Flugbahn ausgedehnter Objekte

(1)

08a Schwerpunkt und Impuls

(2)

Flugbahn ausgedehnter Objekte

Die Wurfbahn eines Balles ist eine Parabel

Wurfbahn eines ausgedehnten Objektes

Jeder Teil der Brille legt seinen eigenen, möglicherweise ziemlich

komplizierten Weg durch die Luft zurück. Allerdings gibt einen ausgezeichneten Punkt im Körper

-den Massenschwerpunkt-

der eine einfache Parabelbahn beschreibt.

(3)

Massenschwerpunkt

center of mass

Definition des Massenschwerpunkts

Der Schwerpunkt eines Systems von Objekten ist der Punkt der sich so bewegt 1) als wären alle Einzelobjekte in diesem Punkt vereinigt .

2) als würden alle externen Kräfte hier angreifen.

m

1

m

2

x x

1

x

cm

d

m

1

m

2

x

cm

d

m d m

x

_cm

m

2 1

2

= +

M

x m x

x

_cm

m

¹ ¹

+

² ²

=

0 0

: 2 Test

2 : 1 Test

2

2 1

=

⇒

=

⇒

=

cm cm

x m

x d m

m

überprüfen an einfachen Beispielen

(4)

System von Massenpunkten

∑

=

+ = +

= +

ⁿ

i i i

n n

cm

m x

M M

x m x

m x

x m

1 2

2 1

1

... 1

∑

=

ⁿ

i i i

cm

m x

x M

1

1 = ∑

ⁿ=

i i i

cm

m y

y M

1

1 = ∑

ⁿ=

i i i

cm

m z

z M

1

Dreidimensional

z i y

i x

i

e y e z e

x

Eindimensional

r r

_i

= r + +

Vektorschreibweise

( )

∑

=

+ +

=

+ +

=

n

i i i i i

n

i i i

n

i i i

n

i i i

z cm y

cm x

cm

z y

x M m

z m y

m x

M m

e z e

y e

x

1

1 1

cm 1

cm

1 r 1

r r

∑

=

ⁿ

i i i

cm

m r

r M

1

1 r

v

(5)

Ausgedehnte Objekte

Massenschwerpunkt muss nicht notwendigerweise innerhalb des Körpers liegen

Festkörper

∫

=

⇒

dm M z

z

dm M y

y

dm M x

x

dm m

cm cm cm

i

1 1 1

∫

=

dV V z

z

dV V y

y

dV V x

x

V M dV

dm

cm cm cm

1 1 1 ρ

konstante Dichte

(6)

Newton für Massenpunkte

cm

res

Ma

F =

1. F_res ist die resultierende Kraft aller externen

angreifenden Kräfte auf das System. Kräfte, die zwischen den einzelnen Komponenten des Körper wirken.

Interne Kräfte werden nicht berücksichtigt.

2. M ist die Gesamtmasse des Systems. Wir nehmen an, dass keine Teilmasse das System verlassen während sich der Körper bewegt (geschlossenes System).

3. a_cm ist die Beschleunigung des Massenschwerpunkts. Die Gleichung sagt nichts über die Beschleunigung der

Einzelkomponenten aus.

Newtonsche

Bewegungsgleichung für ein System von Massenpunkten

x cm x

res

Ma

F

_,

=

_,

y cm y

res

Ma

F

_,

=

_,

x cm z

res

Ma

F

_,

=

_,

3D

interne Kraft: Explosion externe Kraft: Gravitation

(7)

Newton für Massenpunkte

d.h. gilt F

_res

=Ma

_cm

?

n n

cm

m r m r m r m r

r

M r =

₁

r

₁

+

₂

r

₂

+

₃

r

₃

+ ... + r

Betrachte System von Massenpunkten

n 3

3 2

2 1

1

v v v ... v

v M r

dt M

d r r r r r r

n cm

cm

= = m + m + m + + m

Berechne Geschwindigkeit als Ableitung der Ortskoordinate

Berechne Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit Bewegung des

Schwerpunkts

Bewegung der Massenpunkte

n 3

3 2

2 1

1

a a a ... a

v

M r r r r r r

n cm

cm

M a m m m m

dt

d = = + + + +

n

cm

F F F F

a

M r =

₁

+

₂

+

₃

+ ... +

Im rechten Ausdruck sind alle Wechselwirkungskräfte enthalten, auch die zwischen den

Die Ortskoordinate ist aber zeitabhängig, d.h. r(t)