§5.3 Der Fundamentalsatz der Algebra

§5.3 Der Fundamentalsatz der Algebra

Lemma. Jedes Polynomf ∈C[X]vom Grad 2 hat eine Nullstelle inC.

Beweis.

Œf =X²+bX +x mitb,c ∈C. Wegenf = (X+ ^b₂)²+ (c− ^b₄²) reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sindr ∈R≥0 undϕ∈R, so (√

r e

◦ı^ϕ₂)² =re

◦ıϕ. Alternativ: Sinda,b ∈Rund r :=√

a²+b², so

rr+a 2 ±^◦ı

rr−a 2

!2

= r+a 2 ±2^◦ı

rr²−a²

4 −r−a

2 =a±2^◦ı b 2 .

Lemma. Jedes Polynomf ∈C[X]vom Grad 2 hat eine Nullstelle inC. Beweis.

Œf =X²+bX +x mitb,c ∈C.

Wegenf = (X+ ^b₂)²+ (c− ^b₄²) reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sindr ∈R≥0 undϕ∈R, so (√

r e

◦ı^ϕ₂)² =re

◦ıϕ. Alternativ: Sinda,b ∈Rund r :=√

a²+b², so

rr+a 2 ±^◦ı

rr−a 2

!2

= r+a 2 ±2^◦ı

rr²−a²

4 −r−a

2 =a±2^◦ı b 2 .

Lemma. Jedes Polynomf ∈C[X]vom Grad 2 hat eine Nullstelle inC. Beweis.

Œf =X²+bX +x mitb,c ∈C. Wegenf = (X+^b₂)²+ (c−^b₄²) reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt.

Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sindr ∈R≥0 undϕ∈R, so (√

r e

◦ı^ϕ₂)² =re

◦ıϕ. Alternativ: Sinda,b ∈Rund r :=√

a²+b², so

rr+a 2 ±^◦ı

rr−a 2

!2

= r+a 2 ±2^◦ı

rr²−a²

4 −r−a

2 =a±2^◦ı b 2 .

Lemma. Jedes Polynomf ∈C[X]vom Grad 2 hat eine Nullstelle inC. Beweis.

Œf =X²+bX +x mitb,c ∈C. Wegenf = (X+^b₂)²+ (c−^b₄²) reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sindr ∈R≥0 undϕ∈R, so (√

r e

◦ı^ϕ₂)² =re

◦ıϕ.

Alternativ: Sinda,b ∈Rund r :=√

a²+b², so

rr+a 2 ±^◦ı

rr−a 2

!2

= r+a 2 ±2^◦ı

rr²−a²

4 −r−a

2 =a±2^◦ı b 2 .

Lemma. Jedes Polynomf ∈C[X]vom Grad 2 hat eine Nullstelle inC. Beweis.

Œf =X²+bX +x mitb,c ∈C. Wegenf = (X+^b₂)²+ (c−^b₄²) reicht es zu zeigen, dass jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Dies folgt zum Beispiel mit der Polarzerlegung einer komplexen Zahl aus der Analysis: Sindr ∈R≥0 undϕ∈R, so (√

r e

◦ı^ϕ₂)² =re

◦ıϕ. Alternativ: Sinda,b ∈Rund r :=√

a²+b², so

rr+a 2 ±^◦ı

rr−a 2

!2

= r+a 2 ±2^◦ı

rr²−a²

4 −r−a

2 =a±2^◦ı b 2 .

Lemma. Jedes Polynomf ∈R[X]von ungeradem Gradhat eine Nullstelle in R.

Beweis.

Sei f ∈R[X]von ungeradem Grad und Œ normiert. Dann

limx→∞f(x) =∞ und limx→−∞f(x) =−∞, insbesondere nimmt die stetige Funktion R→R, x 7→f(x) positive und negative Werte an. Benutze nun den Zwischenwertsatz aus der Analysis.

Lemma. Jedes Polynomf ∈R[X]von ungeradem Gradhat eine Nullstelle in R.

Beweis.

Sei f ∈R[X]von ungeradem Grad und Œ normiert. Dann

limx→∞f(x) =∞ und limx→−∞f(x) =−∞, insbesondere nimmt die stetige Funktion R→R, x7→f(x) positive und negative Werte an.

Benutze nun den Zwischenwertsatz aus der Analysis.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterung ist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR). Wir zeigen L=C.Wähle eine2-Sylowgruppe P der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.

Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterung ist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR). Wir zeigen L=C.Wähle eine2-Sylowgruppe P der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist

(zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR). Wir zeigen L=C.Wähle eine2-Sylowgruppe P der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-Sylowgruppe P der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.

Wähle eine2-Sylowgruppe P der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-SylowgruppeP der Galoisgruppe G :=Aut(L|R).

Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-SylowgruppeP der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.

Dann istG =P eine 2-Gruppe. Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-SylowgruppeP der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe.

Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daher auch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-SylowgruppeP der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe.

Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daherauch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.

Wäre H 6={1}, so gäbe es einI CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-SylowgruppeP der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe.

Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daherauch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es ein I CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma.

Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.

Fundamentalsatz der Algebra[Jean-Robert Argand *1768†1822].

Cist algebraisch abgeschlossen.

Beweis.

Sei z ∈C.Zu zeigen: z ∈C.Wähle einenZwischenkörper Lvon C|C mitz ∈Lderart, dass L|R eineendliche Galoiserweiterungist (zum Beispiel den Zerfällungskörper von (X²+1)irr_R(z) überR).

Wir zeigen L=C.Wähle eine2-SylowgruppeP der Galoisgruppe G :=Aut(L|R). Nach Galois ist [L^P :R] = [G :P]ungerade, woraus mit dem zweiten Lemma folgt L^P =R.Dann istG =P eine 2-Gruppe.

Als Untergruppe von G ist nach Lagrange daherauch die Galoisgruppe H :=Aut(L|C) der GaloiserweiterungL|Ceine 2-Gruppe.Wäre

H 6={1}, so gäbe es ein I CH mit[H :I] =2, woraus

[L^I :C] = [L^I :L^H]^Galois= [H:I] =2 folgte im Widerspruch zum ersten Lemma. Also folgt H={1}und daherL=L^{H Galois}= C.