Fundamentalsatz der Algebra
Jedes nicht konstante Polynom
p(z) =zn+an−1zn−1+· · ·+a1z1+a0
mit Koeffizienten a0,a1, . . . ,an−1 ∈C besitzt inCmindestens eine Nullstelle z1.
Mit Hilfe von Polynomdivision erh¨alt man durch wiederholte Anwendung dieses Satzes die Faktorisierung
p(z) = (z−z1)· · ·(z−zn),
d.h. die Existenz von genau n Nullstellen von p inklusive Vielfachheiten.
Fundamentalsatz der Algebra 1-1
Beweis:
Gegenannahme: p besitzt keine Nullstelle in C
=⇒ z 7→1/p(z) ist analytisch (kein Pol)
|z| ≥c = max(1,2(|a0|+· · ·+|an−1|)) =⇒ 1
|p(z)| ≤ 1
|z|n− |an−1||z|n−1− · · · − |a0|
≤
|z|≥1
1
|z|n−(|an−1|+· · ·+|a0|)|z|n−1
≤ 1
|z|n−(|z|/2)|z|n−1 = 1
|z|n/2 ≤2 1/|p(z)|ist aus Stetigkeitsgr¨unden auch f¨ur |z| ≤c beschr¨ankt.
Satz von Liouville =⇒ 1/p konstant Widerspruch
=⇒ ∃mindestens eine Nullstelle in Cvon p
Fundamentalsatz der Algebra 2-1
