¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik

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Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik ¨

^{Blatt 5}

Prof. Dr. P. Schroeder-Heister WS 2008/09

Aufgabe 1 (1 + 1 + 2 + 2 Punkte) Zeigen Sie in NK⁰:

a) (φ∧ψ)→σ `φ →(ψ →σ) b) `(φ→ψ)∧(φ→ ¬ψ)→ ¬φ

c) `(φ→ψ)→((φ→(ψ →σ))→(φ→σ)) d) ¬(φ∧ψ)`φ→ ¬ψ

Aufgabe 2 (2 + 2 Punkte) Zeigen Sie in NK:

a) φ↔ψ ` ¬φ ↔ ¬ψ b) ¬φ→ψ `φ∨ψ

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass mit Γ`φ und ∆, φ`ψ auch Γ,∆`ψ gilt.

Aufgabe 4 (6 Zusatzpunkte)

F¨ur eine Formel φ sei φ₁, . . . , φ_n eine minimale (d.h. nur aus Teilformeln von φ bestehende) Bil- dungsfolge f¨ur φ_n = φ. Seien weiterhin q₁, . . . , q_n neue atomare Aussagensymbole. Die Formel ψ sei dann die Konjunktion von q_n und den konjunktiven Normalformen der folgenden Formeln:

(q_i∨q_j)↔q_k f¨ur φ_k= (φ_i∨φ_j) (q_i∧q_j)↔q_k f¨ur φ_k= (φ_i∧φ_j)

¬q_i ↔q_k für φ_k=¬φ_i Zeigen Sie, dass φ und ψ erfüllbarkeitsäquivalent sind.