Prof. Dr. Thomas Hoch
8. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik
8.1 Hall-Effekt
Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, das senkrecht zum Strom steht, so bildet sich in der Richtung die senkrecht auf beiden steht ein elektrisches Feld (zusätzlich zu dem Feld, das nach dem Ohmschen Gesetz den Strom verursacht). Dieses Feld kann in Form einer Spannung zwischen den Seitenflächen des Leiters gemessen werden. Man bezeichnet diesen Effekt als Hall-Effekt (benannt nach Edwin Hall).
b d
I E
UH B
x y
z
Das Elektrische Feld in Querrichtung kann folgendermaßen berechnet werden: Auf die La- dungsträger, die sich mit Geschwindigkeitv in x-Richtung bewegen, wirkt eine Lorentz-Kraft iny-Richtung. Damit die Ladungsträger nicht von ihrer Richtung abgelenkt werden (sie können ja nicht aus dem Leiter heraus), stellt sich (durch eine minimale Verschiebung der Ladungen) ein zusätzliches elektrisches Feld in y-Richtung ein, dessen Kraft auf die Ladungen gerade die Lorentz-Kraft ausgleicht.
a) Berechnen Sie aus der Stromstärke I die Stromdichte und hieraus (mithilfe der Ladungs- dichte der beweglichen Ladungen, ρb) die Geschwindigkeit der Ladungsträger.
b) Berechnen Sie aus der Geschwindigkeit das elektrische Feld E in Querrichtung sowie die Hall-Spannung UH zwischen den Seitenflächen des Leiters.
8.2 Generator
Eine Leiterschleife befindet sich in einem homogenen Magnetfeld B. Die Leiterschleife hat ein FlächeA und rotiert, wie in der Abbildung gezeigt, mit Winkelgeschwindigkeitω um eine Drehachse.
Drehachse ω
U(t)
B
Fläche A
Berechnen Sie die SpannungU(t), die durch den sich ändernden magnetischen Fluss durch die Leiterschleife induziert wird, in Abhängigkeit von der Zeit. Gehen Sie davon aus, dass zur Zeit0 die Fläche senkrecht auf B steht (wie in der Abb.).
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8.3 Geladenes Teilchen im konstanten Feld
Ein geladenes Teilchen mit Masse m und Ladung q bewegt sich in einem konstanten elek- trischen Feld E und magnetischen Feld B. Die Bewegung soll durch die von den Feldern ausgeübten Kräfte bestimmt werden.
a) Stellen Sie die (nichtrelativistische) Bewegungsgleichung für das Teilchen auf. Dies ist eine lineare DGL 2.Ordnung für den Ortsvektor r(t). Da r selbst in der DGL nicht vorkommt, ist es aber auch eine DGL 1. Ordnung in v =r.˙
b) Lösen Sie die DGL für den homogenen Fall E = 0. Sie können ohne Beschränkung der Allgemeinheit B =Bez annehmen. Beschreiben Sie das Ergebnis in Worten.
c)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der DGL für den Fall E6=0. Auch hier können Sie wieder vonB =Bez ausgehen. Betrachten Sie zunächst zwei Spezialfälle: E k B und E⊥B.
Durch Superposition können Sie dann den allgemeinen Fall lösen.
Anmerkung: Elementarteilchen (z. B. in der kosmischen Strahlung, oder im Sonnenwind) be- wegen sich häufig mit Geschwindigkeiten in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit.
Hier ist die oben verwendete nichtrelativistische Näherung nicht angebracht. Im allgemeinen Fall muss der der Ausdruck m¨r in der Bewegungsgleichung ersetzt werden durch:
d dt
mr˙ p1−r˙2/c2
d) Dies führt zu einer nichtlinearen Bewegungsgleichung. Für E = 0 ergibt sich aber die gleiche Art von Lösung wie in b). Weshalb?
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