H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 DieDimensiondesjeweiligenEigenraums,diegeometrischeVielfach- heitalso,wargenausogroß,jedochmußdiesimallgemeinennichtder Fallsein:F¨urdieMatrix =

11 01

etwahatdascharakteristischePolynom det(

)=

1

1 01

=(1

)2 diedoppelteNullstelleeins,

=1istalsoeinEigenwertmitalgebrai- scherVielfachheitzwei.Derzugeh¨origeEigenraumistdieL¨osungs- mengedeslinearenGleichungssystems 0

1+1

2=0 0

1+0

2=0, alsogeradedieMengeallerVektorenderForm

0

undsomiteindimen- sional.DiegeometrischeVielfachheitdesEigenwertseinsistdahernur eins. DasBeispielderAbbildung :

2

2 ;

cos

sin

cos

+

sin

mitAbbildungsmatrix =

cos

sin

sin

cos

2

2 zeigt,daßes¨uberhauptkeineEigenwertegebenmuß,dennhieristdas charakteristischePolynomgleich

cos

sin

sin

cos

=(cos

)2 +sin2

. AbgesehenvomFallsin

=0,wenn

gleichderpositivenodernegati- venEinheitsmatrixist,hatdiesesPolynomkeinereelleNullstelle,daes nurpositiveWerteannimmt.Eshatabernat¨urlichdiebeidenkomplexen Nullstellen 1

2=cos

sin

=

! ;

Kap.4:Differentialgleichungen

" fassenwir

alsAbbildungvon

#2 nach

#2 auf,gibtesalsozweiEi- genwerte.BeidehabendiealgebraischeundgeometrischeVielfachheit eins;zugeh¨origeEigenvektorensindetwa

1

und

1 $

.W¨ahlenwir diesebeidenVektorenalsBasis,sowirddieAbbildungsmatrixvon

bez¨uglichdieserneuenBasiszurDiagonalmatrix

! 0 0

$

!

. Allgemeingiltf¨urdiealgebraischenundgeometrischenVielfachheiten vonEigenvektoren Satz:a)DiegeometrischeVielfachheiteinesEigenwertsiststetskleiner odergleichderalgebraischenVielfachheit. b)DieSummederalgebraischenVielfachheitenderverschiedenenEi- genwerteeinerlinearenAbbildungistkleinerodergleichderDimension desVektorraums. Beweis:a)DerEigenwert

der

%

&% -Matrix

habediegeometrische Vielfachheit

' ,d.h.derzugeh¨origeEigenraumhabedieDimension

' . Wirw¨ahleneineBasis

(*) 1

+,,,+

().-

diesesEigenraumsunderg¨anzensie zueinerBasisdesgesamtenVektorraums;bez¨uglichdieserBasissei

/ dieAbbildungsmatrixderlinearenAbbildung :

01 21

2

(43

(43

. Da

() 1

+,,,+

()5-

EigenvektorenzumEigenwert

sind,ist

(

(6)

)=

(6)

.In denersten

' Spaltenvon

/ stehtalsojeweilsinderDiagonalendas Element

undansonsten¨uberalldieNull.

hatsomitdieForm =

7 88888888889

0

,,,0

:,,,

: 0

,,,0

:,,,

:

. . . . . .

. ..

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

:,,,

: 00

,,,0 . . . . . .

. ..

. . .

; 00

,,,0

< ==========>

,

? H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 wobeiunswederdiemit

: bezeichnetenK¨orperelementenochdie (

%

' )

& (

%

' )-Matrix

@ weiterzuinteressierenbrauchen. F¨ur

/

giltdasselbe,nurdaßjetzt

inderDiagonalensteht, d.h.dieseMatrixhatdieForm 7 88888888889

0

,,,0

: ,,,

: 0

,,,0

: ,,,

:

. . . . . .

. ..

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

: ,,,

: 00

,,,0

. . . . . .

. ..

. . .

;BA

C

D %

' 00

,,,0

< ==========>

, wobei

2$

-die(

%

' )

& (

%

' )-Einheitsmatrixbezeichnet. ZurBerechnungihrerDeterminantenverwendenwirdenLAPLACEschen Entwicklungssatz:DaindererstenZeile(oderSpalte)nuranderersten StelleeinvonNullverschiedenerEintragsteht,istdieseDeterminante gleich(

)malderDeterminantejenerMatrix,diedurchStreichen dererstenZeileundSpalteentsteht.Falls

'

E 1ist,hatdieseneueMatrix dieselbeForm,wirk¨onnendenLAPLACEschenEntwicklungssatzalso nocheinmalanwendenusw.;wirerhaltenschließlich det(

/

)=(

)

- det(

@

2$

-). Somitistdet(

/

)durch(

)

- teilbar. Wasunswirklichinteressiert,istabernichtdet(

/

),sondern det(

).Ist

F dieMatrixdesBasiswechselsvonderStandardbasis des

1

2 aufdieBasis

G

(6) 1

+,,,+

() 2

H ,jeneMatrixalso,derenSpaltenvek- torendie

(*)

sind,soist

/ =

F$1

F und det(

/

)=det(

F

$1

F

)=det(

F

$1

F

F

$1

F ) =det

F (

)

F

$1

=det

F det(

)(det

F )

$1 =det(

). und

/ habenalsodasselbecharakteristischePolynom,undsomitist auchdascharakteristischePolynomvon

durch(

)

- teilbar.Die algebraischeVielfachheitvon

istdahermindestens

' .

Kap.4:Differentialgleichungen

Unabh¨angigvondiesemErgebniswollenwirnochfesthalten,daßnach dergeradedurchgef¨uhrtenRechnungf¨ureinebeliebigeMatrix

und eineinvertierbareMatrix

F diebeidenMatrizen

und

F

F$1 das- selbecharakteristischePolynomhaben;insbesonderehabenalsodie AbbildungsmatrizeneinerlinearenAbbildungzuverschiedenenBasen dasselbecharakteristischePolynom. b)Sind

1

+,,,+

JI

dieverschiedenenEigenwertevon

undsind ' 1

+,,,+

'IihrealgebraischenVielfachheiten,soistdascharakteristische Polynomdet(

)teilbardurch (

1)

- 1KKK(

JI

)

-L

. DiesisteinPolynomvomGrad

' 1+^KK

K+

'I,wohingegendascharakte- ristischePolynomGrad

% hat;daherist ' 1+^KK

K+

'I

M% , dennderGradeinesTeilerskannnichtgr¨oßerseinalsderdesPolynoms selbst. ZumAbschlußdiesesAbschnittsseinocheinKriteriumangegeben, wannesf¨ureinelineareAbbildung

eineBasisausEigenwertengibt, wannalsodieAbbildungsmatrixbez¨uglicheinergeeignetenBasisDia- gonalgestalthat: Satz:ZurlinearenAbbildung

:

N

N eines

% -dimensionalenVek- torraumsgibtesgenaudanneineBasisausEigenvektorenvon

,wenn 1.)dascharakteristischePolynomvon

alsProduktvonLinearfaktoren geschriebenwerdenkann 2.)diegeometrischeVielfachheiteinesjedenEigenwertsgleichder algebraischenist. Beweis:Zun¨achstsei

:

N

N einelineareAbbildungderart,daß eineBasis

O

() 1

+,,,+

(*)

2

P ausEigenvektorenvon

habe.Wirm¨ussen zeigen,daß1.)und2.)erf¨ulltsind. DadieBasisvektoren

(6)

Eigenvektorensind,gibteszujedem

(6)

ein K¨orperelement

,sodaß

(

() )=

() ist;bez¨uglichdieserBasishatdie

Q H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Abbildungsmatrix

von

daherDiagonalgestalt,unddascharakteri- stischePolynom det(

)=

1

,,,0 . . .

. ..

. . .

0

,,,

2

=

2SR ( =1

) zerf¨alltinderTatinLinearfaktoren.DiealgebraischeVielfachheitdes Eigenwerts

istgleichderAnzahljederIndizes

T

O 1

+,,,+

%

P ,f¨ur die

VU

=

ist;diesistauchdiegeometrischeVielfachheit,dennder EigenraumwirdaufgespanntvondenVektoren

(*)

Uzudiesen

T .Alsosind 1)und2)erf¨ullt. Umgekehrterf¨ulledieAbbildung

dieBedingungen1)und2);wir m¨ussenzeigen,daßeseineBasisausEigenvektorenvon

gibt. Wegen1)l¨aßtsichdascharakteristischePolynominderForm (

1

)

- 1KKKKK(

.W

)

-X schreiben,wobeiwirannehmenk¨onnen,daßdie

paarweiseverschie- densind.Dannist

' diealgebraischeVielfachheitvon

.Dadascha- rakteristischePolynomdenGrad

% hat,folgt,daß ' 1+^K

KK+

' W=

% ist.Außerdemgibteswegen2.)zujedem

einen

' -dimensionalen Eigenraum,also

' linearunabh¨angigeEigenvektoren.DaEigenvektoren zuverschiedenenEigenwertennachdemLemmavomAnfangdieses Abschnittsstetslinearunabh¨angigsind,istauchdasSystemalldieser Eigenvektorenlinearunabh¨angigundsomiteineBasis,dennesbesteht aus

% =dim

N Vektoren.DamitisteineBasisausEigenvektorenvon

gefunden. e)EigenwertesymmetrischerundHermitescherMatrizen WiewirimletztenParagraphengesehenhaben,kanndiegeometrische VielfachheiteinesEigenwertskleinerseinalsdiealgebraische,undim FalleeinerreellenMatrixm¨ussennichtauchdieEigenwertereellsein.In diesemAbschnittwollenwirsehen,daßsolcheDingebeisymmetrischen

Kap.4:Differentialgleichungen

Y (undauchdennochzudefinierendenHERMITEschen)Matrizennicht m¨oglichsind. SymmetrischeundHERMITEscheMatrizenh¨angenengmit(HERMI- TEschen)Skalarproduktenzusammen:F¨urzweiVektoren

(43

=

2Z =1

3

(6)

und

(4[

=

2Z

=1

[

() auseinemendlichdimensionalenEUKLIDischenVektorraum

N mitBa- sis

O

(*) 1

+,,,+

(*)

2

P istwegenderLinearit¨atdesSkalarproduktsinbeiden Argumenten

(43

K

(4[

=

\2 Z =1

3

(6)

] K

7 9

2SZ

U =1

[U

() U

< >=

2 Z =1

2 Z U =1

3[U

()K

(6)

U. Setzenwir ^U= def

() K

(6)

U, soistwegenderSymmetriedesSkalarprodukts

^U=

^U,wirhabenalso einesymmetrische

%

&% -Matrix

/ . DieMatrix

/ legtdasSkalarprodukteindeutigfest,dennf¨urzweibe- liebigeVektoren

(3+

(4[ wieobenist

(43

K

(4[

=

2 Z =1

2 Z U =1

3[U

K

^U. DieseFormeldefiniertumgekehrtauchf¨urjedesymmetrischeMa- trix

/

22 einebilineareAbbildung

N&

N

,allerdings mußdiesenichtpositivdefinitunddamitkeinSkalarproduktsein. Ist

N einHERMITEscherVektorraum,wiedermitBasis

O

(6) 1

+,,,+

(6)

2

P ,so istjetztf¨urzweiVektoren

(43 =

2SZ =1

3

(*)

und

(4[

=

2SZ =1

[

() mit

3+

[

#

(43

K

(4[

=

\2 Z =1

3

(*)

] K

7 9

2 Z U =1

[U

() U

< >=

2 Z =1

2 Z U =1

3[U

(*) K

(*)

U.

_ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Setzenwirauchhierwieder ^U= def

(6) K

(6)

U, soistnun

^U=

^U.MatrizenmitdieserEigenschaftwollenwirals HERMITEschbezeichnen. Umdiesetwaskompakterausdr¨uckenzuk¨onnen,definierenwir Definition:a)F¨ureineMatrix

=(

`U)

#

22 bezeichnenwirdie Matrix

=

`U

alsdiezu

konjugiertkomplexeMatrix. b)

#

2

2 heißtHERMITEsch,falls

a =

ist. c)ZueinemVektor

(3 =

7 9

3 1 . . . ³²

< >heißt

(3 =

7 9

3 1 . . . ³²

< >derkonjugiert komplexeVektor. (LetztereSchreibweisesiehtzwargrausamaus,l¨aßtsichabernicht vermeiden,wennmanVektorenmitPfeilenkennzeichnet.Alternativen wiederFettdruckvonVektorenfunktionierenwederanderTafelnoch ineinerMitschrift,undf¨urFrakturbuchstabenwie

b+

c +

d k¨onnensich leidernurwenigeStudentenbegeistern.) SchließlichwollenwirVektorenhiermit1

&% -Matrizenidentifizieren; insbesondererechnenwirmitdem ”transponiertenVektor“ a(3 =(

3 1

+,,,+

3 2). MitdieserBezeichnungkanndasStandardskalarproduktzweierVekto- ren

(43

+

(4[

2 alsMatrixprodukt

a(3

([ geschriebenwerden;dasStandard- HERMITEscheProduktin

#

2 istentsprechend

a

(43

([ . DadiekomplexeKonjugationauf

keineWirkunghat,isteineHERMI- TEscheMatrixmitreellenEintr¨ageneinfacheinesymmetrischeMatrix; wirk¨onnenunsimfolgendenbeidenBeweisendaheraufHERMITEsche Matrizenbeschr¨ankenunderhaltentrotzdemErgebnisse,dieauchf¨ur reellesymmetrischeMatrizengelten. DasHauptzieldiesesAbschnittsist Satz:

seieinesymmetrischereelleoderHERMITEsche(komplexe) Matrix.

Kap.4:Differentialgleichungen

Q e a)DannsindalleEigenwertevon

reell. b)EigenvektorenzuverschiedenenEigenwertensindorthogonalbez¨ug- lichdesStandard-bzw.HERMITEschenSkalarprodukts. c)F¨urjedenEigenwertvon

istdiegeometrischeVielfachheitgleich deralgebraischenVielfachheit. d)

2 bzw.

#

2 hateineOrthonormalbasisausEigenvektorenvon

. Beweis:a)Ist

# einEigenwertvon

,sogibtesnachDefinition einenVektor

(43

f =

( 0,sodaß

(3 =

(3 ist.DadiekomplexeKonjugation mits¨amtlichenGrundrechenartenvertauschbarist,folgt,daß

(43

=

(43 , d.h.a

(43

(43 =

a

(43

(43 =

a(3

(43 . Bislanggiltallesnochf¨urbeliebige

)&% -Matrizen;umdieSymmetrie bzw.HERMITE-Eigenschaftvon

insSpielzubringen,betrachtenwir denVektor

a (

(43 )=

a

(43

a .DanachVoraussetzung

a =

ist,k¨onnen wirdierechteSeitederGleichungauchals

a(3

schreiben,unddielinke Seiteals

a (

3 )=

a

(43 ,da

(3 Eigenvektorvon

ist.Somitk¨onnenwirdie Zahl

a

(43

(43 auchschreibenals a

(43

(43 =

a(3

(3 =

a

(43

(43 . SomithabenwirdiebeidenDarstellungen a

(43

(43

=

a

(43

`

(43

und

a

(43

(3 =

a

(43

`

(3 , dienurdannbeiderichtigseink¨onnen,wenn

=

undsomitreellist; denn

a

(43

(43 kannwegenderDefinitheitHERMITEscherSkalarproduktef¨ur einenVektor

(43

f =

( 0nichtverschwinden. b)

(43 seiEigenvektorzumEigenwert

,und

([ seiEigenvektorzumdavon verschiedenenEigenwert

g ,d.h.

(43

=

(43

und

(4[

=

g

([ und

f =

g . Dannist

a(3

([ =

a (

(43 )

(4[

=

a (

(3 )

(4[

=

a(3 a

(4[

=

a

(43

(4[

=

a(3

(4[

=

a

(43

g

(4[

=

g

a(3

(4[ .

Q h H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Wiewirschonwissen,sindalleEigenwertereell,d.h.

g =

g

f =

.Die obigeGleichungskettekanndahernurrichtigsein,wenn

a(3

(4[ verschwin- det,d.h.wenn

(3 und

(4[

orthogonalsind. BeimBeweisvonc)gehenwirimwesentlichengenausovorwieim vorigenAbschnitt,alswirzeigten,daßdiegeometrischeVielfachheit einesEigenwertsstetskleinerodergleichderalgebraischenist;die zus¨atzlicheAnnahme¨uberdieMatrix

wirdzeigen,daßhierdiebeiden Vielfachheitensogargleichsind. seialsoeinEigenwertvon

mitgeometrischerVielfachheit

' ,d.h. derzugeh¨origeEigenraumhabedieDimension

' .Wirw¨ahleneineBasis O

() 1

+,,,+

().-

P davonunderg¨anzensiezueinerBasis

i =

O

() 1

+,,,+

() 2

P desgesamtenVektorraums

N =

2 oder

#

2 .Indemwirn¨otigenfalls dasGRAM-SCHMIDTscheOrthogonalisierungsverfahrenanwendenund anschließenddieL¨angenallerVektorenaufeinsnormieren,k¨onnenwir annehmen,daßessichdabeiumeineOrthonormalbasishandelt. NunbetrachtenwirdielineareAbbildung :

N

N ;

(43

(43 . ¨uglichBezderStandardbasishatsie

alsAbbildungsmatrix;f¨uruns interessanteristaberdieAbbildungsmatrix

/ bez¨uglichderneuenBa- sis

i .Dazusei

F dieMatrixmitSpaltenvektoren

(6)

;daderEintrag anderStelle(

+

T )einesMatrixproduktsdas(Standard-)Skalarprodukt des

-tenZeilenvektorsdeserstenFaktorsmitdem

T -tenSpaltenvek- tordeszweitenFaktorsist,stehtanderStelle(

+

T )derMatrix

aFF das(Standard)HERMITEscheProduktderVektoren

(6)

und

(6)

U.Da

i als Orthonormalbasisgew¨ahltwurde,istdaher aFF =

unddamit

aF =

F

$1 =

F$1. AusdieserFormelfolgt,daßmit

auch

/ eineHERMITEscheMatrix ist,denn a/ =

a (

F

$1

F )=

aF a aF

$1 =

F$1

F =

F$1

F =

/ . Dieersten

' Basisvektoren

() sindEigenvektorenvon

zumEigen- wert

;f¨ur

M' istdaher

(

(*)

)=

() ,d.h.inder

-tenSpaltevon

/

Kap.4:Differentialgleichungen

Q stehtander

-tenStellediereelleZahl

undansonsten¨uberalldieNull, genauwieauchimvorigenAbschnitt.ImGegensatzzudorthabenwir nunabereineHERMITEscheMatrix;dainder

-tenSpalteabgesehen von

aufderHauptdiagonalennurNullenstehen,mußdaherdasselbe auchf¨urdie

-teZeilegelten;dieMatrix

/ hatalsodieForm / =

7 88888888889

0

,,,00

,,,0 0

,,,00

,,,0

. . . . . .

. ..

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

0

,,,0 00

,,,0 . . . . . .

. ..

. . .

; 00

,,,0

< ==========>

, wobei

@ eine(

%

' )

& (

%

' )-Matrixist,dieunsnichtweiterzu interessierenbraucht.Damithat

/

dieForm 7 88888888889

0

,,,00

,,,0 0

,,,00

,,,0

. . . . . .

. ..

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

0

,,,0 00

,,,0

. . . . . .

. ..

. . .

;BA

C

D %

' 00

,,,0

< ==========>

, wobei

2$

-die(

%

' )

& (

%

' )-Einheitsmatrixbezeichnet. WiewirunsschonimvorigenAbschnitt¨uberlegtenbeimBeweis,daßdie geometrischeVielfachheiteinesEigenwertsimmerkleinerodergleich deralgebraischenist,haben

und

/ dasselbecharakterischePolynom; dawirdieMatrix

/ besserkennen,rechnenwirmitihr. WieinAbschnittd)folgtaufGrundderobigenFormderMatrix

/

ausdemLAPLACEschenEntwicklungssatz,daß det(

)=det(

/

)=(

)

- det(

@

2$

-)

Q H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 ist,wobei

2$

-die(

%

' )

& (

%

' )-Einheitsmatrixbezeichnet.Wir m¨ussenzeigen,daßdiealgebraischeVielfachheitvon

genaugleich

' ist,daßalso

keineNullstellevondet(

@

2$

-)seinkann. W¨are

Nullstellevondet(

@

2$

-),soh¨atte

@ denEigenwert

, esg¨abealsoeinen(

%

' )-dimensionalenEigenvektor

(4[ von

@ .Wegen derspeziellenFormderMatrix

/ istf¨urjedenEigenvektor

(4[

=

7 9

[ -$1

. . . ^{[ 2}

< >von

@ derVektor

(3 =

7 88888889

0 . . . 0 [ -$1

. . . ^{[ 2}

< =======>

einEigenvektorvon

/ unddamitvon

–Eigenvektorenh¨angenschließ- lichnurvonderlinearenAbbildungab,nichtvoneinerspeziellenAb- bildungsmatrix.DieswidersprichtaberderVoraussetzung,daßderEi- genraumzumEigenwert

von

() 1

+,,,+

(6) -erzeugtwird,denn

(43 istlinear unabh¨angigvondiesen

(6)

. Alsohat

diealgebraischeVielfachheit

' ,undc)istgezeigt. d)istnuneineeinfacheFolgerungausden¨ubrigenAussagenunddem ausKapitel3,

j 1f)bekanntenFundamentalsatzderAlgebra,wonach jedesreelleoderkomplexePolynom¨uberdenkomplexenZahlenin Linearfaktorenzerf¨allt: Wirwissendann,daßdieSummederalgebraischenVielfachheitenaller EigenwertegleichderDimension

% desVektorraumsistunddaßalle Eigenwertereellsind;dadiealgebraischengleichdengeometrischen Vielfachheitensind,gibtesalso

% Eigenvektoren,dieeineBasisvon

N bilden. F¨urjedeneinzelnenEigenraumk¨onnenwirdieEigenvektorennach GRAM-SCHMIDTsow¨ahlen,daßsieeineOrthonormalbasisbilden;da EigenvektorenzuverschiedenenEigenwertenstetsorthogonalsind,ist dieVereinigungsmengedieserBasenOrthonormalbasisvon

N .

Kap.4:Differentialgleichungen

Q" f)HauptvektorenundunddieJordan-Zerlegung FallsdielineareAbbildung

:

N

N Eigenwertehat,derengeome- trischeVielfachheitkleineralsdiealgebraischeist,habenwirkeine ChanceaufeineBasis,bez¨uglichdererdieAbbildungsmatrixvon Diagonalgestalthat:DieElementeeinersolchenBasisw¨arenallesamt Eigenvektoren,undbeizukleinergeometrischerVielfachheitgibtes nichtgen¨ugendlinearunabh¨angigeEigenvektoren.Außerdemgibtes offensichtlichkeineChanceaufeineDiagonalgestalt,wenndascharak- teristischePolynomvon

nichtinLinearfaktorenzerf¨allt,denndann istschondieSummederalgebraischenVielfachheitenderEigenwerte kleineralsdieDimensionvon

N . DaszweitedieserProblemekonntenwirzumindestbeimBeispielder Matrix cos

sin

sin

cos

dadurchl¨osen,daßwirzueinemgr¨oßerenK¨orper¨ubergegangensind, n¨amlichvondenreellenzudenkomplexenZahlen. Tats¨achlichl¨aßtessichimmerdadurchl¨osen,daßmanzueinemgr¨oßeren K¨orper¨ubergeht:AusKapitel3,

j 1f)kennenwirdenFundamentalsatz derAlgebra,wonachjedesPolynommitkomplexen(alsoinsbeondere auchmitreellen)Koeffizienten¨uberdenkomplexenZahleninLine- arfaktorenizerf¨allt.F¨urandereK¨orperalsdiereellenoderkomplexen ZahlenzeigtdieAlgebra,daßeszujedemPolynom¨ubereinemK¨orper stetseinenErweiterungsk¨orpergibt,deralsVektorraum¨uberdemAus- gangsk¨orperendlicheDimensionhat,sodaßdasgegebenePolynom dortinLinearfaktorenzerf¨allt.MitMethoden,dieimallgemeinennicht konstruktivsind,folgtsogar,daßesstetseinen(imallgemeinenunend- lichdimensionalen)Erweiterungsk¨orpergibt,¨uberdemjedesPolynom inLinearfaktorenzerf¨allt,densogenanntealgebraischenAbschlußdes Ausgangsk¨orpers.EinzelheitenfindetmaninjedemLehrbuchderAlge- bra. Somitk¨onnenwirdasProblem,daßdascharakteristischePolynomeven- tuellnichtgen¨ugendvieleNullstellenhat,imwesentlichenignorieren.

Q? H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 ErnsteristdasProblemmitEigenwerten,derengeometrischeVielfach- heitkleineristalsdiealgebraische.Damitwollenwirunsindiesem Abschnittbesch¨aftigen. DieL¨osungwirddarinbestehen,daßwirsolchenEigenwertenR¨aume zuordnen,diegr¨oßersindalsdieEigenr¨aume,aberimmernocheinegut andieAbbildungangepaßteBasishaben.Insbesonderesollensie,genau wiedieEigenr¨aume,invariantseinunterderbetrachtetenAbbildung: Definition:

:

N

N seieinelineareAbbildung.EinUntervektorraum kMN heißtinvariantunter

oderkurz

-invariant,wenn

(

k )

Mk ist. Die

-InvarianzderEigenr¨aumeimSinnedieserDefinitionistklar, dennaufeinemEigenraumist

einfachdieMultiplikationmitdem zugeh¨origenEigenwert. F¨urdasfolgendewollenwirderEinfachheithalberannehmen,daß

N endlicheDimensionhabe.Dannisterstrechtjeder

-invarianteUn- terraum

k endlichdimensional,wirk¨onnenalsoeineendlicheBa- sis

O

(*) 1

+,,,+

(*) -

P von

k findenunddieseerg¨anzenzueinerBasis O

() 1

+,,,+

() 2

P von

N .Da

(

k )

Mk ist,liegendieBilderderersten

' Basisvektorenwiederin

k ,d.h.dieAbbildungsmatrixbez¨uglichdieser BasishatdieForm 7 9

/ 0

F

< > miteiner

'

&' -Matrix

,derAbbildungsmatrixvon

lm

:

k

k ,einer (

%

' )

& (

%

' )-Matrix

F undeiner(

%

' )

&' -Matrix

/ .DiefetteNull sollhier,wieauchindennochfolgendenMatrizen,stetseineNullmatrix derjeweilskorrektenGr¨oßebezeichnen. NochbesserwirddieSituation,wenn

k ein

-invariantesKomplement hat,wennesalsoeinenweiteren

-invariantenUntervektorraum

n gibt, sodaß

N =

k +

n istund

ko

n =

G

( 0

H .(Wirsagendann,

N =

kp n seidiedirekteSummevon

k und

n .)IndiesemFallk¨onnenwirf¨ur

() -+1

Kap.4:Differentialgleichungen

Q

bis

(*) 2dieVektoreneinerBasisvon

n nehmen,unddanunauch

n auf sichselbstabgebildetwird,habenwireineAbbildungsmatrixderForm 7 9

0 0

F

< >. Allgemeinsagenwirf¨ur

q Untervektorr¨aume

k 1

+,,,+

k Wvon

N ,daß diedirekteSumme N =

k 1^p

KKK

p

k W=

WSr =1

k sei,wenn N =

k 1+^K

KK+

k W=

W Z =1

k und

ko

Z U

s =

k U=

G

( 0

H ist.Fallshierbeidie

k allesamt

-invariantsind,k¨onnenwirihreBasen aneinandersetzenunderhalteneineBasis,bez¨uglichdererdieAbbil- dungsmatrixdieGestalt 7 888888889

10

,,,0 0

2

,,,0

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

tW

< ========>

hat,wobeidie

dieAbbildungsmatrizenderEinschr¨ankungen

lmvu

zu Abbildungenvon

k nach

k sind. Kandidatenf¨urUntervektorr¨aume

k lieferndieHauptr¨aume: Definition:a)EinVektor

(43

N heißtHauptvektorvon

zumEigen- wert

,wennesein

w

x 0gibt,sodaß(

id)

I (

(43 )=

( 0ist.Falls (

id)

I$1

f =

( 0ist,bezeichnenwir

w alsdieStufedesHauptvektors. b)DieMengeallerHauptvektorenvon

zumEigenwert

heißtHaupt- raumzu

undwirdmit

yJz

bezeichnet.

QQ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 InsbesonderesinddieHauptvektorenderStufeeinsgenaudieEigenvek- torenzumEigenwert

:DerNullvektoristn¨amlichkeinHauptvektor ersterStufe,daerbereitsvon(

id)0 =idauf

( 0abgebildetwird. Esistklar,daßdieHauptvektoreneinenUntervektorraumbilden,denn mit(

id)sindauchdessenSchachtelungen (

id)

I =(

id)

{KKK

{ (

id) lineareAbbildungen,unddieHauptvektorenderStufeh¨ochstens

w sind geradedieElementedesKernsdieserAbbildung.Dawirvoneinemend- lichdimensionalenVektorraum

N ausgehen,kanndieFolgedieserKerne nichtunbeschr¨anktwachsen,esgibtalsoeinmaximales

w ,dasalsStufe einesHauptvektorsauftretenkann.Mitdiesem

w istderHauptraum

y|z

geradederKernvon(

id)

I . DerNutzenderHauptr¨aumeergibtsichausfolgendem Lemma:

yJz

istein

-invarianterUnterraumvon

N .Bezeichnet

w die gr¨oßteStufeeinesHauptvektorsaus

yJz

,soistBild(

id)

I ein

- invariantesKomplement. Beweis:BeginnenwirmitderInvarianzvon

yJz

unter

. Ist

(3 einHauptvektorderStufe

T ,soist (

id)

U (

(43 )=(

id)

U$1

(

id)(

(3 )

=(

id)

U$1

(

(3 )

(3

=

( 0, (

(3 )

(43 istalsoeinHauptvektorderStufeh¨ochstens

T 1undsomit insbesondereeinElementvon

y z.Damit

(43

auch

(43

in

y zliegt,ist damitauch (

(3 )=

(

(43 )

(43

+

(43

yJz

einHauptvektor. F¨ur

(3

Bild(

id)

I liegtzun¨achstauch

(

(43 )

(43

imBild von(

id)

I ,denndasBildvon(

id)

I enth¨altdasBildvon (

id)

I$1 .Damit

(43 auch

(43

imBildliegt,folgtwieobendieBe- hauptung.

Kap.4:Differentialgleichungen

Q

Y Alsn¨achstesm¨ussenwirzeigen,daßderDurchschnittderbeidenSum- mandennurausdemNullvektorbesteht.Dazusei

(43

einVektoraus diesemDurchschnitt.Dannliegt

(43 sowohlimKernalsauchimBildder linearenAbbildung(

id)

I ,esgibtalsoeinenVektor

([

3 ,sodaß

(43

=(

id)

I (

([ )ist,und(

id)

I (

(3 )=(

id)2

I (

(4[ )=

( 0.Damit liegt

(4[

aberimHauptraumzu

,d.h.

(43

=(

id)

I (

(4[ )=

( 0. NachderDimensionsformelist dimBild(

id)

I =dim

N dimKern(

id)

I , alsoist dimKern(

id)

I +dimBild(

id)

I =dim

N , diebeidenUntervektorr¨aumeerzeugensomitganz

N . DieZerlegungvon

N nachdiesemLemmaheißtFITTING-Zerlegung. DerdeutscheMathematikerHANSFITTING(1906–1938)besch¨aftigtesichvorallemmit derUntersuchungvonOperatoren(undOperatorenringen).Trotzseinesfr¨uhenTodes konnteerdamitwesentlicheBeitr¨agezurAlgebraleisten,vorallemauchzurErforschung derStrukturvonGruppen. DasSch¨oneanderFITTING-Zerlegungist,daßsierekursivfortgesetzt werdenkann:DaBild(

id)

I auch

-invariantist,k¨onnenwirf¨urdie Einschr¨ankungvon

aufdiesenUnterraumeinenHauptraumzueinem anderenEigenwertabspaltenusw.Bevorwirunsdasgenauer¨uberlegen, wollenwirunsaberzun¨achsteineguteBasisf¨urdenHauptraum verschaffen. Lemma:DerHauptraum

yJz

hateineBasis,bez¨uglichdererdieAbbil- dungsmatrixvon

eineobereDreiecksmatrixist.AlleHauptdiagonal- eintr¨agedieserMatrixsindgleich

. Beweis:WirbeginnenmiteinerBasis

O

() 1

+,,,+

().-

1

P desEigenraums zu

underg¨anzendiesezueinerBasis

O

(6) 1

+,,,+

(6) - 2

P desRaumsaller HauptvektorenderStufeh¨ochstenszweiundsoweiter,biseineBasis O

() 1

+,,,+

(6) -

P desgesamtenHauptraumserreichtist.

Q_ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 DerVektor

() seiHauptvektorderStufe

w ;dannist (

id)

I (

() )=(

id)

I$1

(

id)(

(6)

)

=(

id)

I$1

(

() )

()

=

( 0, (

(6)

)

(6)

istalsoeinHauptvektorderStufeh¨ochstens

w 1.Nach KonstruktionderBasisist

(

(6)

)

() dahereineLinearkombination vonBasisvektoren

() UmitIndizesechtkleiner

,d.h. (

(6)

)=

(6)

+

$1Z U =1

}U

() U. Bez¨uglichderBasis

O

(6) 1

+,,,+

(6) -

P hatdieAbbildungsmatrixdaherinder Tatdiegew¨unschteForm. AbspaltungimmerweitererHauptr¨aumeauchvominvariantenKomple- mentf¨uhrtschließlichzum Satz:ZueinerlinearenAbbildung

:

N

N einesendlichdimensio- nalen

1 -Vektorraums

N gibtesgenaudanneineBasisvon

N ,bez¨uglich dererdieAbbildungsmatrixvon

eineDreiecksmatrixist,wenndas charakteristischePolynomvon

¨uber

1 alsProduktvonLinearfaktoren geschriebenwerdenkann.AlsdannkanndieBasissogew¨ahltwerden, daßdieAbbildungsmatrixdieForm 7 888888889

10

,,,0 0

2

,,,0

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

tW

< ========>

hatmitDreiecksmatrizen

,dieaufderHauptdiagonalenden

-ten Eigenwert

stehenhaben. Beweis:Fallseszu

eineBasisgibt,bez¨uglichdererdieAbbildungs- matrix

von

eineDreiecksmatrixist,istbez¨uglichdieserBasisauch

Kap.4:Differentialgleichungen

Ye eineDreiecksmatrix.DadieDeterminanteeinerDreiecksmatrix geradedasProduktderDiagonaleintr¨ageist,bekommenwiralscharak- teristischesPolynomdet(

)einProduktvonLinearfaktoren. FallsumgekehrtdascharakteristischePolynominLinearfaktorenzer- f¨allt,gibtesaufjedenFallEigenwerte;

1seieinerdavon,und

y 1sei derzugeh¨origeHauptraum.Dazugibtesnachdemgeradebewiesenen LemmaeineBasis,bez¨uglichdererdieAbbildungsmatrixvon

l~ 1 eineobereDreiecksmatrixist,derens¨amtlicheHauptdiagonaleintr¨age gleich

1sind. NachdemLemmavonderFITTING-Zerlegunggibteszu

y|z

1ein

- invariantesKomplement

N 1,sodaß

N =

yJz

1

p

N 1ist.Wirerg¨anzendie Basisvon

yJz

1durcheineBasisvon

N 1zueinerBasisvon

N ;bez¨uglich dieserBasishat

danneineAbbildungsmatrixderForm 1=

7 89

€ 10 0

F 1

< =>

miteineroberenDreiecksmatrix € 1=

7 889

1

: ,,,

: 0

1

,,,

:

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

1

< ==>

. EntwicklungdescharakteristischenPolynomsdet(

)nachder erstenSpalte,gefolgtvonderEntwicklungdesRestsnachseinerersten Spalteundsoweiter,bisdieersten

' 1=dim

yJz

1Spaltenaufgebraucht sind,zeigt,daß det(

1

)=(

1

)

- 1Kdet(

F 1

) ist,dascharakteristischePolynomvon

l 1istalsoeinTeilerdescharak- teristischenPolynomsvon

undzerf¨alltsomitauchinLinearfaktoren. Insbesonderehates(mindestens)eineNullstelle

2;wirk¨onnenderen Hauptraum

yJz

2in

N 1betrachtenunddamit

N 1genauwieobenweiter zerlegenin

y z 2unddesseninvariantesKomplement

N 2.Nimmtman

Yh H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 nunalsBasisvektorenvon

N zun¨achstdieBasisvektorenvon

y|z

1wie oben,dannentsprechendeBasisvektorenf¨ur

yJz

2undschließlichnoch solchef¨ur

N 2,hatdieAbbildungsmatrix

2bez¨uglichdieserneuenBasis dieForm 2=

7 888889

€ 100 0

€ 20 00

F 2

< =====>

miteinerneuenDreiecksmatrix € 2=

7 889

2

:,,,

: 0

2

,,,

:

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

2

< ==>

. AufdieseWeiselassensichsukzessiveimmerweitereHauptr¨aumeab- spalten,bisschließlicheineBasiserreichtist,bez¨uglichdererdieAb- bildungsmatrixvon

dieForm =

7 8888888889

€ 10

,,,0 0

€ 2

,,,0

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

€ W

< =========>

hatmitoberenDreiecksmatrizen € =

7 889

: ,,,

: 0

,,,

:

. . . . . .

. ..

. . .

00

,,,

< ==>

zudenEigenwertenvon

.Ist

€ eine

'

&' -Matrix,soistdascharak- teristischePolynomvon

det(

)=(

1

)

- 1 (

2

)

- 2KKK(

1

)

-X ,

Kap.4:Differentialgleichungen

Y die

' sindalsogeradediealgebraischenVielfachheitender

. F¨ursp¨atereAnwendungenwollenwirdasgeradebewieseneErgebnis nochetwasumformulieren: Satz:FallsdascharakteristischePolynomvon

:

N

N inLinearfak- torenzerf¨allt,gibteseineBasisvon

N ,bez¨uglichdererdieAbbildungs- matrix

von

als

=

€ +

‚ geschriebenwerdenkann,wobei

€ eine Diagonalmatrixistund

‚ eineobereDreiecksmatrixmitNulleninder Hauptdiagonalen.Außerdemist

€‚ =

‚€ . Beweis:Wirnehmennat¨urlichdieBasisausdemgeradebeendeten Beweis;dieDiagonalmatrix

€ sollgenauausdenDiagonalelementen derAbbildungsmatrix

bestehen,alsodieEigenwerteentsprechend ihreralgebraischenVielfachheitenalsDiagonalelementeenthalten,und ‚ =

€ .F¨urjedeeinzelneDreiecksmatrix

€ ausdemobigenBeweis kommutiertderDiagonalanteilmitdemRest,daderDiagonalanteil geradedas

-fachederEinheitsmatrixist.Damitistauch

€‚ =

‚€ , dennbeibeidenMultiplikationentreffen,abgesehenvondenNullen, immernurEintr¨ageauseinem

€ aufeinander. DieseZerlegungausdiesemSatzbezeichnetmannachdemfranz¨osi- schenMathematikerCAMILLEJORDANalsJORDAN-Zerlegung. MARIEENNEMONDCAMILLEJORDAN(1838–1922)ar- beitetebeiderHerleitungdieserundweitererZerlegun- gennichtmitkomplexenMatrizen,sondernmitMatri- zen¨uberendlichenK¨orpern,motiviertdurchFragenaus derGruppentheorieundL¨osbarkeitsfragenf¨urnichtli- neareGleichungen.WeitereArbeitenbesch¨aftigensich mitderAnwendunggruppentheoretischerMethodenauf dieGeometriesowiemitderTopologie,woerz.B.be- wies,daßjededoppeltpunktfreiegeschlosseneKurve dieEbeneinzweiGebietezerlegt.Außerdementwickel- teerneueMethodenzumNachweisderKonvergenzvon FOURIER-Reihen. ZielunsererBetrachtungenindiesemParagraphenwardieBerechnung vonPotenzenundExponentialfunktioneneinerMatrix.MitderJORDAN- Zerlegungistdiesimwesentlichenerreicht:Da

€ und

‚ miteinander