in) von n Elementen gerade (bzw

Der ϵ-Tensor

Der ϵ-Tensor im Rⁿ ist ein Tensor mit den Werten −1,0,+1 , der antisymmetrisch bei paarweiser Vertauschung von zwei Indizes ist (also das Vorzeichen ¨andert).

Im R³ besitzt er die Darstellung ϵ_ijk =





+1 (i,j,k) ist gerade Permutation von (1,2,3)

−1 (i,j,k) ist ungerade Permutation von (1,2,3) 0 sonst, i.e. zwei Indizes sind gleich

(Dabei heißt eine Permutation (i1, i2, . . . , in) von n Elementen gerade (bzw. ungerade), wenn sie durch eine gerade (bzw. ungerade) An- zahl von paarweisen Indexvertauschungen in die nat¨urliche Permutation (1,2, . . . , n) ¨ubergef¨uhrt werden kann)

Da es 3! = 6 Permutationen von 3 Elementen gibt, hat der ϵ-Tensor im R³ sechs nichtverschwindende Elemente

ϵ₁₂₃ = ϵ₂₃₁ = ϵ₃₁₂ = +1 , ϵ₁₃₂ = ϵ₂₁₃ = ϵ₃₂₁ = −1

Wie man durch leicht verifiziert, kann man den ϵ-Tensor auch als Deter- minante schreiben

ϵijk =

δ_1i δ_1j δ_1k δ2i δ2j δ2k

δ3i δ3j δ3k

Mit Hilfe des ϵ-Tensors k¨onnen verschiedene Vektoroperationen, wie etwa das Vektorprodukt oder die Rotation, dargestellt werden.

Das Vektorprodukt c = a×b von zwei Vektoren a = (a1, a2, a3) und b = (b1, b2, b3) ist bekanntlich

c₁ = a₂b₃ −a₃b₂ = ϵ₁₂₃a₂b₃ + ϵ₁₃₂a₃b₂ c₂ = a₃b₁ −a₁b₃ = ϵ₂₁₃a₁b₃ + ϵ₂₃₁a₃b₁ c₃ = a₁b₂ −a₂b₁ = ϵ₃₁₂a₁b₂ + ϵ₃₂₁a₂b₁

1

Zusammengefasst kann dies als

c_i = ϵ_ijka_jb_k (Summenkonvention !) geschrieben werden.

(Man sieht auch, dass diese Gr¨oße durch zweifache Verj¨ungung des Tensors 5. Stufe ϵ_ijka_nb_m entsteht.)

Der Rotor kann analog gebildet werden.

c = rot a = ∇ ×a entspricht c_i = ϵ_ijk∂_ja_k = ϵ_ijk^∂a_∂x^k

j , wobei die Schreibweise ∂jak = ^∂a_∂x^k

j verwendet wurde.

Betrachten wir nun den Ausdruck a×(b×c) = (d1, d2, d3) . Dann ist d_i = ϵ_ijka_j(b×c)_k = ϵ_ijka_j(ϵ_klmb_lc_m) =ϵ_ijkϵ_klma_jb_lc_m .

Der Ausdruck ϵ_ijkϵ_klm = ϵ_ijkϵ_lmk entsteht durch Verj¨ungung des direkten Produktes zweier ϵ-Tensoren.

Wir schreiben zuerst das Produkt von zwei ϵ-Tensoren mit Hilfe der De- terminantendarstellung an.

ϵ_ijkϵ_lmn =

δ_1i δ_1j δ_1k δ_2i δ_2j δ_2k δ_3i δ_3j δ_3k

δ_1l δ_1m δ_1n δ_2l δ_2m δ_2n δ_3l δ_3m δ_3n

In der ersten Determinante vertauschen wir Zeilen und Spalten (Wert der Determinante ¨andert sich dabei nicht) und verwenden weiters den Deter- minantenproduktsatz detA detB = detAB .

δ_1i δ_2i δ_3i δ_1j δ_2j δ_3j δ_1k δ_2k δ_3k

δ_1l δ_1m δ_1n δ_2l δ_2m δ_2n δ_3l δ_3m δ_3n

=

δ_il δ_im δ_in δ_jl δ_jm δ_jn δ_kl δ_km δ_kn

Dabei verwendeten wir, dass δ1iδ1l +δ2iδ2l +δ3iδ3l = δkiδkl = δil . Wird nun mit n= k verj¨ungt, erhalten wir

δ_il δ_im δ_ik δ_jl δ_jm δ_jk δ_kl δ_km δ_kk

=

δ_il δ_im δ_jl δ_jm

= δ_ilδ_jm −δ_imδ_jl = ϵ_ijkϵ_lmk

2

Somit gilt f¨ur a×(b×c) = (d₁, d₂, d₃) , dass di = ϵijkϵklmajblcm = (δilδjm−δimδjl)ajblcm =

= δ_ila_mb_lc_m −δ_ima_jb_jc_m = b_i(a_mc_m)−c_i(a_jb_j)

Daraus folgt sofort, dass a×(b×c) =b(a·c)−c(a·b)

Bemerkung. Wegen der Invarianz bez¨uglich der zyklischen Vertauschung der Indizes erhalten wir

ϵ_ijka_ib_jc_k = ϵ_jkib_jc_ka_i = ϵ_kijc_ka_ib_j ⇒ a·(b×c) = b·(c×a) =c·(a×b)

Bemerkung. Bei der Verwendung der Summenkonvention muß man auch aufpassen. So ist etwa

δ_ii = 3 , δ_iiδ_kk = 9 , δ_ikδ_ik = δ_ii = 3 Weitere Beziehungen.

(i) ϵ_ijkϵ_lmk = δ_ilδ_jm −δ_imδ_jl (siehe vorher) (ii) δijδjk = δik

Beweis. δ_ijδ_jk = δ_i1δ_1k +δ_i2δ_2k+ δ_i3δ_3k . Ist nun i = k = 1 dann ist δ_ijδ_jk = 1 = δ_ik . Analog f¨ur i = k = 2 und i = k = 3 .

Ist 1 = i ̸= k , dann ist δ_1k = 0 und somit δ_ijδ_jk = 0 = δ_ik . Analog f¨ur 2 = i ̸= k und 3 = i ̸= k .

(iii) Verj¨ungung von (i) liefert

ϵ_ijkϵ_ljk = δ_ilδ_jj −δ_ijδ_jl = 3δ_il −δ_il = 2δ_il (iv) ϵ_ijkϵ_ijk = 6

Bemerkung. Sei ϵijk ein ϵ-Tensor und tlm ein symmetrischer Tensor.

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Zweimalige Verj¨ungung von ϵ_ijkt_lm liefert ϵ_ijkt_jk = −ϵ_ikjt_jk = −ϵ_ikjt_kj = −ϵ_ijkt_jk

Zum Schluß wurden die Indizes k ↔j umbenannt. Daraus folgt dass ϵ_ijkt_jk = 0 .

Analog gilt f¨ur einen in den Indizes i, j symmetrischen Tensor t_ij... dass ϵijktij... = 0 .

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