Vorlesungsskript zu Analysis von Prof. Dr. Bernd Carl ∗

Vorlesungsskript zu Analysis von Prof. Dr. Bernd Carl ^∗

Jens Kubieziel Wintersemester 2003/04

∗LastChangedRevision : 7 vom LastChangedDate : 2005 − 08 − 2722 : 39 : 21 + 0200(Sa,27Aug2005)

Inhaltsverzeichnis

1 Elemente der Logik und Mengenlehre 5

1.1 Aussagen . . . 5

1.2 Grundbegrie der Prädikatenlogik (Quantorenlogik) . . . 5

1.3 Elemente der Mengenlehre . . . 6

1.4 Abbildungen (Funktionen) . . . 6

2 Zahlen 7 2.1 Reelle Zahlen . . . 7

2.1.1 Körperaxiome . . . 7

2.1.2 Anordnungsaxiome . . . 7

2.1.3 Vollständigkeitsaxiom . . . 9

2.2 Teilmengen von reellen Zahlen . . . 10

2.2.1 Natürliche Zahlen und Prinzip der vollständigen Induktion . . . 10

2.2.2 Endliche und unendliche Teilmengen vonR . . . 13

3 Konvergenz 14 3.1 Metrische Räume . . . 14

3.2 Folgen . . . 17

3.2.1 Konvergente Folgen . . . 17

3.2.2 Sätze über reelle Zahlenfolgen . . . 19

3.2.3 Häufungspunkte von Folgen in metrischen Räumen . . . 23

3.2.4 Häufungspunkte von reellen Zahlenfolgen und der Satz von Bolzano/Weierstrass . . . 24

3.2.5 Cauchyfolgen . . . 26

3.2.6 Vollständigkeit und kompakte metrische Räume . . . 27

3.3 Reihen . . . 28

3.3.1 Rechenregeln für konvergente Reihen . . . 28

3.3.2 Einige Konvergenzkriterien für Reihen . . . 29

4 Funktionen und Stetigkeit 37 4.1 Grenzwerte und Stetigkeit . . . 37

4.2 ε-δ-Stetigkeit . . . 38

4.3 Grenzwerte und Häufungspunkte von Mengen . . . 39

4.4 Stetigkeit, oene und abgeschlossene Mengen . . . 40

4.5 Stetigkeit und kompakte Mengen . . . 42

4.6 Zwischenwert- und Fixpunktsatz . . . 45

4.6.1 Ein Satz über reelle inverse Funktionen . . . 46

4.6.2 Der Banachsche Fixpunktsatz in vollständigen metrischen Räumen 47 4.7 Elementare Funktionen . . . 48

4.7.1 Polynome und rationale Funktionen . . . 49

4.7.2 Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen . . . 49

4.7.3 Exponentialfunktion zur Basis a . . . 51

4.7.4 Die Potenzfunktion . . . 52

4.8 Konvergenz inC . . . 52

4.8.1 Der vollständige metrische Raum der komplexen Zahlen . . . 52

4.8.2 Trigonometrische Funktionen . . . 54

5 Dierentiation reeller Funktionen 56 5.1 Denition, Rechenregeln und Beispiele . . . 56

5.2 Ableitung höherer Ordnung . . . 58

5.3 Lokale Extrema, Mittelwertsatz, Konvexität . . . 59

5.3.1 Satz von Rolle und Mittelwertsatz . . . 59

5.3.2 Berechnung von Grenzwert, Regel von L'Hospital . . . 60

5.3.3 Monotonie dierenzierbarer Funktionen . . . 61

5.3.4 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema . . . 61

5.3.5 Konvexität . . . 61

5.3.6 Wendepunkt . . . 62

5.3.7 Hinreichende Bedingungen für (isolierte) Wendepunkte . . . 63

5.3.8 Kurvendiskussionen von reellen Funktionen . . . 64

5.4 Taylorreihen und Satz von Taylor . . . 64

6 Integration 71 6.1 Das Riemannsche Integral . . . 71

6.1.1 Denition des Riemannsches Integrals über ZWS . . . 73

6.1.2 Beispiele von R-integrierbaren Funktionen . . . 74

6.1.3 Eigenschaften des R-Integrals . . . 75

6.2 Integration und Dierentiation . . . 75

1 Elemente der Logik und Mengenlehre

Details hierzu sind in den Vorlesungsunterlagen für Lineare Algebra und analytische Geometrie zu nden.

1.1 Aussagen

Unter einer AussageP versteht man einen Satz, der die Eigenschaft hat, wahr oder falsch zu sein.

Aussageverbindungen Sind p und q Aussagen, so lassen sich durch folgende Verbin- dungen neue Aussagen gewinnen:

Negation p: nicht p

p≡w:p≡f p=p Konjunktion p∧q: p und q

q∧q :=w p≡w undq ≡w Disjunktion p∨q: p oder q

p∨q≡w:=p≡f und q≡f

Implikation (p⇒q)≡f :⇔p≡w undq ≡f p⇒q≡p∧q

p⇒q≡p∧q=q∨q

Äquivalenz p⇔q:pgenau dann, wennq

(p⇔q)≡:⇔p undq haben den gleichen Wahrheitswert

1.2 Grundbegrie der Prädikatenlogik (Quantorenlogik)

Unter einer Aussageform p(x, y, . . .) versteht man einen Satz, in dem eine oder mehrere Variablenx, y, . . .auftreten. Sie besitzt die Eigenschaft, dass man jedes Mal eine Aussage erhält, wenn man für die Variablen Objekte einer festliegenden Gesamtheit einsetzt.

Quantizierung von Aussageformen Durch folgende sprachliche Gebilde wird die Aus- sageform quantiziert:

• ∀x: für alle

• ∃x: es gibt (mind.) ein

Bausteine der Prädikatenlogik (Quantorenlogik)

• ∀x(p(x)⇒q(x)Für jedes x mit der Eigenschaftp(x) folgt die Eigenschaft q(x).

• ∃xp(x)∧q(x) Es gibt einx mit der Eigenschaftp(x) und der Eigenschaftq(x). Negation quantorenlogischer Aussagen

∀x(p(x)⇒q(x))≡ ∃x(p(x)∧q(x))

∃x(p(x)∧q(x))≡ ∀x(p(x)⇒q(x))

1.3 Elemente der Mengenlehre

Details zur Mengenlehre siehe Vorlesungsunterlagen Lineare Algebra ud Analytische Geo- metrie

1.4 Abbildungen (Funktionen)

Denition 1. SeienX, Y zwei nichtleere Mengen. Eine Teilmengef ⊆X×Y :={(x, y) : x∈X∧y∈Y}mit der Eigenschaft

∀x∈X ∀y₁∈Y ∀y₂ ∈Y(((x, y₁)∈f∧(x, y₂)∈f)⇒y₁ =y₂) heiÿt Abbildung (Funktion) vonX inY.

Schreibweise:f :X→Y x7→f(x)

In Worten: Unter einer Abbildung (Funktion) f von X in Y versteht man eine Vor- schrift, die jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y zuordnet und nennen es Bild oder Wert der Abbildungf an der Stellex.

X heiÿt Urbildmenge (Denitionsbereich).

Komposition (Hintereinanderausführung, Verkettung)

Denition 2. Seien X, Y, Z nichtleere Mengen und f :X →Y, g :Y → Z zwei Abbil- dungen. Dann heiÿt die Abbildung g◦f : X → Z, wobei (g◦f)(x) := g(f(x)), x∈ X Komposition (Hintereinanderausführung) der Abbildungf und g.

Inverse Abbildungen (Funktionen)

Denition 3. SeienX, Y zwei nichtleere Mengen und f :X →Y bijketiv. Dann heiÿt f⁻¹ :Y →X, f(x)7→x inverse Abbildung oder Umkehrabbildung.

2 Zahlen

2.1 Reelle Zahlen

N:={1,2,3, . . .} Z:={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .} Q:=

na

b :a, b∈Z, b6= 0o Satz 2.1.1. Es existiert keine rationale Zahl x∈Qmit der Eigenschaft x² = 2.

Lemma 1. Sei m eine natürliche Zahl, so dass m² eine gerade Zahl ist. Dann ist m auch eine gerade Zahl.

∀m∈N(m² gerade⇒m gerade) 2.1.1 Körperaxiome

Kommutativgesetz a·b=b·a Assoziativgesetz (a·b)·c=a·(b·c)

Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elements Es gibt eine von 0 verschiedene Zahl1:∀a∈R:a·1 =a

Eindeutigkeit der Lösbarkeit der Gleichung a·x = 1, a 6= 0,∀a∈ R, a 6= 0,∃¹x ∈ R : a·x= 1, x=a⁻¹

Distributivgesetz a·(b+c) =a·b+a·c 2.1.2 Anordnungsaxiome

In Rgibt es eine Kleinerbeziehung <mit folgenden Eigenschaften:

• Entweder gilta=boder a < b oderb < a.

• Transitivgesetz: a < b∧b < c⇒a < c

• Monotoniegesetz der Addition: a < b⇒a+c < b+c

• Monotoniegesetz der Multiplikation: a < b∧0< c⇒a·c < b·c Gilt 0< a, so heiÿt apositiv. Gilt a <0, so heiÿt anegativ.

Gröÿerbeziehung a > b:⇔b < a

Kleinergleichbeziehung a≤b:⇔a < b∨a=b Gröÿergleichbeziehung a≥b:⇔a > b∨a=b

Intervalle

• [a, b] :={x∈R:a≤x≤b}abgeschlossenes Intervall

• [a, a] :={a}

• [a, b[ :={x∈R:a≤x < b} halboenes Intervall

• ]a, b] :={x∈R:a < x≤b}

• ]a, b[ :={x∈R:a < x < b} oenes Intervall

• b−aLänge des Intervalls

• [a,∞[ :={x∈R:x≥a}

• ]∞, a] :={x∈R:x≤a}

Absoluter Betrag

a∈R |a|:=

(a fallsa≥0

−a fallsa <0

|a|heiÿt absoluter Betrag (Betrag) von aund es gilt:|a| ≥0,|a|= max{a,−a}

Eigenschaften von | · |: 1. |a| ≥0,|a|= 0⇔a= 0 2. Homogenität:|ab|=|a||b|

3. Dreiecksungleichung:|a+b| ≤ |a|+|b|

3⁰ ||a| − |b|| ≤ |a−b|,||a| − |b|| ≤ |a+b|

Beweis:

1. klar

2. |ab|=|a||b|

In einem Zwischenschritt machen wir uns klar, dass

|a|=| −a|

gilt. Denn |a|= max{a,−a}= max{−a,−(−a)}=| −a|. 1. Fall a∈R, b≥0

1.1 Fall a≥0, b≥0

|ab|=ab=|a||b|

1.2 Fall a <0, b≥0

|ab|=−(ab) = (−a)b=|a||b|

2. Fall a∈R, b <0

|ab|=| −(ab)|=|a(−b)|Aus dem 1. Fall folgt nunmehr|a|| −b|=|a||b|

3. a≤max{a,−a} ≤ |a|

b≤max{b,−b} ≤ |b|

⇒a+b≤ |a|+|b|

−a≤max{a,−a} ≤ |a|

−b≤max{b,−b} ≤ |b|

⇒ −(a+b)≤ |a|+|b|

⇒ |a+b|= max{a+b,−(a+b)} ≤max{|a|+|b|,|a|+|b|}=|a|+|b|

3⁰ |a|=|a+b−b|=|a+b+ (−b)| ≤ |a+b|+| −b|=|a−b|+|b|

⇒ |a| − |b| ≤ |a+b|

|b| − |a| ≤ |b+a|=|a+b|

||a| − |b||= max{|a| − |b|,−(|a| − |b|)} ≤max{|a|+|b|,|a|+|b|}=|a+b|

2.1.3 Vollständigkeitsaxiom

Denition 4. M ⊂Rheiÿt genau dann nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl S ∈R derart gibt, dassx≤S für alle x∈M gilt.

M ⊂R:⇔ ∃S∈R∀x∈M :x≤S

Denition 5. S heiÿt eine obere Schranke vonM:∃S∈R∀x∈M :x≤S

Denition 6. S ∈R heiÿt genau dann Supremum¹ (oder kleinste obere Schranke) von M, wenn gilt:

1. S ist eine obere Schranke vonM.

2. Für jede obere Schranke S⁰ von M:S ≤S⁰

Es existiert genau eine obere Schranke fürM. Denn sind S1, S2 kleinste obere Schran- ken vonM, dann gilt sowohlS₁ ≤S₂ wie auchS₂≤S₁. Daraus folgt nun aberS₁=S₂. Vollständigkeitsaxiom Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen be-

sitzt ein Supremum. ∀M(M ⊂Rn.o.b.M 6=∅ ⇒supM ∈R)

Bemerkung. Über die Zugehörigkeit vonS= supM zur MengeM wird nichts ausgesagt.

GiltS ∈M, so schreibt man auchmaxM undS heiÿt Maximum vonM.S= maxM ⇔ S ∈M ∧ ∀x∈M :x≤S

Beispiel.

M :={x∈R:x <1} supM = 1 M :={x∈R:x≤1} supM = 1 maxM = 1

1Bezeichnung:S= supM

Bemerkung. S ist Supremum vonM ⊂R kann auch wie folgt charakterisiert werden:

1. ∀x∈M :x≤S

2. ∀ε >0 ∃x∈M :S−ε < x Beweis:

⇒ SeiS= supM ⇒ ∀x∈M :x≤S

Wegen S−ε < S (S ist kleinste obere Schranke)∃x∈M :S−ε < x ⇐ SeiS⁰ obere Schranke von M. Zu zeigen: S≤S⁰

Annahme: S⁰< S ⇒ ∃ε >0 :S⁰+ε < S

(2.)⇒ ∃x∈M :S⁰< S < ε < x⇒ x ist echt gröÿer alsS⁰.

⇒S⁰ ist keine obere Schranke von M.

Untere Schranke und Inmum

M ⊂Rheiÿt nach unten beschränkt:⇔ ∃s∈R∀x∈M :x≥S s∈Rheiÿt Inmum²:⇔

1. s ist untere Schranke 2. s ist gröÿte untere Schranke

Satz 2.1.2. Jede nichtleere nach unten beschränkte Menge besitzt ein Inmum.

2.2 Teilmengen von reellen Zahlen

2.2.1 Natürliche Zahlen und Prinzip der vollständigen Induktion Denition 7. I ⊆Rheiÿt induktiv:⇔

1. 1∈I

2. ∀x(x∈I ⇒x+ 1∈I)

Beispiel. J :={I :I ⊂R I ist induktiv}entspricht der Menge aller induktiven Mengen ausR.

Denition 8.

N:=\

J := \

I∈J

I ={x∈R:∀I ∈J x∈J} Satz 2.2.1. N ist die kleinste induktive Teilmenge vonR.

Proof. WennA∈J :T

I∈JI ⊂A, genügt es zu zeigen, dassNinduktiv ist.

2Schreibweise:s= infM

1. ∀I ∈J : 1∈I ⇒1∈N=T

I∈JI 2.

x∈N= \

I∈J

⇒ ∀I ∈J :x∈I ^Iinduktiv=⇒ x+ 1∈I

⇒I ∈J :x+ 1∈I ⇒x+ 1∈N= \

I∈J

I

Denition 9. Die zu Ngehörenden Elemente heiÿen natürliche Zahlen.

Satz 2.2.2. 1. ∀n∈N:n≥1

2. ∀n, m∈N:n+m∈N n·m∈N 3. ∀n >1⇒n−1∈N

4. ∀n∈N ∀x∈R:n < x < n+ 1⇒x∈N

5. Jede nichtleere TeilmengeA⊂N enthält eine kleinste natürliche Zahl.

Proof. Die Beweise dazu nden sich in dem Buch Analysis I von Barner/Flohr.

Satz 2.2.3 (Satz von Archimedes). Nist nicht beschränkt.

Proof. Da wir wissen, dass Rnicht beschränkt ist, genügt es zu zeigen, dass es für jedes a≥0ausR einnausNmit der Eigenschaftn≥agibt:

∀a∈Ra≥0∃n∈N:n≥a

Zum Beweis nehmen wir das Gegenteil an und müssen nach den Gesetzen der Logik auf einen Widerspruch stossen:

∃a∈Ra≥0∀n∈N:n < a

Damit folgt, dass N beschränkt und nach dem Vollständigkeitsaxiom muss es ein b = supN∈Rgeben. Sei nunε=¹/2. Dann existiert einn₀ ∈Nmit b−¹₂ < n₀. Damit folgt nun, b <(b−¹₂) + 1< n0+ 1. Natürlich muss n0+ 1in den natürlichen Zahlen liegen, da diese ja induktiv sind.

Das Prinzip der vollständigen Induktion

Satz 2.2.4. Sei A⊆N mit folgenden Eigenschaften:

1. 1∈A

2. Für alle n∈Nliegt n+ 1 wieder inA. Dann gilt A=N.

Proof. A⊆N ist induktiv. DaNdie kleinste induktive Menge ist, gilt A=N.

Bemerkung. Das Prinzip der vollständigen Induktion kann o.B.d.A für Mengen der Form {n∈Z:n≥m} mit dem Induktionsanfangm∈Zformuliert werden.

Denition 10. SeiA eine Menge. Eine Abbildunga:N→A heiÿt Folge³. Sei(an) :N→R(reelle Zahlenfolge)

n

X

k=m

ak:=am+am+1+· · ·+an

n

Y

k=m

ak :=am·am+1·. . .·an

Ganzzahlige Potenzen

a∈R n∈N a¹ :=a aⁿ⁺¹ :=aⁿa Erweiterung:

a∈R n∈N a⁰ = 1 a6= 0 a⁻¹ = (a⁻¹)ⁿ a6= 0 Für die Potenzen gelten folgende Rechenregeln:

aⁿa^m =a^n+m (aⁿ)^m=a^nm aⁿbⁿ= (ab)ⁿ Allgemeines Distributivgesetz

m

X

k=1

ak

! _n X

l=1

bl

!

=

n

X

k=1 n

X

l=1

akbl

Beispiel. Summenformel für die geometrische Reihe 16=q ∈R n∈N:

n

X

k=0

q^k= 1−qⁿ⁺¹ 1−q Bernoullische Ungleichung:

∀x≥ −1 ∀n∈N: (1 +x)ⁿ≥1 +n+x Binomische Formel:

∀a, b∈R ∀n∈N: (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k

3Schreibweise:(ak)k∈N,(ak),(a1, a2, a3, . . .)

2.2.2 Endliche und unendliche Teilmengen von R Denition 11. Eine Teilmenge vonR(∅ 6=A⊂R) heiÿt:

1. endlich :⇔ ∃n∈N ∃ϕ:{1, . . . , n} → A bijektiv 2. unendlich :⇔ A ist nicht endlich

Denition 12. 1. Eine Teilmenge ∅ 6= A ⊂ R heiÿt abzählbar :⇔ ∃ϕ : N → A surjektiv (ϕ(N) =A)

2. ∅ 6=A⊂R heiÿt überabzählbar :⇔ A ist nicht abzählbar Beispiel.

A={1, . . . , a_n} ϕ:N→A ϕ(k) =

(a_k 1≤k≤n a_n k=n+ 1, . . .

Satz 2.2.5. Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen A_n, n ∈N ist wieder abzählbar, d.h.

[

n∈N

A_n:={x:∃n∈N:x∈A}

Proof.

An:={a_nm:m∈N} ϕn(m) :=anm ϕn:N→An

Satz 2.2.6. Rist überabzählbar.

Proof. Seif :N→R f(n) =b_n, a_n1a_n2a_n3. . . b_n∈Z a_nk ∈ {0, . . . ,9}

f(1) = b₁, a₁₁a₁₂a₁₃. . . f(2) = b2, a21a22a23. . . f(3) = b₃, a₃₁a₃₂a₃₃. . .

... = ...

f(n) = b_n, a_n1a_n2a_n3. . . cn=

(1 fallsa_nn6= 1 2 fallsann= 1 Dann ist c= 0, c₁c₂c₃. . .∈Rmit ∀n∈N:f(n)6=c.

c und f(n) unterscheiden sich mindestens in der n-ten Stelle nach dem Komma. Also gilt:

∀f :N→R:f(N)⊂R

3 Konvergenz

3.1 Metrische Räume

Denition 13. ∅ 6= X Menge. Eine Abbildung d : X ×X → [0,∞[ heiÿt Metrik (Abstand) aufX :⇔

(M1) d(x, y) = 0⇔x=y (Denitheit)

(M2) ∀x, y∈X:d(x, y) =d(y, x)(Symmetrie)

(M3) ∀x, y, z∈X :d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) (Dreiecksungleichung) Das Paar(X, d) heiÿt metrischer Raum.

Beispiel. 1. (R, d) d(x, y) :=|x−y|

Nachweis der Eigenschaften:

(M1) d(x, y) =|x−y|= 0⇔x=y

(M2) d(x, y) =|x−y|=| −(x−y)|=|y−x|=d(y, x)

(M3) d(x, y) =|x−y|=|(x−z) + (z−y)| ≤ |x−z|+|z−y|=d(x, z) +d(z, y) 2. (Rⁿ, d) Rⁿ=R× · · · ×R:={x= (ξ₁, . . . , ξ_n) :ξ_i ∈R}

x= (ξ1, ξ2, . . . , ξn) y = (η1, η2, . . . , ηn)∈Rⁿ euklidischer Abstand:

d(x, y) = v u u t

n

X

i=1

|ξ_i−ηi|²

!

Nachweis der Eigenschaften:

(M1) d(x, y) = 0⇔ξ₁=η₁, ξ₂ =η₂, . . . , ξ_n=η_n⇔x=y (M2) d(x, y) =d(y, x) (|ξ_i−η_i|=|η_i−ξ_i|)

(M3) Verwendung der Ungleichung:

v u u t

n

X

i=1

|a_i+bi|²≤ v u u t

n

X

i=1

|a_i|²+ v u u t

n

X

i=1

|b_i|²

x= (ξ₁, . . . , ξ_n) y= (η₁, . . . , η_n) z= (ζ₁, . . . , ζ_n) a_i=ξ_i−ζ_i b_i =ζ_i−η_i a_i+b₁ =ξ_i−η_i

d(x, y) = v u u t

n

X

i=1

|ξ_i−ηi|²

= v u u t

n

X

i=1

|a_i+b_i|² ≤ v u u t

n

X

i=1

|a_i|²+ v u u t

n

X

i=1

|b_i|²

= v u u t

n

X

i=1

|ξ_i−ζi|²+ v u u t

n

X

i=1

|ζ_i−ηi|²

=d(x, z) +d(y, z) Es gelten folgende Ungleichungen:

Cauchy-Schwartzsche Ungleichung

∀n∈N∀a₁, . . . , a_n∈Rb_n∈R:

n

X

i=1

a_ib_i

≤ v u u t

n

X

i=1

a²_i v u u t

n

X

i=1

a²_i

Beweis: Seixy ≤^x2/2+^y2/2 mit ∀x, y≥0. Dann ist0≤(x−y)² =x²− 2xy+y². O.B.d.A. seienA:=pPn

i=1|a_i|² >0 und B:=pPn

i=1|b_i|² >

0.

Wir setzen xi :=^|ai|/Aund yi := ^|b_B^i|. Dann ist:

1 AB

n

X

i=1

a_ib_i

≤ 1 AB

n

X

i=1

|a_i||b_i|=

n

X

i=1

|a_i| A

|b_i|

B ≤

n

X

i=1

x_iy_i

≤

n

X

i=1

x²_i 2 +y²_i

2

= 1 2

n

X

i=1

x²_i +

n

X

i=1

y²_i

!

= 1 2

n

X

i=1

|a_i|² A² +

n

X

i=1

|b_i|² B²

!

= 1 2

1 A²

n

X

i=1

|a_i|²+ 1 B²

n

X

i=1

|b_i|²

!

= 1 2

A² A² +B²

B²

= 1

Minkowskische Ungleichung

v u u t

n

X

i=1

|a_i+bi|²≤ v u u t

n

X

i=1

|a_i|²+ v u u t

n

X

i=1

|b_i|²

Beweis: O.B.d.A. sei Pn

i=1|a_i+b_i|² >0

n

X

i=1

|a_i+b_i|²=

n

X

i=1

|a_i+b_i||a_i+b_i| ≤

n

X

i=1

(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|

=

n

X

i=1

|a_i||a_i+bi|+

n

X

i=1

|b_i||a_i+bi|

≤ v u u t

n

X

i=1

|a_i|² v u u t

n

X

i=1

|a_i+bi|²+ v u u t

n

X

i=1

|b_i|² v u u t

n

X

i=1

|a_i+bi|²

⇒ v u u t

n

X

i=1

|a_i+b_i|²≤ v u u t

n

X

i=1

|a_i|²+ v u u t

n

X

i=1

|b_i|²

3. Maximummetrik:

d(x, y) := max

1≤i≤n|ξ_i−η_i| 4. Summenmetrik:

d(x, y) :=

n

X

i=1

|ξ_i−η_i|

Geometrische Interpretation von Metrik im (Rⁿ, d)

xr

yr

- 6

x= (ξ1, ξ2) y= (η1, η2)

d(x, y) = v u u t

2

X

i=1

|ξ_i−ηi|² =p

|ξ₁−η1|²+|ξ₂−η2|² Dreiecksungleichung:

Q Q

Q Q

Q Q

Q QQ

x y

z

d(x,y)

d(y,z) d(x,z)

d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y)

Denition 14 (Kugel). Sei (X, d) ein metrischer Raum mit a∈ X und r ≥0. Dann ist

B_r(a) :={x∈X:d(a, x)≤r}

eine abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt aund Radiusr und

o

B_r(a) :={x∈X:d(a, x)< r}

eine oene Kugel mit Mittelpunkt aund Radiusr.

geometrische Interpretation inR²:

(a₁, a₂)∈R² d(a, x) =p

|a₁−x₁|²+|a₂−x₂|² Br(a) ={x∈R²:d(a, x) =p

|a₁−x1|²+|a₂−x2|²≤r}

3.2 Folgen

Denition 15. Sei X eine Menge. Eine Abbildung a:N→X heiÿt Folge¹. Beispiel (reelle Zahlenfolgen).

an=a konstante Zahlenfolge

an=¹/n

an= (−1)ⁿ alternierende Zahlenfolge

a_n=qⁿ q∈R

3.2.1 Konvergente Folgen

Denition 16. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an)⊂X heiÿt genau dann konvergent, wenn es ein a ∈ X derart gibt, dass für alle ε > 0 ein n_ε ∈ N mit der Eigenschaftd(a, a_n)≤ε für allen≥n_ε existiert:

∃a∈X∀ε >0∃n_ε∈N∀n≥n_ε:d(a, a_n)≤ε

Man sagt(an)konvertiere gegena. Das Gegenteil von konvergenten Folgen sind diver- gente Folgen.

Geometrische Interpretation von Konvergenz In jederε-KugelBε(a)liegen unendlich viele Glieder der Folge (a_n) und ausserhalb B_ε(a) liegen höchstens endlich viele Glieder der Folge (a_n).

Satz 3.2.1 (Grenzwert einer Folge). Sei (a_n) ⊂X konvergent gegen a. Dann ist a eindeutig bestimmt und heiÿt Grenzwert² oder Limes von (a_n).

1Schreibweise:(an)n∈N (an) (an)^∞n=1 (a(n))n∈N (a1, a2, . . .) Verallgemeinerung:(an)n≥n₀ n0∈Z

2Schreibweise:lim

n→∞an=a an→a (an)→a

Proof. Es ist zu zeigen: konvergiert(a_n) gegenaund b, so ista=b.

Sei ε > 0. Dann existieren n⁽¹⁾ε , n⁽²⁾ε ∈ N : d(a, an) ≤ ^ε/2 für n ≥ n⁽¹⁾ε und d(b, an) ≤

ε

2 für n≥n⁽²⁾ε . Fürn≥nε := max{n⁽¹⁾_ε , n⁽²⁾ε }:d(a, an)≤ ^ε₂ undd(b, an)≤ ^ε₂ folgt nach der Dreiecksungleichungd(a, b)≤d(a, a_n) +d(a_n, b)≤^ε/2+^ε/2=εfür n≥n_ε. Also gilt:

∀ε >0 :d(a, b)≤ε

| {z }

p

⇒d(a, b) = 0

| {z }

q

⇒a=b

wegen der Beziehungp⇒q≡p∧q gilt:

∀ε >0 :d(a, b)≤ε∧d(a, b)>0 Setzeε:= ¹₂d(a, b)>0. Dann ist

d(a, b)≤ 1

2d(a, b)⇒1≤ 1 2

Teilfolgen

Denition 17. SeiX eine nichtleere Menge,(an)⊂X eine Folge undϕ:N→Nstreng monoton wachsend³. Dann heiÿt die Folge (a_ϕ(k))k∈NTeilfolge⁴ von(an).

Satz 3.2.2. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an) konvergiert genau dann gegen a∈X, wenn jede Teilfolge von (a_n) gegen akonvergiert.

Proof. ⇒ Zu zeigen: a_n→a⇒a_nk →a

Seiε >0. Dann existiertnε∈N:d(a, an)< εfürn≥nε. Wählekε∈N:nkε ≥nε. Für k≥kε⇒n_k≥n_kε ist d(a, an_k)< ε⇒an_k →a

⇐ Zu zeigen:∀(a_nk ⊂(an)) :an_k →a

Insbesondere gilt dies für (a_n) selbst: a_n→a

Denition 18. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Folge (a_n) ⊂X heiÿt genau dann beschränkt, wenn gilt:

∃a∈X∃M ≥0∀n∈R:d(a, a_n)≤M Satz 3.2.3. Jede konvergente Folge in (X, d) ist beschränkt.

Proof. Sei a ∈ X der Grenzwert von (a_n). Für ε = 1 gibt es ein n_ε ∈ N, so dass für alle n≥εgilt: d(an, a)≤1. Für M := max{d(a, a₁), . . . , d(a, anε),1} gilt d(a, an)≤M (∀n∈N).

3∀n∈N:ϕ(n)< ϕ(n+ 1)

4Schreibweise:nk:=ϕ(k) n1< n2< n3 (an_k)⊂(an)

3.2.2 Sätze über reelle Zahlenfolgen

Im folgenden sei X =Rund d(x, y) = |x−y|für x, y ∈R. Aus dem vorigen Abschnitt folgt:

1. a∈Rist Grenzwert von (a_n)⊂R⇔ ∀ε >0∃n_ε∈N∀n≥n_ε:|a_n−a| ≤ε

2. Eine konvergente Folge (an)⊂Rist beschränkt, d.h. ∃M ≥0 ∀n∈N:|a_n| ≤M. Denn sei a= liman. Dann existiertM1≥0∀n∈N:|a−an| ≤M1

|a_n|=|(a_n−a) +a| ≤ |a_n−a|+|a| ≤M₁+|a|

Für M :=M1+|a|gilt|a_n| ≤M (∀n).

Geometrische Interpretation von Grenzwert

|a−an| ≤ε ∀n≤nε

Bemerkung. 1. Eine Folge (an)⊂Rheiÿt Nullfolge⇔liman= 0 (⇔lim|a_n|= 0) 2. liman=a⇔lim(an−a) = 0, d.h.an−a ist Nullfolge.

Beispiel. Die Folge an=¹/nist eine Nullfolge. Denn sei ε >0und wähle nε∈R, so dass

1/nε≤ε. Dannn≥n_ε⇒ |¹/n−0|=¹/n≤¹/nε ≤ε Rechenregeln für konvergente Folgen

Satz 3.2.4. Seien (a_n),(b_n)⊂Rkonvergent, a:= lima_n und b:= limb_n. Dann:

1. lim(an+bn) = liman+ limbn=a+b 2. lim(anbn) = limanlimbn=ab

3. lim an

bn

= ^lim_lim^a_bⁿ

n = ^a_b falls b6= 0 bn6= 0 4. lim|a_n|=|lima_n|=|a|

5. Vergleichssatz

∃m∈N∀n≥m an≤bn⇒liman≤limbn⇒a≤b

6. ∃m ∈N∀n ≥ m an ≤cn ≤ bn∧liman = limbn ⇒ (cn) konvergent und limcn = lima_n

7. lim^a1+···+a_n ⁿ = lima_n 8. a_n>0⇒lim√ⁿ

a₁. . . a_n= lima_n 9. a_n>0 lim^an+1_a

n existiert ⇒ √ⁿ

a_n= ^lim_lim^an+1_a

n

Proof. 1. Übung

2. zu zeigen: ∀ε >0 ∃n_ε∈N∀n≥n_ε:a_nb_n−ab=a_n(b_n−b) + (a_n−a)b

Nach Satz 3.2.3 folgt, dass (an) beschränkt ist, d.h. ∃M ≥ 0∀n ∈ N: |a_n| ≤ M. Sei ε > 0. Dann existiert n₀, n₁ ∈ N, so dass |a−a_n| ≤ _2(|b|+1)^ε für n ≥ n₁ und

|b−bn| ≤ _2M^ε für n≥n0. Fürn≥nε= max{n₀, n1} gilt

|a_n−a| ≤ _2(|b|+1)^ε

|b_n−b| ≤ _2M^ε

∀n≥nε

|a_nb_n−ab| ≤ |a_n||b_n−b|+|a_n−a||b| ≤M ε

2M + ε

2(|b|+ 1)|b|

≤ ε 2+ ε

2 =ε

3. Seienb und bn 6= 0. Man zeigt zunächst:lim¹/bn =¹/limb =¹/b. Aus der Tatsache, dass ∃n₀∀n ≥ n0 : |b_n−b| ≤ ^|b|/2 für b 6= 0 folgt nach der Dreiecksungleichung, dass |b| − |b_n| ≤ |b_n−b| ≤^|b|/2 für n≥n₀. Daraus kann man nun für alle n≥n₀ schlieÿen, dass ^|b|/2≤ |b_n|

Sei ε >0. Dann∃n₁ ∈N:|b_n−b| ≤ ^ε|b|₂² und fürn≥max{n₀, n₁}gilt:

1 bn

−1 b

= |b_n−b|

|b_n||b| ≤ ε^|b|2/2

|b|/2|b| =ε Damit ist nach Regel 2 lim^a_bⁿ

n = ^lim_lim^a_bⁿ

n.

4. Sei ε > 0. Dann ∃n_ε ∈ N :|a_n−a| < ε ∀n ≥ n_ε. Nach der Dreiecksungleichung folgt für alle n≥nε:||a_n| − |a|| ≤ |a_n−a|< ε⇒lim|a_n|=|a|.

5. Annahme: lima_n > limb_n. Dann ist ε = ^a−b/2 und es existieren n₀, n₁ ∈ N, so dass |a_n−a| < ε für n ≥ n₀ und |b_n−b| < ε für n ≥ n₁. Wir denieren n_ε :=

max{n₀, n1}:|a_n−a|< ε,|b_n−b|< ε. Insbesondere daε=^a−b/2ist, folgt für alle n≥n₀ :a−ε=b+^a−b/2=^a+b/2< a_nundb_n< b+ε=^a+b/2⇒b_n< a_n ∀n≥n_ε 6. Seiε >0. Dann ∃n₀, n₁ ∈N,|a_n−a|< εund|b_n−a|< ε. Sein_ε:= max{n₀, n₁}.

a−ε≤an≤cn≤bn≤a+ε

⇒ |c_n−a| ≤ε ∀n≥n_ε

⇒limc_n=a

Beispiel. Seiq∈Runda_n:=qⁿ.

limqⁿ=







0 |q|<1 1 q= 1

divergent |q|>1∨q=−1

Proof. 1. Fall q = 0⇒qⁿ= 0⇒limqⁿ= 0 2. Fall 0<|q|<1

Man setzt:

h:=¹/^|q|−1>0⇒ |q|= 1 1 +h 0<|q|ⁿ= 1

(1 +h)ⁿ ≤ 1

1 +nh ≤ 1 nh Nach Satz 3.2.4 Punkt 6 folgt damit, lim|q|ⁿ= 0⇒limqⁿ= 0. 3. Fall q = 1⇒qⁿ= 1⇒limqⁿ= 1

4. Fall q =−1

a_n = qⁿ = (−1)ⁿ ist divergent. Angenommen, es existiert ein a ∈ R :a_n → a. Für ε=¹/2⇒ ∃n₀∈N∀n≥n0 :|a_n−a|<¹/2. Somit gilt:

an+1−an= (−1)ⁿ⁺¹−(−1)ⁿ= (−1)ⁿ(−1)−(−1)ⁿ= (−1)ⁿ(−2)

| −2|= 2 =|a_n+1−a_n| ≤ |a_n+1−a|+|a−a_n| ≤¹/2+¹/2= 1 für n≥n0

5. Fall |q|>1

Annahme:qⁿ ist konvergent. Dann ist nach Satz 3.2.3qⁿbeschränkt, d.h.∃M >

0∀n ∈ N : |qⁿ| ≤ M ⇒ M ≥ |qⁿ| = |q|ⁿ = (1 +|q| −1)ⁿ

| {z }

>0

≥ 1 +n(|q| −1) ≥ n(|q| −1)

⇒n≤ _|q|−1^M ⇒N ist beschränkt

Bemerkung. Bestimmte Divergenz⁵ (=uneigentliche Konvergenz) gegen +∞ bzw. −∞: Eine Folge (an) ⊂ R heiÿt bestimmt divergent gegen +∞ (−∞) :⇔ ∀M ∈ R∃n_M ∈ N∀n≥n_M :a_n≥M(a_n≤M)

Beispiel.

a_n=n lima_n=∞

a_n=−n lima_n=−∞

a_n= (−1)ⁿ nicht bestimmt divergent

∞ ist keine relle Zahl. Denn wäre∞ eine reelle Zahl, so würde für die Folgen a_n=a undbn= 1gelten, dasslim(an+bn) = liman+limbn⇒ ∞= lim(n+1) = limn+lim 1 =

∞+ 1⇒0 = 1 .

5Schreibweise:liman= +∞ an→ ∞

Monotone Folgen

Denition 19 (monotone Folgen). Eine Zahlenfolge(a_n)⊂R heiÿt monoton wach- send (fallend) :⇔ ∀n, m∈N:n < m⇒an≤am(an≥am).

Satz 3.2.5. 1. Für eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge (an)⊂ R gilt: lima_n= sup{a_n}

2. Für eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge(a_n)⊂Rgilt:lima_n= inf{a_n}

Proof. 1. Sei a:= sup{a_n} ∈ R. Dies existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom. Sei ε > 0. Dann existiert ein nε ∈N :a−ε < anε. Für n≥nε :a−ε≤ anε ≤an ≤ a+ε⇒ |a_n−a| ≤εfür n≥n_ε⇒lima_n= sup{a_n}

2. Der Beweis erfolgt analog zum ersten Fall.

Beispiel.

n→∞lim

n

X

k=0

1

k! =e an= 1 + 1 + 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1 n!

n→∞lim

1 +1 n

n

= lim

n→∞

n

X

k=0

1 k!=e

Proof. 1. Zeigenanist beschränkt und monoton wachsend Monotonie: klar,a_n≥a_n+1

Beschränkt: Es gilt, a_n≤3 an= 1 + 1 + 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1 n!

≤1 + 1 + 1

2 2

+ 1

2 2

+· · ·+ 1

2 n−1

= 1 +1− ¹₂n

1−¹₂ ≤1 + 1

1 2

= 3

⇒liman= lim

n→∞

n

X

k=0

1 k!

!

existiert

2.

1 +1

n n

=

n

X

k=0

n k

1 n

k

1^n−k=

n

X

k=0

n k

1 n^k

n k

1

n^k = n(n−1). . .(n−k+ 1)

k!

1 n^k

= n

n n−1

n · · ·n−k+ 1 n

1 k!

=

1−1

n 1− 2 n

· · ·

1−k−1 n

1 k!

⇒lim_n ⁿ_{k 1}

n^k = _k!¹ Ferner: ⁿ_{k 1}

n^k < ⁿ⁺¹_{k 1}

(n+1)^k

Also gilt:

1 + 1

n n

<

1 + 1 n+ 1

n+1

≤

n+1

X

k=0

1 k! ≤3

⇒lim 1 + _n¹n

existiert. Fixierenl < n. Dann gilt:

limn→∞Pl k=0

n k

₁

n^k =Pl

k=0limn→∞ n k

₁

n^k =Pl k=0 1

k!

wegen Pl k=0

n k

₁

n^k ≤Pn k=0

n k

₁

n^k = 1 + _n¹n

≤Pn k=0

1 n→∞ k!

⇒ Pl k=0

1

k! ≤limn 1 +_n¹n

≤limnPn k=0

1 l→∞ k!

⇒ liml→∞Pl k=0 1

k! = limn→∞ 1 +_n¹n

Satz 3.2.6 (Intervallschachtelung). Seien In = [an, bn] mit n ∈ N abgeschlossene Intervalle, so dass I_n+1 ⊂I_n und limn→∞(b_n−a_n) = 0. Dann gilt: Es existiert genau ein Punkt a∈R:

n→∞

\

n=1

I_n={a}

Proof. Für allen, m∈Nmit der Eigenschaft an≤bm istan monoton wachsend undbm

monoton fallend. Dann gilt wegen lim(b_n−a_n) = 0, dass der Limes von a_n kleiner bzw.

gleich als der Limes vonb_m ist. Weiter folgtlimb_n= lim(b_n−a_n+a_n) = lim(b_n−a_n) + liman= liman=:aund

⇒ ∀n∈N:an≤a≤bn⇒a∈\ In

Zu zeigen ist noch, dass aeinziger Punkt inT∞

n=1 ist. Seia, b∈T I_n

⇒a_n≤a, b≤b_n⇒0≤ |a−b| ≤b_n−a_n

| {z }

0

⇒a=b

3.2.3 Häufungspunkte von Folgen in metrischen Räumen

Der Begri Häufungspunkt einer Folge kann als eine Verallgemeinerung des Begris Grenzwert verstanden werden.

Denition 20 (Häufungspunkt einer Folge). Sei (X, d) ein metrischer Raum und (an) ⊂X eine Folge. Ein Punkt a∈ X heiÿt Häufungspunkt von (an) :⇔ ∀ε >0 ∀m ∈ N∃n > m:d(a, a_n)≤ε

geometrische Interpretation In jederε-Kugel B_ε(a)liegen unendlich viele Glieder der Folge(an). Ausserhalb können ebenfalls unendlich viele liegen.

Satz 3.2.7. 1. a∈X ist genau dann Häufungspunkt von (an) ⊂X, wenn eine Teil- folge (a_nk)⊂(a_n) mit der Eigenschaft lima_nk =aexistiert.

2. Jede konvergente Folge besitzt genau einen Häufungspunkt und zwar den Grenzwert.

Beweis:

1. ⇒ ε_k:= ¹_k, k∈N

ε1 = 1 m= 1 ∃n₁>1 :d(a, an1) ≤ 1 ε2 = ¹₂ m=n1 ∃n₂ > n1:d(a, an2) ≤ ¹₂

... ... ... ...

ε_k = ¹_k m=nk−1 ∃n_k> nk−1 :d(a, an−k) ≤ _k¹











⇒

⇒(ank)⊂(an) : limank =a

⇐ Sei ε >0 undk∈N⇒ ∃n_k> k:d(a, an_k)≤ε

2. Seiliman=a⁽¹⁾⇒aist Häufungspunkt von (an)

Eindeutigkeit des Häufungspunktes: Sei bebenfalls Häufungspunkt von (a_n)

(1)⇒ ∃ Teilfolge(a_nk)⊂(a_n) : lim

k→∞a_nk =b

Da jede Teilfolge einer konvergenten Folge den gleichen Grenzwert hat, gilt b = a.

Beispiel X = R d = | · | a_n = (−1)ⁿ besitzt die Häufungspunkte -1 und +1.

Denn a_2n = (−1)²ⁿ = 1 → 1 und a_2n+1 = (−1)²ⁿ⁺¹ = −1 → −1. Aber (a_n) ist nicht konvergent.

3.2.4 Häufungspunkte von reellen Zahlenfolgen und der Satz von Bolzano/Weierstrass

Lemma 2. Jede reelle Zahlenfolge (a_n)⊂R enthält eine monotone Teilfolge.

Proof. Sei(an)⊂R. Setzen M :={k∈N:∀n∈N:ak+n≤ak} 1. Fall M ist unendlich. M ={n_k:n1 < n2 < n3< . . .}

n1 ∈M ⇒ ∀n∈M :an1 ≥an1+n ⇒an1 ≥an2

n2 ∈M ⇒ ∀n∈M :an2 ≥an2+n ⇒an2 ≥an3

... ... ⇒...

a_n1 ≥a_n2 ≥a_n3 ≥. . .

2. Fall M ist endlich und M 6=∅. Dann supM = maxM. Für n₁ > k⇒ n₁ ∈/ M, d.h.

∃m₁∈N:an1+m1 > an1. Setzen n2 :=n1+m1. Dannn2 > n1∧an2 > an1

n₂ > n₁ > k ⇒ n₂ ∈/ M, d.h. ∃m₂ ∈N:a_n2+m2. Setzen n₃ :=n₂+m₂ ⇒ n₃ >

n₂∧a_n3 > a_n2

an1 < an2 < an3 < . . .

3. Fall M =∅, d.h. ∀k∈N∃n∈N:a_k+n> a_k siehe 2. Fall

Satz 3.2.8 (Satz von Bolzano/Weierstrass). Jede beschränkte Folge(an)⊂Rbesitzt einen Häufungspunkt.

Proof. Aus dem Lemma 2 folgt: Es existiert eine Teilfolge(an_k)⊂(an).(an_k)ist monoton und beschränkt. Daraus folgt nach Satz 3.2.5: lima_nk = a∈R und Satz 3.2.7 legt den Schluss nahe, dass aHäufungspunkt ist.

Folgerung Eine Zahlenfolge inR ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und höchstens einen Häufungspunkt besitzt.

Limes superior und Limes inferior

Denition 21. Sei(a_n)⊂R. Dann heiÿt limn→∞supa_n:= lim(sup{a_k :k≥n})Limes superior undlim infan:= lim(inf{a_k:k≥n}) Limes inferior.

Schreibweise:lim = lim sup lim = lim inf

Beispiel:an= (−1)ⁿ sup{(−1)^k:k≥n}= 1⇒lim sup(−1)ⁿ= 1 inf{(−1)^k:k≥n} ⇒lim inf(−1)ⁿ=−1

Bemerkung. Die Folge bn := sup{a_k : k ≥n} ist monoton fallend oder +∞. Die Folge c_n := inf{a_k : k ≥ n} ist monoton wachsend oder −∞. Daher existieren lim supa_n = limb_nundlim infa_n= limc_nimmer eigentlich oder uneigentlich, d.h. es giltlim supa_n∈ R oderlim supan= +∞/− ∞undlim infan∈Roder lim infan= +∞/− ∞.

Satz 3.2.9. Sei (an)⊂R beschränkt. Dann ist lim an grösster Häufungspunkt von (an) und lim a_n kleinster Häufungspunkt von (a_n).

Beweis Nach dem Satz 3.2.8 (Satz von Bolzano/Weierstrass) besitzt(an) einen Häu- fungspunkt.

inf{a_n} ≤liman≤sup{a_n} 1. Schritt Zu zeigen: a= lima_n ist Häufungspunkt von (a_n)

Setzenbn:= sup{a_k:k≥n}ist monoton fallend und nach unten beschränkt.

Daraus folgt nach Satz 3.2.5:a= limb_n= inf{b_n}= lima_n

Fürk∈N ∃m_k∈N:a≤b_mk < a+¹_k ⇒ ∃n_k≥m_k:b_mk −¹_k < a_nk ≤b_mk

⇒a−_k¹ ≤bmk−_k¹ < ank < a+_k¹

⇒a−_k¹ < a_nk < a+¹_k

⇒limk→∞a_nk =a^Satz3.2.7=⇒ aist Häufungspunkt von (a_n)

2. Schritt aist grösster Häufungspunkt von(a_n). Seia⁰Häufungspunkt von(a_n)^Satz3.2.7=⇒

∃Teilfolge(a_nk) : lima_nk =a⁰

bnk = sup{a_l:l≥nk} ≥ank ⇒a= limbnk ≥limank =a⁰

3.2.5 Cauchyfolgen

Denition 22. Sei(X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge(a_n)⊂Xheiÿt Cauchyfolge :⇔

∀ε >0 ∃n_ε∈N∀n, m≥nε:d(an, am)≤ε

Satz 3.2.10. Sei (X, d) ein metrischer Raum und (a_n) ⊂ X eine konvergente Folge.

Dann ist(an) eine Cauchyfolge.

Beweis Sei a= lima_n und ε >0. Dann existiert n_ε ∈ N ∀n≥n_ε :d(a, a_n) ≤ ^ε₂ . Für n, m≥n_ε:d(a_n, a_m)≤d(a_n, a) +d(a, a_m) = ^ε₂+ ^ε₂ =ε⇒a_n ist eine Cauchyfolge.

Bemerkung. In einem beliebigen metrischen Raum ist nicht jede Cauchyfolge konvergent.

Beispiel:(Q,| · |)ist ein metrischer Raum. a_n+1 = ¹₂(a_n+_a²

n) a₀ := 1 (an)⊂Q,liman=√

2∈/Q

Satz 3.2.11 (Cauchysches Konvergenzkriterium in R). Eine Folge (a_n) ⊂ R ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Beweis

⇒ siehe Satz 3.2.10

⇐ Sei(an)⊂R eine Cauchyfolge.(an) ist beschränkt fürε= 1

∃n₁ ∈N∀n, m > n₁: |a_n−a_m| ≤ε= 1

⇒ |a_n|=|a_n−a_m+a_m| ≤ |a_n−a_m|+|a_m| ≤1 +|a_m| für n, m≥n₁ Für M = max{|a₁|,|a₂|, . . . ,|a_m|,1 + |a_m|} gilt |a_n| ≤ M∀n ∈ N. Nach dem Satz von Bolzano/Weierstrass (Satz 3.2.8) gilt: ∃ Teilfolge (a_nk) ⊂ (a_n) : a_nk ist konvergent mit a:= limk→∞a_nk.

Sei ε >0. Dann existiertkε, nε∈N:|a_nk −a| ≤ ^ε₂ für k≥kε

|a_n−a_m| ≤ ^ε₂ für n, m≥n_ε. Wählen_k0 ≥ {maxn_kε, n_ε}. Dann gilt für n≥n_k0 :

|a_n−a|=|a_n−a_nk

0 +a_nk

0 −a| ≤ |a_n−a_nk

0|+|a_nk

0 −a| ≤ ₂^ε+^ε₂ =ε⇒(a_n)ist konvergent.

Bemerkung. Um die Konvergenz einer Folge in R nachzuweisen, genügt es, zu zeigen, dass die Folge Cauchyfolge ist. Dabei braucht man den Grenzwert nicht zu kennen.

3.2.6 Vollständigkeit und kompakte metrische Räume Satz 3.2.12. In R sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.

(2) Satz über monotone Folgen: Nach Satz 3.2.5 Jede nach oben beschränkte monoton wachsende Folge besitzt einen Grenzwert.

(3) Satz von Bolzano/Weierstrass: Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teil- folge.

(4) Jede Cauchyfolge hat einen Grenzwert.

(5) Intervallschachtelungsprinzip (Satz 3.2.6) Beweis

(1)⇒(2) lim(a_n) = sup{a_n}nach Satz 3.2.5 (2)⇒(3) siehe Beweis zu Satz 3.2.8

(3)⇒(4) siehe Beweis zu Satz 3.2.11

(4)⇒(5) zu zeigen: SeiIn= [an, bn]eine Intervallschachtelung⇒T

In={s}

∀n, m∈Ngilt: (a_n) monoton fallend (bn) monoton wachsend

⇒bn−an→0 n≥m=|a_n−am|=an−am ≤bm−am

Seiε >0. Dann∃m_ε∈Nm≥mε:bm−am≤ε

⇒ ∀n, m:n≥m≥m_ε ⇒ |a_n−a_m| ≤ε, d.h.(a_n) ist Cauchyfolge.

⇒lima_n=s∈R

Fernerlimbn= lim((bn−an) +an) = lim(bn−an) + liman= 0 +s=s. Ausserdem

∀n∈N:a_n≤s≤b_n⇒s∈T∞ n=1I_n

Eindeutigkeit von swie im Beweis von Satz 3.2.6

(5)⇒(1) zu zeigen: Sei∅ 6=M ⊂Rnach oben beschränkt.⇒supM ⊂R Seib∈R obere Schranke unda∈M

1. Fall aist obere Schranke von M ⇒a= supM

2. Fall aist keine obere Schranke vonM. Wir setzen a₁:=a, b₁ :=bund bilden das Mittel ^a1+b₂ ¹

2.1. Fall ^a1+b₂ ¹ ist obere Schranke von M, so setzen wir a₂ :=a₁, b₂ := ^a1+b₂ ¹ 2.2. Fall ^a1+b₂ ¹ ist keine obere Schranke ⇒ M ∩[^a1+b₂ ¹, b1] 6= ∅ Wählen a2 ∈

M∩[^a1+b₂ ¹, b1] und b2 := b1. In beiden Fällen gilt, dass M ∩[a2, b2]6=∅ und b2 −a2 ≤ b1 − ^a1+b₂ ¹ = ^a1−b₂ ¹. Führen wir diese Prozedur fort, so erhalten wir Intervalle[a_n, b_n]mita_n∈M undb_nobere Schranke vonM.