π

Z

γ

g(ξ) ξ −z₀ dξ

≤ 1

min_|z−z0|=r|f(z)|

also |f(z₀)| ≥min_|z−z0|=r|f(z)|, ein Widerspruch.

Satz 7.9 (Satz von der Gebietstreue)

Sei Ω ⊆ C ein Gebiet und f ∈ H(Ω). Dann ist entweder f(Ω) ein Gebiet oder f ist konstant.

Beweis: Es sei f nicht konstant. Die Menge f(Ω) ist zusam- menh¨angend als stetiges Bild einer zusammenh¨angenden Menge.

Wir zeigen, daß f(Ω) auch offen ist:

Es seiw₀ ∈ f(Ω), alsow₀ = f(z₀), z₀ ∈ Ω. Es existiert einδ > 0:

f(z) 6= w₀ (z ∈ ∂K(z₀, δ)),

sonst w¨are f(z) = w₀ (z ∈ Ω), vgl. Satz 7.1. Da f stetig ist, existiert ein ε > 0 mit

|f(z)−w0| ≥ 3ε (z ∈ ∂K(z0, δ)).

Wir zeigen K(w₀, ε) ⊆f(Ω):

F¨ur |w−w₀| < ε und |z−z₀| = δ gilt:

|f(z)−w| = |f(z)−w₀ +w₀ −w|

≥ |f(z)−w₀| − |w₀ −w| ≥3ε−ε = 2ε und |f(z0)−w| = |w₀ −w| < ε, also

|f(z0)−w| < min

|z−z0|=δ|f(z)−w|.

Nach Satz 7.8 hat f(z)−w eine Nullstelle z_w mit |z_w−z₀| < δ,

also f(z_w) = w f¨ur ein z_w ∈ Ω.

Satz 7.10 (Das Maximumprinzip)

Es sei Ω ⊆ C ein Gebiet und f ∈ H(Ω). Dann gilt:

1.) Hat |f| in Ω ein lokales Maximum, so ist f konstant.

2.) Ist f(z) 6= 0 (z ∈ Ω) und hat |f| ein lokales Minimum in Ω, so ist f konstant.

3.) Ist Ω beschr¨ankt und f : Ω → C stetig und holomorph in Ω, so gilt

max

z∈Ω

|f(z)| = max

z∈∂Ω|f(z)|.

Beweis: 2.) folgt aus 1.) angewandt auf 1/f ∈ H(Ω).

Zum Beweis von 1.) sei K(a, r) ⊆Ω mit

|f(z)| ≤ |f(a)| (z ∈ K(a, r)).

Dann gilt f¨ur jedes ρ ∈ (0, r) und γ(t) = a+ ρe^it (t∈ [0,2π]):

|f(a)| = 1 2π

Z

γ

f(ξ) ξ −adξ

≤ 1 2π

Z 2π 0

|f(a+ρe^it)|dt ≤ |f(a)|.

Aus |f(a+ρe^it)| ≤ |f(a)| (t ∈ [0,2π]) und 1

2π Z 2π

0

|f(a+ ρe^it)|dt= |f(a)|

folgt

|f(a+ρe^it)| = |f(a)| (t ∈ [0,2π]).

Somit gilt: |f(z)|= |f(a)|(z ∈ K(a, r)). W¨aref nicht konstant, so w¨are (da Ω ein Gebiet ist) auch f : K(a, r) → C nicht kon- stant, und nach Satz 7.9 w¨are f(K(a, r)) offen, im Widerspruch zu

f(K(a, r)) ⊆ ∂K(0,|f(a)|).

3.) Da Ω kompakt ist existiert ein z₀ ∈ Ω mit

|f(z₀)| = max

z∈Ω

|f(z)|.

Ist z0 ∈ ∂Ω so folgt die Behauptung. Ist z0 ∈ Ω, so ist nach Teil 1.) f konstant und die Behauptung gilt ebenfalls.

Bemerkung: Ist Ω ein Gebiet, f ∈ H(Ω) und K(a, r) ⊆ Ω, so gilt insbesondere

|f(a)| ≤ max

t∈[0,2π]|f(a+re^it)|

mit Gleichheit genau dann, wenn f auf Ω konstant ist.

Skizzen:

1.) Die Funktion z 7→ |sin(z)|:

-4 -2

0 2

4 -2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

z

abs(sin(%i*y+x))

x

y z

2.) Die Funktion z 7→ |exp(−1/z)|:

-4 -2

0 2

4 -2 -1 0 1

2 3 4 5 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

z

min(3,%e^-(x/(y²+x²)))

x

y z

3.) Die Funktion z 7→ |tan(z)|:

-4 -2

0 2

4 6 -3

-2 -1

0 1

2 3 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

z

min(5,abs(tan(%i*y+x)))

x

y z