11. Berechnung von HGschfmrben; von E. LornrneZ.

11. Berechnung von HGschfmrben;

von E. LornrneZ.

(Aus den Abhandl. der k. bayer. Acad. d. Wiss. 11. C1. 17. Bd. 111. Abth.

mitgetheilt vorn Hm. Verf.)

Bis in die neueste Zeit hat man, urn den Farbenton einer Mischung beliebig gegebener einfacher Farben zu be- rechnen, sich der N e w t o n ’ s c h e n Regel bedient. Diese Regel besteht bekanntlich in Folgendem. Der Umfang eines Kreises vom Radius 1 v i r d in sieben Theile getheilt, welche den Zahlen ^119, 1/16, l/lo, I/],,, l I I 6 , ’19 proportional sind, und in dieser Reihenfolge den sieben Hauptfarben Roth, Orange, Gelb, Griin, Blau, Indigo, Violett des prismatischen Spec- trums entsprechen, mit allen ihren Uebergangen vom R o t h bis zum Violett. M a n sucht sodann fur jeden dieser sieben Kreisbogen den Schwerpunkt, und denkt sich in demselben das Gewicht des zugehorigen Bogens angebracht. D e r ge- meinschaftliche Schwerpunkt aller Bogen oder des ganzen Kreisumfangs ist der Mittelpunkt des Kreises, und diesem P u n k t entspricht als Mischfarbe aller Spectralfarben d a s reiae Weiss. Sind die einfachen Farben in anderen Ver- haltnissen gemischt als im weissen Sonnenlicht, so h a t man die Gewichte in den einzelnen Schwerpunkten mit den zu- gehorigen Verhaltnisszahlen zu multipliciren. Sucht man jetzt den gemeinschaftlichen Schwerpunkt, so wird e r im allgemeinen nicht in das Centrum des Kreises fallen, sondern excentrisch in einer Entfernung r vom Mittelpunkte liegen.

Die Mischung h a t alsdann den F a r b e n t o n , welchen der Radius, der durch diesen Schwerpunkt geht, auf dem Kreis- umfange angibt, und die gesuchte Mischfarbe ist aquivalent der Mischung aus einer Menge T der entsprechenden homo- genen Spectralfarbe und aus einer Menge 1 - r von Weise.

Die Zahl r gibt sonach den Sattigungegrad der Misch- farbe an.

W e n n nun auch die Eintheilung des Newton’schen Farhenkreises aus einer nicht haltbaren Vergleichung der

4 74 E. Lomnzel.

Farbenreihe des Spectrums mit der musikalischen (phrygi- schen) Tonleiter entsprungen ist, so gibt dieses Verfahren doch gute Resultate, und war lnnge Zeit das einzige Hiilfs- mittel, urn Mischfzrben durch Rechnung zu bestimmen.

B i o t ' ) , F r e s n e l Z ) , A b r i a 3 ) , J a m i n * ) u. A. haben dasselbe rnit Erfolg hierzu angewendet. Jedenfalls sind die V o r - aussetzungen, auf welchen das N e w t o n ' s c h e Verfahren be- ruht, namlich dass jede Mischfarhe als eine Mischung einer gesattigten F a r b e mit Weiss angesehen, und dass diese F a r b e durch eine Schwerpunktsconstruction gefunden werden konne, theoretisch nicht anfechtbar, wie G r a s s m a n n 5 ) gezeigt hat, und die RUS diesen Voraussetzungen gezogenen Folgerungen stehen mit den Thatsachen im Einklange.

I n neuerer Zeit hat M a x w e l l s ) im Anschluss an die Y o u n g'sche Vorstellung von n u r drei physiologischen Grund- empfindungen, vermtige welcher jede einfache oder zusammen- geaetzte F a r b e durch eine lineare Function dreier Grund- farben ausgedruckt werden kann, durch Versuche die Coeffi- cienten b ~ t i m i n t , mit welchen man die Quantitaten der Grundfarben multipliciren muss, urn die verschiedenen ein- fachen Furben zu erhalten. I n der Farbentafel nehmen die von N a x w e l l gewiihlten drei Grundfarben, namlich 110th von der Wellenlange 630 Milliontel-Millimeter, Griin 528 und Blau 457 die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks ein, und der O r t einer jeclen F a r b e wird gefunden a19 Schwer- punkt dreier in den Eckpunkten des Parbendreiecks ange- brachter Gewichte, deren Grosse proportional ist den relativen Mengen der drei Grundfarben, welche nijthig sind, um diese Fltrbe hervorzubringen. D e r O r t des reinen Weiss ist der Schwerpunkt, der sich ergibt, wenn man die Ecken des Drei-

1) B i o t , Trait4 de Physique, 4. p. ^{68. 1816.}

2 ) F r e s n e l , nameritlich in seinern MBmoire sur le calcul des teintes 3) A b r i a , Snr la diffraction de la lumikre, Journal de Math. de 4) J a m i n , M8moire SUP la couleur des rnittaus, Ann. de chim. et de

5) G r a s s m a r i n , Pogg. Ann. 89. p. 69. 1853, 6) M a x w e l l , Phil. Trans. L. R. Y. p. 57. 1860.

des lames cristallis6es, Ouevres, 1. p. 609. 1821.

Liouville, 4. ^p. 248. 1838.

Phys. (3) 22. p. 322. 1848.

iVisch furlen. 475 ecks mit Gewichten im Verhiltniss von 3,973 - 6,520 - 6,460 belaste t.

Auf Grund der Maxwell’schen Daten hat in neuester Zeit L o r d R a y l e i g h l ) die Farben diinner Blattchen be- rechnet. Es geschah dies mit Hulie umfangreicher Zahlen- tabellen, und da eine grosse Anzahl von Punkten bestimmt werden muss, so nahmen die Rechnungen eine grosse Aus- dehnung an.

Bei diesen Methoden ist das Resultat der Rechnung, welches den Ort der Mischfarbe in der Farbentafel angibt, ein rein numerisches. Weder das eine noch das andere Verfahren ist fahig, einen analytischen Ausdruck zu liefern, der z. B. fur die Farben dunner Blattchen oder diejenigen der Beugungsfransen das Gesetz der Farbenfolge als Eunc- tion der Dicke des Blattchens oder des Beugungswinkels anggbe.

Das mir ofters Suhlbar gewordene Bedurfniss, die Reihe der mannigfdtigen Mischfarben, welche die mit weissem Lichte hervorgebrachten Interferenzerscheinungen zeigen, in eine ubersichtliche Formel zusammengefasst zu sehen, gab Veranlassung zu vorliegender Arbeit,. Die Aufgabe, die wir uns stellen, ist hiernach die folgende: Wenn fur irgend eine Lichterscheinung der Intensitatsausdruck fur jede homogene Fnrbe als Function der Wellenlange gegeben ist, aus diesem Ausdruck Formeln herzuleiten, welche bei Anwendung einer weissen Lichtquelle die Wellenlange des Farbentons der Mischfarbe, deren SattigungsverhBltniss und Helligkeit dar- stellen, als Functionen derjenigen Veranderlichen, die in jedem Falle die Verschiedenheit der Farbenmischung be- dingen.

Als Begrenzung der Farbentafel behalten wir die N e w

-

ton’sche Kreislinie bei, und denken uns langs ihres Umfangs das ,,ideale Spectrum“ L i s t i n g ’ s 2 ) aufgetragen, in welchem die Farben nach den Differenzen ihrer Schwingungszahlen angeordnet sind. Auch v o n B e z o l d 3 ) ist in seiner Abhand-

1) L o r d B a y l e i g h , Trans. of the Royal SOC. of Edinburgh, 33.

2) L i s t i n g , Pogg. Ann. 131. p. 564. 1867.

3) v. B e z o l d , Pogg. Ann. 150. p. 241. 1873.

Part I. p. 157. 1886.

4 76 E. Lommel.

lung: .,Veber das Gesetz der Farbenmischung und die physio- logischen Grundfarben" zu dieser Eintheilung der Farben- tafel gelangt, welche bei grosser Einfachheit eine gute Ueber- einstinimung mit den Beobachtungen darbietet.

Bezeichnet man nun mit y die von irgend einem Anfangspunkte gezahlte Bogenlange dieses Farbenkreises, so besteht zwischen der Wellenlange 1 und der ihr anzuweisen- den Stelle auf dem Kreisumfang die Beziehung:

1 b

- = = + f y ,

I.

wo a und b noch zu bestimmende Constante sind.

Sind auf diese Weise die homogenen Farben des Spec- trums, mit den Intensit'ktsverhaltnissen, mit welchen sie fur jede Ychwingungszahl im Sonnenlicht vertreten sind, langs des Kreisumfanges aufgetragen, so betrachten wir diesen als ringsum gleichmiissig belastet. Alsdann fallt der Schwer- punkt sammtlicher Farben in den Mittelpunkt des Kreises, welcher sonach den Ort des Weiss darstellt; auf jedem Radius des Kreises herrscht die Farbe, welche dem Punkte des Umfanges zugehort, nach welchem der Radius gezogen ist, und zwar um so gesattigter, j e mehr man sich auf dem Badius vom Xittelpunkt nach aussen gehend dem Umfange nahert.

Nehmen wir die Intensitat des Weiss im Mittelpunkt als Einheit der Lichtstarke an, so ist, wenn auch der Radius des Kreises gleich 1 gesetzt wird, die Lichtstarke fur die Einheit der Bogenlange 1 / 2 n , und d y / 2 n fur ein Bogen- element d y .

Gemass dieser Annahmen uber Vertheilung und Intensi- t a t der Farben mussen j e zwei homogene Farben, welche an den Endpunkten eines Durchmessers liegen, zueinander complementar sein, da ihr Schwerpunkt in den Mittelpunkt des Kreises fallt.

Kennt man daher aus der Erfahrung die Wellenlangen zweier complementarer homogener Farben

,

so ist hkrdurch die Constante 6 in obigem Ausdruck bestimmt.

Bezeichnen wir namlich mit A, und A, die Wellenlangen zweier complementarer einfacher Farben, so muss:

Miseh f arben. 477

l l b

- _ - -

1, 1,

-

2 und sonach:

sein. Bei der angenommenen Mslasseinheit fur die Lichtmengen rerschiedenfarbigen Lichtes, nach welcher solche Mengen, welche gemischt Weiss geben, als gleich angesehen aerden, wurde also fur complementare homogene Farbenpaare das einfache Gesetz gelten, dass die DifTerenz ihrer Schwingungs- zahlen constant ist.

Zur numerischen Bestimmung der Constanten b wahlen wir zwei complementare einfitche Farben, welche unserem Auge beim Hetrachten des Spectrums nahczu gleich hell erscheinen, und zwar wahlen w i r aus den Beobachtungen von H e l m h o l t z ’ ) das Roth 1 = 656.2 und das Blaugriin 1. = 492,1, und finden hieraus:

b = 0,001 016 36, log b = 7,007 0490

-

10.

Die Constante a , von deren Wahl die Lage des An- fttngspunkles der Bogenzahlung auf dem Kreisumfange ab- hangt, wird in der Folge ebenfalls aus Beobachtungsdaten bestimmt werden.

Bei der angenommenen Earbenvertheilung miissen ferner je drei, vier, fiinf u. s. f. einfache Farben, welche in den Eckpunkten eines dem Kreise eingeschriebenen regelmassigen Drei-, Vier-, Fiinfecks u. s. f. liegen, zusanimen Weiss geben.

1st nun irgend ein Intensitatsausdruck, z. B. fur eine Interferenzerscheinung, als Function f ( l / A ) der Wellenlange oder der Schwingungszahl gegeben, so hat man, u m die drei Merkmale Farbanton, Sattigung und Lichtstarke der Misch- farbe zu finden, die Mittelkraft und deren Angriffspunkt fur die rings am Kreisumfang angreifenden parallelen Krafte:

zu bestimmen. Die Mittelkraft $1 oder die Lichtstarke der Mischung ergibt sich, wenn man vorstehenden Ausdruck iiber den qanzen Kreisumfang (von 0 bis an) integrirt:

1) H e l m h o l t z , Hnndb. der physiolog. Optik, p. 277. Leipzig, 1867.

478 €3. Lommel.

und die Coordinaten x und y ihres Angriffspunktes (Schwer- punktes) ergeben sich am den Formeln:

Der Winkel y des Radius, auf welchem dieser Punkt liegt, mit dem Anfangsradius, oder das Azimuth des Farben- tons der Mischung wird alsdann bestimmt durch die Gleichung:

2 n

p(. + &

^{Y ) sin y dY}

_.___-

0

wodurch vermoge der Beziehung:

auch sofort die Wellenlange dieses Farbentons bekannt ist.

Die Strecke T endlich, um welche der Schwerpunkt von dem Centrum des Kreises absteht, oder das Sattigungsverhaltniss wird gegeben durch:

Als nachstliegendes Beispiel mijgen die Farben dunner KrystallbIiittchen dienen. Der Intensitatsausdruck ist in diesem Falle bei gekreuzten Polsrisationsehenen, wenn von der Dispersion abgesehen wird :

.

^2nd sin A.

und bei parallelen Polnrisationsebenen : cos i-? d

Mischfarben. 479 wenn unter d die Dicke der Luftschicht verstanden wird, welche der durch den Krystall hervorgebrachten Verzagerung entspricht. Dieselben Ausdriicke gelten ubrigens angenahert auch fur die Farben dunner isotroper Blattchen resp. im reflectirten und im durchgelassenen Licht

,

also fur die N e w t on'schen Farbenrioge.

I m erstercn Falle hat man:

2 Z

M = - I s i n % _2n ¹ n d ( a

+

^{b y )}

.

dfp

0

2n 1 - c o s 2 m d ( a + i n y ) ) d ~ b

=

kJ(

0

sin2nd ( a

+

b ) - s i n 2 n d a 2 n b d

sin n b d 111 =

4

(1

-

^{cos n d ( 2 a}

+

^L)

n b d

)

^'

oder :

Es ist ferner :

2 ^R

=

-

&J[cos (2 n da -( 1--6 d ) fp)

+

cos (2 m d a

+

⁽¹

+

b d ) $0)

3

d $0

0

sin (2 n d (a+ b)-2 n)-sin 2 n d a

--

sin ( 2 nd (a

+

b)

+

2n)-sin2nd u

1 - b d 1 + b d

= - - ( s i n 2 ; z d ( a + b ) - - i n a n d a ) ( ~ ~ - ^{1 1} Itbd

-

87z

2 %

1 b d

=- cos n d (2 a

+

-6) sin ^{n b d . m2}

Berechnet man in lihnlicher Weise M y , so hat man schliesslich:

1 b d

dl,l:= - ~ o s m d ( 2 a + b ) s i n n - 6 d ~ ~ ~ i 2 n

M y =

-

-- sin n d ( 2 a

+

b ) s i n n b 3 * m 2 * ¹

- 7 z

480 E. Lommel.

Das Azimuth cp der Mischfarbe wird demnach gegeben durch die Gleichung :

tg n d ( 2 a

+

^{b) ,}

b d tgrp = -

F u r die complementare Erscheinung bei parallelen Pdarisationsebenen hat man, wenn man die analogen Grossen mit Accenten bezeichnet. sugenscheinlich:

M ‘ = 1

- ^M,

^iV’i-’= - M . r ? W y ’ =

-

M y , sin y’ =

-

^{sin cp}

,

cos y’ =

-

^{cos y}

.

Durch diese Gleichungen und insbesondere durch die t g 9‘ = tgr 9 ^?

einfache Formel:

t g r r d i 2 a f b ) 6 d

t g y = -

ist nun das Gesetz der Farbenfolge ausgedruckt.

Fasst man zunachst den Fall gekreuzter Polarisations- ebenen in’s Auge, so erkennt man, class das Azimuth y der Mischfarbe von einem Grenzwerthe y o fiir d = O , der durch die Gleichung:

bestimmt wird, und kreises Eallt (da, wie sin y o negativ istj, wird, wenn :

geworden ist. T o n

2 a f b

tg fpo = - m. 6

in den vierten Quadranten des Farben- wir spater zeigen werden, cos y o positiv, bei wachsendern d nbnimmt, und Null

n ll(2 / I

+

6) = 2 7d

hier an kehren die Earbentone, abge- sehen yon Sattigung nnd Lichtstiirke

,

in derselben Ordnung wieder und clnrchlaufen die g a m e Farbenscala jedesmal, wenn n d ( 2 a

+

^{b ) um 2n} wachst, und ,jede solche Farbenreihe oder ,,OrdnungbL endigt mit dem namlichen dem Azimuthe Null zugehtirigen Farbenton. Bezeichnen wir den Werth von d, welcher der vorstehenden Gleichung geniigt, mit 2

S,

so tritt dieser Farbenton, mit welcheni jede Farbenordnung schliesst und die folgende beginnt, ein fur d = Z S , 46, 6 6 .

. .,

und der complementiire im Azimuthe cp = n wiederholt sich jedes- mal, wenn d =

a,

38, 5

S . . .

wird. Ebenso wiederholt sich die dem Azimuth ^Q =

9

IZ entsprechende F a r b e bei d = $ S ,

3

8 , !j

S . . . .

und die zugehiirige Erghzungsfarbe im Azimuthe ( p = ; ; t , wenn d = : S , ZS, 12s

. . .

wird.

Mischfarben. 48 1 Die Grosse 2 6 ist hiernach diejenige Dicke der Luft- schicht, mit welcher die Reihe der Farben erster Ordnung endigt und diejenige zweiter Ordnung beginnt. Diese Luft- dicke ist aber aus der Erfahrung bekannt; sie betrkgt 550,6 pp, und ist gleich der Wellenlange derjenigen Stelle im Spectrum, welche unserem Auge am hellsten erscheint.

Hierdurch ist aber die bisher unbestimmt gelassene Con- stante a ebenfalls gegeben, denn nach obiger Gleichung muss:

A 760,4 2 ' 31'

a 718,3 29 49

B C86,7 52 30

D 589,6 137 2s

C 656,2 76 2 8

-

0,003 632 4 Z a + b = - = - - - ^{1 1}

d 275,3

208O 57'

E 526,9

a

^{518,3 220 40}

F 486,l 265 24

H 396,s 3 6 0 ° + 6 9 20

G 430,7 3590 3

und demnach, da 6 = 0,001 016 36 bereits gefunden ist:

a = 0,001 3080 sein.

Nachdem nun in der Gleichung:

1 b

- = a + -

1 2 n y

482 E. Lommel.

Farbentone Platz zu finden haben, welche zu den gegeniiber- liegenden griinen complementar sind. Ergibt sich bei Be- rechnung eines Farbengemisches ein in diese Region fallendes Azimuth, so ist diese Mischfarbe als P u r p u r zu bezeichnen.

Will man den Farbenkreis in Sectoren theilen, welche den Farbeneindrucken auf unser Auge entsprechen, so diirfte die folgende Eintheilung die pzssendste sein, welche mit der von v. B e z o l d l ) gewahlten sowohl in der Benennung der F a r b e n als auch in der Breite der zugehorigen Sectoren iibereinstimmt.

v ¹

Purpurviolett

. .

^{Oo- 20° 165-733: 430-420}

P U ~ ~ U T

. . . .

20 - 38 733-707; 420-411 Carmiu

. . . .

33 - 58 707--679; 411-402 Hochroth

. . .

^6S - SO 679-652

Orange

. . . .

^{YO -10s 662-620}

Gelb

. . . . .

103 -140 620-597 Gelbgrun

. . .

140 -IS0 557-551 Grun

. . . . .

^{180 -238 551-505}

Cyanblau

. . .

^{278 -310 478-438}

Ultramarin

. . .

^{310 -333 448-44'2}

Blaugrun

. . .

^{238 -278 505-418}

Blauviolett

. . .

³³⁸ -360 442-430

D e n Purpurtonen (Purpurviolett, Yurpur? Carmin), wel- clien in unserem Farbenkreis je zwei Wellenlangen (Roth und Violett) entsprechen, liegt das complementare Griin dia- metral gegeniiber. S t a t t der N e w ton'schen Bezeichnung ,,Indigo" ist die Benennung ,,Ultramarin" gewahlt, nach dem Farbstoff, welcher den in dieser Region herrschenden F'arben- t o n am richtigsten wiedergibt. Selbstverstandlich konnen die angenommenen Farbengrenzen nicht als absolut feste ange- sehen werden, d a die Farben allmahlich in einander iiber- gehen, und unser Urtheil namentlich a n den Grenzeii unsicher i s t und ausserdem noch von der Helligkeit beeinflusst wird.

F u r eine bestimmte mittlere Helligkeit aber diirfte die Ein- theilung angenahert richtig sein.

Fiihren wir in unsere Formeln die Grosse b ein, d. i.

die halbe Wellenlange der hellsten Stelle des Spectrums, so lauten dieselben (fur gekreuzte Polarisationsebenen) :

1) v. B e z o l d , 1. C. p. 241.

Misschfarben. 483

1 n d

sin - - sin n b d .

1

2;' d

ivy =

Die Coordinaten s und y entsprechen den Punkten einer Curve, die in ihrem Verlaufe auf der Farbentafel die Farben- folge versinnlicht, indem ihr Radiusvector:

n d

,*

⁼

.- .

^~

--.

3 nd

.

^{S i l l 7l b d '}

1 - b2d?'

1 - - 0 s - - --

S n h d

welcher vermoge der Gleichung:

t g n d 3 - 1 tgcp = - ~-

I d ^-

als Function des Polarwinkels q anzusehen ist, bei wach- sender Dicke (d) der Luftschicht in rucklaufiger Bewegung den Umkreis dnrchlauft, durch seine Richtung den Farben- ton, durcli seine Lange den Sattigungsgrad der Mischfarbe angibt, und fur d = 2 4 4 4 6 3 .

. .

im Azimuthe 9 = 0 jedes- ma1 die Grenze einer Farbenordnung iiberschreitet.

F u r d = ( 2 n + 1 ) / 2 . S ist stets M = ! und x = O , das Azimuth yn sonach

i n

oder

3~

je nachdem y positiv oder negativ ist. Da in diesem Falle wegen M = M auch y'=

-

y und r'= r ist, so sind hier die complementken Parbentone bei gleicher Lichtstgrke auch von gleicher Sattigung.

W i r d die Dicke d oder der Gangunterschied unendlich klein, so verschwindet zwar die Lichtst'irke M und wird Null fur d -- 0; die Farbe nber nahert sich einer bestimmten Urenze, und erreicht dieselbe, wie oben bereits erwahnt wurde, in dem Azimuth:

n 6d

'

t g y o =

-

indem die Coordinaten und der Radiusvector fur d = 0 die Grenzwerthe :

annehmen. Von diesem Punkte, welcher, da q, positiv, yo negativ ist, im vierten Quadranten liegt, geht die Farben- curve ans.

31*

484 E. Lommel.

F u r die von uns angenommenen Werthe der Constan-

r0 = 0,015 462, ten b und 13 ergibt sich:

yo =

-

^{0,173 599,} ro = 0,174 286, yo = 360' - 84' 54' 37"

und als Wellenlange der Grenzfarbe:

1, = 479,7 (Cyanblau)

,

statt welcher jedoch, d a die Lichtstarke M = O ist, Schwarz gesehen wird.

Bei der complementaren Erscheinung nahert sich mit verschwindendem d das Azimuth dem von dem vorigen urn 180' verschiedenen Grenzwerth:

und der Farbenton dem complementaren Orange von der Wellenlange :

welche Farbe jedoch ebenfalls nicht gesehen wird. Denn da jetzt ^2'= 0, ^y' = 0 und M' = 1 ist, SO wird die Mischfarbe bei voller LichtstBrke reines Weiss, und die complementare Farbencurve beginnt im Mittelpunkte des Kreises.

Wenn n b d = 275 3n, 4 n

.

^,

.

^{oder d =} 216, 316, 4/21..

.

wird, so verchwinden x und 9 gleichzeitig, und die Licht- stiirken M und M werden gleich

t;

die Curve geht alsdann in beiden Fallen durch den Mittelpunkt des Kreises oder durch Weiss.

1st 6 d = l oder d = l / b , so wird zwar ebenfalls M = M ' = & , dagegen hat man jetzt, weil fur b d = 1

yo'= 180'

-

^84'54' 37"

a;

= 634,4,

sin n b d TZ

I--had2 = ist:

2 3 h

= - - - - )

und numerisch, da:

5

^{= 11,22780 = 4 n -} 76O41'40" ist:

3, = 656 (Hochroth bei C) y = 76O 41' 40",

Mischfarben, 485

und fur die complementare Erscheinung:

cp'= 2560 41'40, A'= 492 (Blaugrun).

Mit unbegrenzt wachsender Dicke nahert sich die Licht- starke dem Werthe

1,

mit immer kleiner werdenden Schwan- kungen ober- und unterhalb dieses Werthes, und der Farben- ton nahert sich dem Weiss, da ersichtlich sowohl x und y mit zunehmendem ^d gegen Null riicken.

Die Geschwindigkeit, mit welcher bei gleichmassigem Anwachsen der Dicke d des Blattchens der Parbenton sich andert, wird ausgedriickt durch den Differentialquotienten:

4 s -0,001597 4 4 0,004790

$ 4 0,007 983

$S 0,011 176

4 sin2nd4-'

.

+=-

_{Sd '*} sin e n d 4 - I

+

^{b a d 2 cos n d 4-'}

S -0,040784 2S 0,020392 3S 0,013 595 46 0,010196

Hieraus ergibt sich in den Hauptazimuthen y = 0, in,

und in Zahlen:

s 2 = - 0,020 625.

b d

Urn unsere Theorie mit den Beobachtungen zu verglei- chen, berechnen wir die Farbenscala, welche von B i l l e t l)

nach Beobachtungen von B r u c k e 2, zusammengestellt war- den ist.

Die Rechnung nimmt dahei folgenden Gang. Aus der Gleichung :

t g n a s - ’

a2 ^{- -}

t g y = -

bestimmt sich sofort fur jede gegebene Luftdicke d das Azi- m u t y, welches auf dem Farbenkreise (falls man n u r noch die Ieicht ersichtlichen Vorzeichen von x und y berucksich- tigt) die zugehiirige Mischfarbe unmittelbar angibt.. Will man daher blos den Farbenton der Mischung finden, so ge- niigt diese einzige Gleichung, welche eine fast muhelose Rechnung gestattet. Hiermit ist das anmutliige Farbenspiel der Seifenblasen in die knappe Formel eines einfachen Ge- setzes gefasst.

Die der Mischfarbe zugehorige Wellenlange ergibt sich alsdann aus der Gleichung:

1 b

1. ^-- = C l + y .

Setzt man nun,behufs bequemer logarithmischer Rechnung:

so ist die Lichtstarke:

N =

sin”?p

und der Sattigungsgrad ^7’ bestimnit sich mittels der Gleichung:

Hierdurch sind aber auch die entsprechenden Grossen fur die complementare Erscheinung sofort gegeben; denn man hat:

l l b

y’= y r t a ,

7 = 7

* y ,

ill’= 1 - 111 = cos2&lp, W r ‘ = J I T oder r‘= ^T tg24 ^{i p .}

1) B i l l e t , Trait6 d’0pticlue 1. p. 490. 1868.

2) B r u c k e , Pogg. Ann. 74. p. 552. 1848.

,Visch f ar ben

.

487 Die bei der Rechnung zu benutzenden Constanten sind, wie oben bereits angegeben:

CI = 0,001 308 0 ,

t

⁼ 0,001 01 6 4, 3' = 275,3.

Die Ergebnisse der Rechnung sind in der am Schlusse folgenclen Tabelle zusammengestellt. Die Ueberschriften ,,Anfang schwarzLi und ,,Anfang weissLi entsprechen resp. der Erscheinung bei gekreuzten und bei parallelen Polarisations- ebenen, oder den Farbenringen mit schwarzer und mit weisser Uitte. Die Columne d enthalt die gemessenen W e r t h e der Luftdicke oder des Gangunterschiedes, wobei noch die Viel- fachen der Grosse 6, die in der Anordnung der Farbenreihe eine so wichtiqe Rolle spielt, angegeben sind, die Columnen ,,Farbe beobachtet" enthalten die zugehorigen von Brii c k e I)

beobachteten Farbentone. Unter y steht, fiir die erste Er- scheinung, das berechnete Azimuth der Mischfarbe; das Azi- muth y' fur die complementtire Erscheinung ist nicht ange- geben, d a es sich von stets um n unterscheidet und somit durch die Angabe von 'p bereits bestimmt ist. Die Columnen il und I' enthalten die berechneten Wellenlangen der Misch- farben. Die Lichtstarken M und M' und die Sattigungs- verhaltnisse r und ^1'' sind in Procenten angegeben, d. i. auf 100 als Einheit bezogen. Die Rubriken ,,Farbe berechnet"

benennen die P a r b e n nach ihrer Lage auf unserem Farben- kreiae, ohne Rucksicht auf Lichtstarke und Sattigung, welche beiden Umstande noch mitberucksichtigt werden miissen, wenn der wirklich wahrgenommene Farbenton beurtheilt werden soll. So ist z. B. fur c l = o der Lichteindruck in Wirklichkeit nicht Griinblau (die oben berechnete Grenzfarbe), sondern Schwarz, weil die Lichtstarke M = o ist, una fur die complementare Erscheinung nicht Orange, sondern Weiss, weil die Sattigung r = a ist. Ebenso ist fiir d = 234 die

1) Von den Fnrbenbenennungen B i l l e t ' s habe ich nur eine abge- audert

,

beziehungsweise nach B r u c k e ' s Beobachtungcn richtig gestellt.

In der Farbenreihe mit weissem Anfang ist namlich bei d = 259 in der Billet'schen Tabelle ,,Rouge clair" oder ,,Hellroth" angegeben. B r i i c k e hat abcr an dieser Stelle nur durikelrothe Farbentone beobachtet. Dass letztere Angabe richtig ist, zeigt ein Blick in den Polarisationsapparat auf eine keilformige Gypsplatte. Auch das darauffolgende ,,Carminroth"

ist sehr dunkel.

488 E. Loinnid.

Mischfarbe ihrem Orte in der Farbentafel nach Grun, jedoch von geringer Skttigung ^(T = 6 Proc.) und grosser Lichtstirke

( M =

91 Proc.). Die hierzu complementare Farbe ist nach ihrer Lage im Farbenkreise Hochroth, jedoch von geringer Lichtstarke

(PI'

= 9,5 Procent) und hohem Sattigungsgrad

( T I = 61 Proc.). Die Rechnung stimmt sonacb auch hier mit

der Erfahrung vollkommen uberein, denn das schwach- gesattigte lichtstarke Griin ist in der That ,,Griinlichweiss", und das stark gesattigte lichtschwache Roth ist ,,Braun", wie die Beobachtung fordert. Beriicksichtigt man in dieser Weise zu jeder berechneten Farbe die zugehorige Intensitat und Sattigung, so ergibt sich eine sehr befriedigende Ueberein- stimmung zwischen Beobachtung und Rechnung. Insbesondere stimmen auch die von B r u c k e beobachteten Maxima der Lichtstarke mit den Maximis unseres Ausdruckes M genau uberein. Derselbe findet namlich die hellste Stelle in der ersten Farbenordnung (Anfang Schwarz) bei dem Uebergang des Weiss zum blassen Strohgelb, und die hellste Stelle der zweiten Ordnung beim Uebergang des Hellgrun zum Gelb- lichgrun.

I n der Fig. 1 sind die beiden Farbencurven mit den Radienvectoren r und r' nach den Daten dieser Tabelle in den Farbenkreis eingezeichnet; diejenige fur gekreuzte Polari- sationsebenen ist ausgezogen, die complementare fur parallele Polarisationsebenen punktirt. Am Rande des Farbenkreises sind die Bezeichnungen der Farbensectoren nach v. B e z o l d und die Lagen der F r a u u h o f e r

'

schen Linien angegeben.

Die Azimuthe der zueinander complementaren Grenzfarben Orange und Griinlich -Blau werden durch den punktirten Durchmesser angezeigt.

Auf diesem Durchmesser liegt, nahe der Grenze zwischen Blaugriin und Cyanblau, der oben bestimmte Punkt, von wel- chem die erstere Curve ausgeht, wenn der Gangunterschied von Null a n zunimmt. Sie naihert sich von hier aus fast geradlinig dem Weiss, und geht auf der griinen Seite sehr nahe daran voruber; das Weiss erster Ordnung erscheint in der That sehr schwach griinlich. Die Curve geht sodann mit rasch wachsender Siittigung durch Gelb, Orange und Roth und erreicht i m Carmin den hochsten Sattigungsgrad,

Misch f i r b e n . 489 worauf sie rasch durch Purpur und die erste Uebergangs- farbe hindurch das Ende der ersten Farbenordnung erreicht.

In der zweiten Ordnung geht die Curve bald durch ein stark gesattigtes Blau, im Griin jedoch wird die Farbe wieder schlechter, das Griin zweiter Ordnung ist matt; dafiir aber ubertrifft das Gelb zweiter Ordnung dasjenige der ersten an Reinheit, wogegen die rothen Farbentone hier hinter den- jenigen der ersten Ordnung an Tiefe der Sattigung zuriick- bleiben. Die Curve gelangt sodann durch die zweite Ueber- gangsfarbe hindurch zum Ende der zweiten Farbenordnung.

Fig. 1.

Das Blau der dritten Ordnung ist vie1 matter als dasjenige zweiter, die Farbe bessert sich schon im Blaugriin, und er- reicht ihre hochste Reinheit im Griin, welches dem Griin zweiter Ordnung an Schonheit weit iiberlegen ist. Dagegen

490 E. Lornmel.

ist das Gelb dritter Ordnung nicht so rein wie dasjenige erster und zweiter Ordnung; die Sattigung nimmt noch a b im Roth, wird aber im Purpur gegen Ende der Ordnung wieder etwas vollkommener. I n der vierten Ordnung nahert sich die Curve, nachdem sie mit abnehmender Farbung Blau und Grun durchlaufen, rasch Clem Weiss.

Die Curve gibt nur den Sattigungsgrad der Mischfarben an, nicht aber ihre Lichtstarke, auf welche doch, wie oben bereits gezeigt worde, bei Beurtheilung des Farbentons eben- falls Rucksicht zu nehmen ist. Man konnte sich, urn das Diagramm nach dieser Richtung zu vervollstlindigen

,

^{d i e}

Intensitiit als dritte Coordinate in dem zugehorigen Curven- punkte auf der Ebene der Farbentafel senkrecht errichtet denken, und dieselbe etwa durch Schattenconstruction in der- selben Zeichnung ersichtlich machen, welche hierdurch frei- lich sehr verwickelt wurde. Man kann aber auch die Licht- starke als zum Polarwinkel y gehorigen Radiusvector auffassen, und den Gang der Intensitit wie jenen der Satti- gung durch eine in dem Farbenkreise verlaufende Curve veranschaulichen, wie dies in Fig. 2 geschehen ist, wo die ausgezogene Curve fur die Lichtstarke bei gekreuzten, die punktirte bei parallelen Schwingungsebenen gilt.

Unter Mitberucksichtigung der Intensitat ergibt sicb z.

B.,

dass das Roth erster Ordnung, obwohl gesattigter als das Roth der zweiten Ordnung, dennoch wegen seiner ge- ringen Lichtstirke im Vergleich mit letzterem ziemlich un- scheinbar sein muss. Blau und Gelb der zweiten Ordnung und Griin der dritten Ordnung vereinigen einen betrachtlichen Sattigungsgrad mit grosser Lichtstarke, und erscheinen daher als reine und gknzende Farben.

Die mit Weiss im Mittelpnnkte des Kreises beginnende Farbencurve der complementaren Erscheinung geht zuerst mit geringer Sattigung und grosser Lichtstarkc durch die Grenzfarbe Orange rasch i n Roth iiber; auch hier zeigt sich das Roth erster Ordnung gesattigter als dasjenige zweiter, und ubertrifft hierin sogar noch das Roth der ersten Ord- nung im vorigen Fall, bleibt jedoch wegen sehr geringer Lichtstarke an Glanz hinter dem Roth zweiter Ordnung zuriick, welches bei etwas geringerer Reinheit hinreichende

Miscl$arbeiz ^I 49 1 Intensitat besitzt. Das Blau zweiter Ordnung ist stark ge- sattigt, aber vie1 dunkler als das schijne Blau der dritten Ordnung, und das Griin letzterer Ordnung wetteifert a n Lichtstarke und Reinheit mit dem Griin gleicher Ordnung im vorigen Fall. Durch Reinheit zeichnen sich noch aus Gelb und Orange der zweiten, und das Griin der vierten Ordnung, welcbes der entsprechenden F a r b e der vorigen Reihe iiber- legen ist. Tm Ganzen zeigt iibrigens diese Parbenfolge einen ahnlichen Verlauf wie die vorige.

Fig. 2.

Bemerkenswerth sind noch die Durchschnittspunkte einer jeden der beiden Farbencurven, welche zeigen, dass man denselben Farbenton von gleicher Sattigung bei zwei ver- schiedeneo Gangunterschieden erhalten kann. Bei der ersteren Curve gehijrt der erste Durchschnittspunkt, nehe der Grenze

492 E. Lorn inel.

zwischen Roth und Orange, der ersten und zweiten Farben- ordnung an; ein H i c k auf die Fig. 2 ergibt, dass diese Farbe in der zweiten Ordnung heller ist. Die zweite und dritte Ordnung zeigen zwei solche Durchschnittspunkte, den einen im Blau, den anderen im Gelbgriin, mit geringem Unter- schied in der Helligkeit. Bei der zweiten Farbencurve liegt ein den beiden ersten Ordnungen gemeinsamer Punkt im Roth, mit grosserer Lichtstarke in der zweiten Ordnung. In der zweiten und dritten Ordnung finden sich zwei Durch- schnittspunkte, im Blau, dunkler in der zweiten, hell in der dritten, und im Gelb, hell in der zweiten, dunkler in der dritten Ordnung; ferner gibt es noch zwei der zweiten und der vierten Ordnung gemeinschaftliche Punkte im Blaugriin und Gelbgrun, beide mit grosserer Lichtstarke in der zweiten Ordnung.

Derselbe Gang der Rechnung und Discussion findet Anwendung auf jede Lichterscheinung, fur welche der In- tensitatsausdruck als Function der Wellenlange gegeben ist;

nur werden die Integrationen nicht immer so einfach aus- zufiihren sein, wie in dem mitgetheilten Beispiel der E’arben diinner Blittchen. Fur die Beugungserscheinung eines engen Spaltes z. B. hat man:

wenn

p

die Breite des Spaltes,

x

den Beugungswinkel, folg- lich

/?

sin

x

= d den Gangunterschied der Randstrahlen be- zeichnet.

Die Integrale:

b

M = -

0

i7lischfarlen. 493 fuhren dsdann auf die transcendenten Functionen Integral- sinus und Integralcosinus, und lassen sich mit Hiilfe von Tabellen dieser Functionen leicht berechnen. Ohne fur jetzt auf diese Rechnungen ausfuhrlich einzugehen, beschriinken wir uns darauf, die Misclifarbe zu ermitteln fur den Fall, dass n d sehr klein ist. Entwickelt man den Intensitatsaus- druck in eine convergente nach Potenzen von d fortschrei- tende Reihe und bleibt bei der zweiten Potenz von ^d stehen, so wird:

Da ^nun:

a n 2 x 2 X

~ O q d q S = 0, Jrp cos y d e = 0, J y Z c o s ydrp = 4n,

0 0 0

2 n Z?Z 2 %

Jsin q d y = 0, [ysin rpdy =

-

^{2 n , Jyz sin y d y = - 4 n 2}

ist, so ergibt sich:

0 0 0

nbd'

M y ⁼ 47thd2(2a

+

6) = - - - a 66

Demnach nahert sich das Azimuth der Mischfarbe mit verschwindendem Qangunterschied, d. h. wenn entweder der Beugungswinkel oder die Breite des Spaltes immer kleiner wird, einem Grenzwerthe y o , welcher durch dieselbe Glei- chung :

t g y , =

- -

_{h d} n

bestimmt wird, welche wir bei den Farben dunner Blattchen bereits gefunden haben. Da x unmittelbar vor dem Ver- schwinden von d negativ, y positiv ist, so ist diese Grenz- farbe das oben schon erwahnte Orange A = 634. F u r d = 0

494 E. Loinmel.

selbst wird sowohl c als y und somit auch die Sattigung Null, und M = 1; es herrscht also in der Mitte der Erschei- nung reines Weiss mit voller Lichtstkrke, welches nach beiden Seiten hin in das Grenzorange iibergeht.

Es leuchtct iibrigens ein, dass dieselbe Grenzfarbe jedes- ma1 nuftreten muss, wenn der Intensitiitsausdruck sic5 i n eine Reihe von der F o r m :

d 4

+

B -

.

^I-

d'

f (t ⁾

^{= 1}

^-

^A

entwickeln Iasst, wo A , B u. s. f. positive Constante sind.

Dcnn man hat alsdann:

J!! = 1 - a d ? (a'+ u b

+ 4

F ) = 1 - ₁₂₃₃ (b262

+

^3),

Nimmt dagegen der Intensitiitsausdruck, i n eine Reihe nstch steigenden- P o tenzen des Gangunterschiedes

Form:

entwickelt, die

1 (2' d'

f ( - T ) = A , , - B , ^1.

+

^{a ' .}

a n , so findet man:

A d 2 Ab'tl'

,

M y = - - - - A b d ' .

13

s

2 7z2 2 n S

'

M = - (b'JS'?+ 3), &IS = _ _

in allen diesen Fallen also erlischt die Lichtstarke M mit verschwindendem Gangunterschied, die Coordinaten x und y aber und mit ihnen die Sattigung r convergiren gegen die- selben oben bereits gefundenen Grenzen:

und die Grenzfarbe ist jetzt, da xo positiv und yo negativ ist, das zu jenem Orange complementare Cyanblau I = 480.

Die beiden complementaren Grenzfarben bilden dem- nach eine Erscheinung von grosser Allgemeinheit

,

^welche

unter den verschiedensten Umstanden immer in derselben Weise auftritt.

M i s c l f w b e n . 495 Insbesondere diirften auch die F a r b e n triiber Nittel, d a s Blau im auffallenden, das Orange im durchfallenden Licht, die ,,Orundphanomene'L der Go e t h e 'when Farben- lehre, unseren beiden Grenzfitrben entsprechen.

Nach der Theorie von C l a u s i u s ' ) ware das Blau des Himmels nichts anderes als die Grenzfarbe Cyanblau mit d e r Wellenlange 480, und nach meiner z, Theorie der Abend- rothe, welche dieselbe als Beugungserscheinung erklart, ent- spricht die Grenzfarbe Orange mit der Wellenlii?zge 634 der Earbe des Abendroths.

M i i n c h e n , im December 1890.

1) C l a u s i u s , Die Lichterscheinungen der Atmosphare (Grunert, 2 ) L o m m e l , Grunert's Archiv. 36. 1561. Pogg. Ann. 131. 1867.

Beitrage zur meteorologischen Optik), Leipzig, 1850.

Die Parben dunner Bllttchen. 480 480 481 484

--

~___ d ~- 0 40 97 158 218 234 259 267 S 275 281 306 332 430 505 536 2S 551 565 575 589 664 728 747 35 826

~ 17,4 17,t 15,7 12.6

Anfang sahwarz. Orange Orangeroth Roth Carmin Purpur Purpurviolett Blauviolett Ultramarin Cyanblau Griinblau Grun-Blaugrun Griin Gelbgriin Gelbgrun Gelbgrun Gelbgriin-Gelb Orange Hochroth Hochroth-Carm. Purpurviolett

Anfang weiss. Braunlichweiss Gelbbraun Braun Carminroth Braunr.,fast schw.

Dunkelroth

b

Dunkelviole tt

2

Indigo

.-

³

I

Blau Grunlichblau Blaulicbgrun Blassgriin Gelblichgriin Hellgrun Griinlicbgelh Lebhaft

gelb Orange Braunlichorange Hellcarminroth Purpur

Farbe beobachtet __ ~- - .- -~_.___ Schwarz Eisengan Lavendelgrau Blaugrau Hellgrau Griinlichweiss Fast rein weiss Gelblichweiss Strohgclb, blass

494 500 522 Strohgelb Hellgelb Glanzcndeelb

7:9 6,3 4.3

Orangegdb Rothlichorange Warmes Roth Dunkleres Roth Purpur Violett

535 551 562 597 613 646 693 737 765 439 444 451 476 496

Indigo Himmelblau Griinlichblau Griin Hellgriin

319 4,O 4,2 7,3

112,5 44,l 62,5 58,6 57,s 58,2 59,O 60,l 54,9 43,l

Farbc berechnet Griinlichblau Grunlicbblau Grunlichblau Grunlichblau Blaugriin Blaugriin Griin Griin-Gelbgriin Gelbgrun ____-- - Grungelb Gelb Gelb Orange Carmin Purpur Purpurviolett Blauviolett Blauviolett Ultramarin Cyanblau Blaugrun Griin Gelbgrun

Q, 2n-84' 55' 276-55 16 2%-87 11 zf87 50 z+73 52 zt64 59 zt35 34 Zfl9 18 n-12 51 n-49 36 n-65 56 85 5 48 9 17 9

~ ___ 7c 0 2n-16 6 2~-26 4 2~-38 3 2n-79 9 n+70 10 nf58 57 n

Ilr

-

__ M 0 28,O 61,O 86,6 90,5 94,O 93,s __ __ 572 93,7 93,5 82,s 89,8 43,l 23,l 21,5 22,l 23,4 24,7 27,l 56,9 58,9 59,2 44,5

-

__ M' ___ 100 94,s 72,O 39,O 13,4 975 673 670 6,2 6,5 10,2 17,2 56,9 76,9 78,5 77,9 76,6 75,3 72,9 55,5 43,l 41,l 40,s

-

~ r' __ ~ 0 0,9 691 19,7 50,6 60,6 63,8 61,3 60,l 60,6 64,s 60,2 18,7 16,l 16,3 17,s 19,4 22,3 44,O 56,s 33,4 57,4 53,5

- i' 634 635 637 643 659 671 710 734 765 437 458 468 486 512 536 551 565 574 585 628 664 678 765 ~- -

rp CD oa Farbe Farbe berechnet beobachtet

Die Farben dunner Bliittchen. (Fortsetzung.) 56,O 52,3 50,3 50,3 55,2 55,9 55,8 47,9 40,7 39,2 40,8 47,7 52,3 58,l 58,O

~ c 0 843 866 948 998

p 910 3

e

3 4s 1101 7 1128 1151 1258 1334 58 1376 1426 1495 1534 1621 68 1652 1682 1711 1744 1811 78 1927

w 1.3

44,O 47,4 49,7 49,7 44,s 44,l 44,2 52,l 59,3 60,8 59,2 52,3 47,7 41,9 42,O

Anfang schwarz. Farbe beobachtet I Farbe berechnet ______ __ Gelblicha Gelbgriin Grunlichgelb I Gelbgriin Reines Gelb Gelb l8,9 ~ 56,9 11,4 52,9 7,O

1

49,O 3,O 48,9

15,6 155,2

Orange Lebh. rothlichor. Dunkel violettr. 43,l 47,l 51,O 51,l 44,8

Hell blaulichv. Indigo Grunlichblau Meergriin Glanzend. Griin Grunlichgelb Fleischfarbe Carrninroth Matt Purpur Violettgrau Blaugrau Hell Grunlichbl. Blklichgrun Schon Eiellgriin Hell Graugrun

Orange Hochroth Purpurviolett Blauviolett Ultramarin Blaugriin Griin Gel bgriin Gelbgrun Orange Hochroth Purpurviolett Purpurviole tt Blauviolett Ultramarin U1trani.-Cyanbl. B1augr.-Griin Gelbgriin

9 n-12O 59' n-57 4 67 11

~- .____ n-29 14 n-80 12 0 2n-15 24 2%-28 38 nf74 9 nf21 14 n n-23 37 n-71 21 70 14 12 33 0 2n-11 52 2n-21 44 2n-44 40 n+65 12 n

- 1 562 577 604 629 668 7 65 438 446 494 533 55 1 57 2 619 664 744 765 437 443 455 500 551 - -

- r __ - 38,8 12,o 48,O 50,4 49,5 46,7 15,6 44,2 41,4 54,O 56,4 46,7 26,2 21,7 22,6 21,4

-

__ 9.' - -~ __ 53,4 53,4 52,7 51,l 50,O 57,6 57,8 55,9 38,O 37,O 36,3 32,2 23,9 23,7 31,4 29,6 25,O 19,2 12,8 6,7 2,s

Anfa.ng weiss.

-

- I' 137 446 462 477 499 551 564 576 659 731 765 443 47 1 496 540 551 561 573 592 670 765 - -

I Farbe berechnet ~ beobaehtet Farbe ______ B1auv.-Purpurv. U1tram.-Blauv. Cyanb1.-Ultrain. Cyanblau B1augr.-Cy

anbl. Gelbgriin Gelbgriin Gelbgrun-Belb Hochroth Purpur Purpurviolett Ultramarin C anb1.-Blaugr. Bfaugr iin

Griin Gelbgrun Gelbgrun Gelbgrun-Gelb Gelb Hochroth Purpurviolett

._ - --I__ Violettpurpur Violett Indigo Dunkelblau Griinlichblau Griin Gelblichgrun Unreines Gelb Fleischfarbe Roth Violett Graublau MeergrIin Schon Griin Matt Meergriin Gelblicbgriin Griinlichgelb Gel bgrau Mrtlvenroth Carminroth Grauroth lb W 4