[] y = x , x ∈ 0,1 x d x = ∫

Parabelhalbierung Anregung: J. H., A.

1 Problemstellung

Das blaue Flächenstück zwischen dem Parabelbogen y=x²,x∈

[ ]

0,1 und der x-Achse soll halbiert werden.

Das blaue Flächenstück soll halbiert werden Das blaue Flächenstück hat den Flächeninhalt:

x²dx

0

1

∫

^{= 1}3

2 Halbierungsschnitte 2.1 Vertikaler Schnitt

Vertikaler Schnitt Für die Schnittgerade x=x₀ erhalten wir die Bedingung:

x₀³ 3 = ¹₆

x₀ =^{3 1}₂ ≈0.7937

Das Problem entspricht dem klassischen Würfelverdoppelungsproblem.

2.2 Horizontaler Schnitt

Horizontaler Schnitt

Den Schnittpunkt der horizontalen Schnittgeraden mit der Parabel habe die Koordinaten x₀,x₀²

( )

. Wir erhalten die Flächenbedingung:

x₀³

3 +x₀²

(

1−x₀

)

^{= 1}₆

Daraus ergibt sich die kubische Gleichung:

4x₀³−6x₀² +1=0

Diese hat die drei Lösungen

{

¹₂,¹₂ + ₂³,¹₂ − ₂³

}

. Die in unserem Problem relevante Lösung ist x₀ = ¹₂ .

2.3 Schnitt mit Ursprungsgerade

Schnitt mit Ursprungsgerade

Den Schnittpunkt der Ursprungsgeraden mit der Parabel habe die Koordinaten

( )

x₀,x₀^{2 .} Die Ursprungsgerade hat daher die Steigung x₀ und die Gleichung y=x₀x. Das untere Flächenstück setzt sich aus einem Stück Fläche unter der Parabel (bis x₀) und einem Trapez zusammen. Wir erhalten die Flächenbedingung:

x₀³

3 +

(

1−x₀

)

^⎛_⎝⎜^x02+₂^x0⎞_⎠⎟ ^{= 1}₆

Daraus ergibt sich die kubische Gleichung:

x₀³−3x₀ +1=0

Diese hat die drei Lösungen

{

−1.8794, 0.3473, 1.5321

}

. Es sind keine „schöne“ Lö- sungen. Die in unserem Problem relevante Lösung ist x₀ ≈0.3473.

2.4 Schnitt mit Ecktransversale unten rechts

Schnitt mit Ecktransversale unten rechts

Den Schnittpunkt der Ecktransversalen mit der Parabel habe die Koordinaten

( )

x₀,x₀^{2 .} Wir erhalten damit die Flächenbedingung:

x₀³

3 +¹₂

(

1−x₀

)

^x02 = ¹₆ Daraus ergibt sich die kubische Gleichung:

x₀³−3x₀² +1=0

Diese hat die drei Lösungen

{

−0.5321, 0.6527, 2.8794

}

. Es sind keine „schöne“ Lö- sungen. Die in unserem Problem relevante Lösung ist x₀ ≈0.6527.

2.5 Schnitt mit Ecktransversale oben rechts

Schnitt mit Ecktransversale oben rechts

Die Sache ist einfach. Die Ecktransversale hat die Gleichung y=3x−2. 2.6 Schnitt mit Ecktransversale oben links

Schnitt mit Ecktransversale oben links

Den Schnittpunkt der Ecktransversalen mit der Parabel habe die Koordinaten

( )

x₀,x₀^{2 .} Die Ecktransversale hat dann die Gleichung:

y=1+ ^x02_x⁻¹

0 x Wir erhalten die Flächenbedingung:

x₀³

3 +¹₂

(

1−x₀

)

^x02+ 1+ ^x02_x⁻¹

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ¹₆ Daraus ergibt sich die Gleichung vierten Grades:

x₀⁴ −5x₀ +3=0

Diese hat die Lösungen

{

0.6319, 1.4252,−1.0286−1.5077i,−1.0286+1.5077i

}

^{. Die}

in unserem Problem relevante Lösung ist x₀ ≈0.6319. 3 Diagonalenschnitt

Die Beispiele 2.4 und 2.6 zeigen, dass die Diagonale von links oben nach rechts unten die Fläche nicht halbiert. Hingegen erhalten wir den Goldenen Schnitt. Die Diagonale hat die Gleichung y=1−x. Für den Schnittpunkt

{ }

x₀,x₀² mit der Parabel y=x² ergibt sich x₀ = ⁻¹⁺₂ ⁵ =ρ.

Diagonalenschnitt

Die rote Fläche ist A_rot = ⁴₃− ⁵₆ρ ≈0.1516, also kleiner als die Hälfte von ¹₃, die gelbe Fläche A_rgelb =−¹₃+⁵₆ρ ≈0.1817.

4 Doppelschnitt

Wir zerschneiden vertikal wie in Beispiel 2.1, aber mit zwei parallelen Schnittgeraden im Abstand ¹₂. Der Flächeninhalt zwischen den beiden vertikalen Schnittgeraden (in der Abbildung gelb) soll gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden äußeren Teile (rot) sein. Die beiden Schnittlinien haben die Gleichungen x=x₀ beziehungsweise

x= x₀ +¹₂.

Doppelschnitt Die Flächenbedingung liefert:

1

3

(

x₀ +¹₂

)

³⁻¹3x₀³ = ¹₆

Bei dieser Gleichung fällt der kubische Anteil heraus und es bleibt eine quadratische Gleichung übrig:

4x₀²+2x₀ −1=0 Diese hat also positive Lösung:

x₀ = ⁻¹⁺₄ ⁵ = ¹₂ ⁻¹⁺₂ ⁵ = ^ρ₂ ≈0.3090 Für die zweite Schnittgerade erhalten wir:

x₀ +¹₂ = ⁺¹⁺₄ ⁵ = ¹₂ ¹⁺₂⁵ = ^τ₂ ≈0.8090

Die beiden Schnittgeraden haben also die Gleichungen x= ^ρ₂ beziehungsweise x=^τ₂. Wir erhalten je die Hälfte des „kleinen“ und des „großen“ Goldenen Schnittes.

5 Variante der Parabel

Wir arbeiten mit der Parabel y=x

(

1−x

)

^,x∈

[ ]

^0,1 . Der blaue Flächeninhalt der Figur ist ¹₆.

Variante

5.1 Schnitt mit Ursprungsgerade Wir schneiden mit einer Geraden y=mx.

Schnitt mit Ursprungsgeraden Für den Schnittpunkt mit der Parabel erhalten wir die Bedingung:

mx=x

(

1−x

)

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen

{

0, 1−m

}

. Wir führen daher die Nota- tion p=1−m ein. Die Schnittgerade hat nun also die Steigung m=1− p. Geometrisch ist p also der Abschnitt am rechten Quadratrand von der Ecke rechts oben bis hinunter zur Schnittgeraden.

Der Schnittpunkt der Schnittgeraden mit der Parabel hat die Koordinaten

(

p,p

(

1− p

) )

^.

Für den roten Flächenanteil A p

( )

ergibt sich:

A p

( )

^{= 1}₂ ^p

(

^1−p

)

⁺

(

^−x2+x

)

^dx

p

1

∫

^{= 16}

( )

^{1− p3}

Wenn die Schnittlinie nun die Parabelfläche halbieren soll, haben wir die Bedingung:

A p

( )

₀ ^{= 1}₆

( )

^{1− p}03 ⁼¹²¹

p₀ =^{3 1}₂

Das ist wiederum eine Variante des klassischen Würfelverdoppelungsproblem.

5.2 Doppelschnitt mit Ursprungsgeraden

Wir schneiden mit zwei Ursprungsgeraden, deren Steigungen sich um ¹₂ unterscheiden sollen. Dann unterscheiden sich auch die p-Werte um ¹₂. Und es soll die Fläche zwi- schen den beiden Ursprungsgeraden die halbe Parabelfläche ausmachen.

Doppelschnitt Die Flächenbedingung liefert:

A p

( )

₀ ^{−A p}

(

0 +¹₂

)

⁼12¹ 1

6

( )

1− p₀^{3 − 16⎛}_⎝⎜¹⁻

(

^{p0 +12}

)

^3⎞_⎠⎟ ^{= 1}2

In dieser kubischen Gleichung fällt der kubische Anteil weg und es bleibt eine quadrati- sche Gleichung übrig:

4p₀² +2p₀ −1=0 Diese hat die positive Lösung:

p₀ = ⁻²⁺₈^{2 5} = ^ρ₂

Die obere Schnittgerade hat also die Steigung 1−^ρ₂, die untere Schnittgerade die Stei- gung 1−^τ₂.