Graphen und Algorithmen
Vorlesung #7: Matchingtheorie
WS 2007/2008
Dr. Armin Fügenschuh
Technische Universität Darmstadt
Übersicht
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
Das Heiratsproblem und der Heiratssatz von Hall
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
Das Heiratsproblem und der Heiratssatz von Hall Matchings in bipartiten Graphen
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
Das Heiratsproblem und der Heiratssatz von Hall Matchings in bipartiten Graphen
Der Ungarische Algorithmus
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
Das Heiratsproblem und der Heiratssatz von Hall Matchings in bipartiten Graphen
Der Ungarische Algorithmus
Der Kuhn-Munkres-Algorithmus
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
Das Heiratsproblem und der Heiratssatz von Hall Matchings in bipartiten Graphen
Der Ungarische Algorithmus
Der Kuhn-Munkres-Algorithmus
Lösung des Chinesischen Postbotenproblems
2
Übersicht
Matchings und erweiternde Wege Satz von Berge
Das Heiratsproblem und der Heiratssatz von Hall Matchings in bipartiten Graphen
Der Ungarische Algorithmus
Der Kuhn-Munkres-Algorithmus
Lösung des Chinesischen Postbotenproblems 1/2-Approximation des TSP von Christofides
2
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
3
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
3
G
V = V (G) E = E(G)
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
3
G
V = V (G) E = E(G)
M ⊆ E G M
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
M ⊆ E G M
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2}
M ⊆ E G M
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2}
M ⊆ E G M
e1
e2
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2}
G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
e1
e2
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
e1
e2
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
e1
e2
e1
e3 e4
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
Definition 2:
Ist ein Knoten des Graphen ein Endknoten einer Kante im Matching , dann wird als -gesättigt bezeichnet. Man sagt auch, dass durch gesättigt wird.
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
v G M v
M v M
e1
e2
e1
e3 e4
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
Definition 2:
Ist ein Knoten des Graphen ein Endknoten einer Kante im Matching , dann wird als -gesättigt bezeichnet. Man sagt auch, dass durch gesättigt wird.
Andernfalls ist -ungesättigt.
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
v G M v
M v M
v M
e1
e2
e1
e3 e4
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
Definition 2:
Ist ein Knoten des Graphen ein Endknoten einer Kante im Matching , dann wird als -gesättigt bezeichnet. Man sagt auch, dass durch gesättigt wird.
Andernfalls ist -ungesättigt.
Beispiel (Forts.):
Die Knoten sind -gesättigt, und sind -ungesättigt.
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
v G M v
M v M
v M
a, b, c, e M1 f d M1
e1
e2
e1
e3 e4
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
Definition 2:
Ist ein Knoten des Graphen ein Endknoten einer Kante im Matching , dann wird als -gesättigt bezeichnet. Man sagt auch, dass durch gesättigt wird.
Andernfalls ist -ungesättigt.
Beispiel (Forts.):
Die Knoten sind -gesättigt, und sind -ungesättigt.
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
v G M v
M v M
v M
a, b, c, e M1 f d M1
e1
e2
e1
e3 e4
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
Definition 2:
Ist ein Knoten des Graphen ein Endknoten einer Kante im Matching , dann wird als -gesättigt bezeichnet. Man sagt auch, dass durch gesättigt wird.
Andernfalls ist -ungesättigt.
Beispiel (Forts.):
Die Knoten sind -gesättigt, und sind -ungesättigt.
Jeder Knoten ist -gesättigt.
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
v G M v
M v M
v M
a, b, c, e M1 f d M1
M2
e1
e2
e1
e3 e4
Matchings (Paarungen, Korrespondenzen)
Generalvoraussetzung: In dieser Vorlesung sei stets ein schlingenfreier (Multi-) Graph mit Knotenmenge und Kantenmenge .
Definition 1:
Eine Kantenteilmenge heißt Matching von , wenn keine zwei Kanten aus einen gemeinsamen Endknoten haben.
Beispiel:
Definition 2:
Ist ein Knoten des Graphen ein Endknoten einer Kante im Matching , dann wird als -gesättigt bezeichnet. Man sagt auch, dass durch gesättigt wird.
Andernfalls ist -ungesättigt.
Beispiel (Forts.):
Die Knoten sind -gesättigt, und sind -ungesättigt.
Jeder Knoten ist -gesättigt.
3
G
V = V (G) E = E(G)
G
a b
c e d
f
M1 := {e1, e2} M2 := {e1, e3, e4} G
a b
c e d
f
M ⊆ E G M
v G M v
M v M
v M
a, b, c, e M1 f d M1
M2
e1
e2
e1
e3 e4
Perfekte und maximale Matchings
4
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M M
G
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Die Umkehrung davon ist nicht wahr.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Die Umkehrung davon ist nicht wahr.
Beispiel: Zwei maximale, nicht-perfekte Matchings.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Die Umkehrung davon ist nicht wahr.
Beispiel: Zwei maximale, nicht-perfekte Matchings.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Die Umkehrung davon ist nicht wahr.
Beispiel: Zwei maximale, nicht-perfekte Matchings.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Die Umkehrung davon ist nicht wahr.
Beispiel: Zwei maximale, nicht-perfekte Matchings.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Definition 3:
Ist ein Matching von , in dem jeder Knoten von -gesättigt ist, dann wird als perfektes Matching bezeichnet.
Ein Matching heißt maximal, wenn kein Matching enthält, welches mehr Kanten als hat.
Ein Matching heißt inklusionsmaximal, wenn nicht durch Hinzufügen einer weiteren Kante von vergrößert werden kann.
Beispiel (Forts.):
ist ein perfektes Matching.
ist ein inklusionsmaximales Matching.
Bemerkung:
Jedes perfekte Matching ist ein maximales Matching.
Die Umkehrung davon ist nicht wahr.
Beispiel: Zwei maximale, nicht-perfekte Matchings.
Perfekte und maximale Matchings
4
M G G M M
M G M!
M
M2
M M
G
M1
Alternierende und erweiternde Wege
5
Alternierende und erweiternde Wege
Definition 4:
Sei ein Matching von . Ein -alternierender Weg in ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd zu und gehören.
5
M G M G
M E\M
Alternierende und erweiternde Wege
Definition 4:
Sei ein Matching von . Ein -alternierender Weg in ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd zu und gehören.
Beispiel: ist ein -alternierender Weg.
5
v7
v4 v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
P := (v1, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v6, e6, v3) {e3, e5, e6}
M G M G
M E\M
Alternierende und erweiternde Wege
Definition 4:
Sei ein Matching von . Ein -alternierender Weg in ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd zu und gehören.
Beispiel: ist ein -alternierender Weg.
5
v7
v4 v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
P := (v1, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v6, e6, v3) {e3, e5, e6}
M G M G
M E\M
Alternierende und erweiternde Wege
Definition 4:
Sei ein Matching von . Ein -alternierender Weg in ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd zu und gehören.
Beispiel: ist ein -alternierender Weg.
Definition 5:
Ein -alternierender Weg, dessen Anfangs- und Endknoten -ungesättigt sind, heißt -erweiternder Weg.
5
v7
v4 v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
P := (v1, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v6, e6, v3) {e3, e5, e6}
M G M G
M E\M
M M
M
Alternierende und erweiternde Wege
Definition 4:
Sei ein Matching von . Ein -alternierender Weg in ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd zu und gehören.
Beispiel: ist ein -alternierender Weg.
Definition 5:
Ein -alternierender Weg, dessen Anfangs- und Endknoten -ungesättigt sind, heißt -erweiternder Weg.
Beispiel: ist ein -erweiternder Weg
5
v7
v4 v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
P := (v1, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v6, e6, v3) {e3, e5, e6}
M G M G
M E\M
M M
M
v7
v4
v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6 e7
e8
e9 e10 e11 e12
v8
v9
v10 e13 e14 e15 e16
P = (v6, e6, v3, e2, v2, e5, v5, e7, v4, e4, v1, e3, v7, e12, v8) {e2, e3, e7, e16}
Alternierende und erweiternde Wege
Definition 4:
Sei ein Matching von . Ein -alternierender Weg in ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd zu und gehören.
Beispiel: ist ein -alternierender Weg.
Definition 5:
Ein -alternierender Weg, dessen Anfangs- und Endknoten -ungesättigt sind, heißt -erweiternder Weg.
Beispiel: ist ein -erweiternder Weg
5
v7
v4 v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
P := (v1, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v6, e6, v3) {e3, e5, e6}
M G M G
M E\M
M M
M
v7
v4
v5 v6 v1 e1 v2 e2 v3
e3
e4 e5 e6 e7
e8
e9 e10 e11 e12
v8
v9
v10 e13 e14 e15 e16
P = (v6, e6, v3, e2, v2, e5, v5, e7, v4, e4, v1, e3, v7, e12, v8) {e2, e3, e7, e16}
Lemma von der symmetrischen Differenz
6
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
6
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen,
6
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
6
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
Beispiel:
6
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
Beispiel:
6
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M1 := {e2, e8, e10}
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
Beispiel:
6
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M1 := {e2, e8, e10}
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M2 := {e1, e7, e12}
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
Beispiel:
6
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M1 := {e2, e8, e10}
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M2 := {e1, e7, e12}
e1 e2
e7 e8
e10 e12
M1!M2 := {e1, e2, e7, e8, e10, e12}
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
Beispiel:
Beweis (von Lemma 6):
6
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M1 := {e2, e8, e10}
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M2 := {e1, e7, e12}
e1 e2
e7 e8
e10 e12
M1!M2 := {e1, e2, e7, e8, e10, e12}
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
Lemma von der symmetrischen Differenz
Lemma 6:
Seien zwei Matchings in einem schlichten Graphen . Sei der Untergraph von , der durch die Kantenmenge gegeben ist, d.h. durch die symmetrische Differenz der beiden Matchings. Sei eine Zusammenhangskomponente von . Dann gilt:
Entweder ist ein Zyklus gerader Länge, dessen Kanten abwechselnd in und liegen, oder ist ein Weg, dessen Kanten abwechselnd in und liegen und dessen Endknoten in einem der beiden Matchings ungesättigt sind.
Beispiel:
Beweis (von Lemma 6):
Sei ein Knoten von .
6
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M1 := {e2, e8, e10}
e1 e2
e3
e4 e5 e6
e7 e8 e9
e10 e11 e12
M2 := {e1, e7, e12}
e1 e2
e7 e8
e10 e12
M1!M2 := {e1, e2, e7, e8, e10, e12}
M1, M2 G H G
M1!M2 := (M1\M2) ∪ (M2\M1) K
H
K M1 M2
K M1 M2
v H
