Universit´e de Rennes 1 Licence de math´ematiques
UFR Math´ematiques Int´egrale de Lebesgue
Ann´ee 2008-2009 et analyse de Fourier
Contrˆ ole court n
o1
vendredi 3 avril de 9h30 `a 10h00 Les documents sont interdits.
Exercice 1 (5 points).R´epondre par vrai ou faux en donnant un court argument (trois lignes grand maximum) ou un contre-exemple (r´eponse non justifi´ee = 0 points).
(a) Si on munitRde la tribu bor´elienne, alors toute fonction m´esurableR→Rest continue.
(b) Sur un singletonX={a}, il y a exactement deux tribus.
(c) Siµest la mesure de d´enombrement (comptage) surN={0,1,2, . . .}, alorsR 1
2ndµ(n) = 2.
(d) La fonction indicatrice1Q est int´egrable au sens de Lebesgue.
(e) La fonction identit´eR→R, x7→x est int´egrable au sens de Lebesgue.
Exercice 2. (6 points)SoitX une tribu surNet µ:X →R+, A7→
(0 siA est fini,
∞ siA est infini.
R´epondre en donnant un court argument (trois lignes grand maximum).
(a) Est-ce queµest une mesure siX ={∅,N}est la tribu grossi`ere ? (b) Est-ce queµest une mesure siX =P(N) est la tribu discr`ete ?
(c) Donner une tribu X qui n’est ni la tribu grossi`ere ni la tribu discr`ete pour laquelle µest une mesure.
(d) Donner une tribu X qui n’est ni la tribu grossi`ere ni la tribu discr`ete pour laquelle µ n’est pas une mesure.
Exercice 3 (9 points) Soitf ∈L2([0,1]).
(a) Utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee pour montrer que la suite de nombres r´eels Z
[0,1n]
f2dλ
!
n≥1
converge vers 0.
(b) En d´eduire que
x→0,x>0lim Z
[0,x]
f2dλ= 0.
(c) Utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz et (b) pour conclure que
x→0,x>0lim R
[0,x]f dλ
√x = 0.
