(b) Geben Sie f¨ur die folgenden mathematischen Aufgaben Algorithmen an, sodass Ausl¨oschung vermieden wird

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

ERIKCHUDZIK

SINADAHM

DAVIDKERKMANN

DR. ELENAKLIMENKO

30. APRIL2020

Numerik I – 2. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 5: (4 Punkte)

(a) Bestimmen Sie die Kondition der folgenden mathematischen Aufgaben, die durch die folgenden Funktionen beschrieben werden:

(i) φ(x) = ln(x), (ii) φ(x) = 20

1−x⁴.

Geben Sie gegebenenfalls Bereiche an, f¨ur die die mathematische Aufgabe schlecht konditioniert ist.

(b) Geben Sie f¨ur die folgenden mathematischen Aufgaben Algorithmen an, sodass Ausl¨oschung vermieden wird.

(i) √

x²+ 1−x, f¨urx1

(ii) cos(x+)−cos(x), f¨ur|| 1 Aufgabe 6: (4 Punkte)

Die Aufw¨artsgeschwindigkeitf(t), (m/s), einer vom Boden aus abgefeuerten Rakete wird zu bestimm- ten Zeitpunkten tf¨ur die Zeit 0≤t≤10 gemessen. Die Messungen sind in der Tabelle angegeben.

f(t) 0 15 741 2244 5355

t 0 2 6 8 10

Unter Verwendung der obigen Tabelle soll die Aufw¨artsgeschwindigkeit der Rakete zu beliebigen Zeit- punkten bestimmt werden k¨onnen. Berechnen Sie dazu das Interpolationspolynom zu den gegebenen St¨utzstellen und Funktionswerten

(a) in der Lagrange-Darstellung, d.h. bestimmen Sie f¨ur die Darstellung

Pn(t) =

n

X

j=0

fjljn(t)

die Koeffizienten fj und die Polynome ljn.

(b) in der Newton-Darstellung, d.h. bestimmen Sie f¨ur die Darstellung

Pn(t) =

n

X

j=0

([t0, . . . , tj]f)wj(t)

die Koeffizienten [t0, . . . , tj]f,j= 0, . . . , n, und die Polynome wj.

(c) bzgl. der Monombasis, d.h. bestimmen Sie die Koeffizienten b_j f¨ur die Darstellung

P_n(t) =

n

X

j=0

b_jt^j.

Werten Sie das Interpolationspolynom f¨urt= 4 undt= 7 aus.

Aufgabe 7: (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ur die Vandermonde-Matrix

V_n:=











1 x0 x²₀ . . . xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ . . . xⁿ₁ ... ... ... ... 1 x_n x²_n . . . xⁿ_n











die folgende Beziehung gilt:

det(V_n) =

n

Y

i=0 n

Y

j=i+1

(x_j −x_i).

Aufgabe 8: Programmieraufgabe(4 Punkte)

Gegeben seien Knoten x= (x0, . . . , xn) und Datenf = (f0, . . . , fn).

(a) Schreiben Sie eine Funktion divDiff(x,f), welche die Matrix Delta∈R^n+1,n+1 mit

Delta(i,k)=

([x_i, . . . , x_i+k]f ; k= 0, . . . , n, i= 0, . . . , n−k

0 ; sonst

zur¨uckgibt.

(b) Schreiben Sie eine Funktion Horner(x,Delta,y), welche mittels des Horner-Schemas und Delta=divDiff(x,f) das Interpolationspolynom zu xund f im Punkt y auswertet.

(c) Seien x= (−4,−1,0,3) und f = (1,3,−3,1). Plotten SieHorner(x,Delta,y) gegen y∈[−4.1,3.1] und (xi, fi) i= 0, . . . ,3 in einen Plot.

Abgabe am 7. Mai 2020 bis 16 Uhr.

Besprechung in den ¨Ubungen ab 11. Mai 2020.