Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer Veränderlicher
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A= Z
A
1dxdy= Z1
0
dx
y(x)Z
0
dy1
= Z1
x=0 y(x)Z
y=0
1dxdy= Z1
0
yy(x)
0 dx
= Z1
x=0
y(x)dx= Z1
0
(1−x)dx=
x−1 2x2
1
0=1 2
Integrierexy2über diese Fläche:(Das ist völlig exemplarisch und hat keinerlei prak- tische Anwendung)
I= Z1
0
dx
1Z−x
0
dy xy2
=1 3 Z1
0
dx xh y3i1−x
0
=1 3 Z1
0
dx x(1−x)3
= − 1 12
hx(1−x)4i1
0
| {z }
=0
+ 1 12
Z1
0
(1−x)4dx
= − 1 60
h(1−x)5i1
0= 1 60
b) Kegel
Wir berechnen das Volumen des Kegels:
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7.2
Integralrechnung
x y
z
R r (z)
Das Volumen ist:
V= ZZZ
V
1dxdydz
Wahl der Grenzen
z: zmin=0, zmax=h
xundy: Für jedeszist die Fläche(x, y)ein Kreis mit dem Radius
r (z)=R
1−z h
In dieser Ebene:
x y
r (z)
ymin= −r (z) , ymax=r (z)
Aus der Kreisgleichung:x2+y2=r2
xmin= − q
r (z)2−y2, xmax= q
r (z)2−y2
V= Zh
0
dz
r (z)
Z
−r (z)
dy
√r (z)2−y2
Z
−√
r (z)2−y2
dx1=. . .
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Differential- und Integralrechung für Funktionen mehrer Veränderlicher
7
c) Kugel
V= ZR
−R
dz
√R2−z2
Z
−√ R2−z2
dy
√R2−z2−y2
Z
−√R2−z2−y2
dx f (x, y, z)=. . .
In Kugelkoordinaten:
x=rsinθcosϕ y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
V= ZR
0
dr Zπ
0
dθ
2Zπ
0
dϕ sinθr2f (r , θ, ϕ)=. . .
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