Universit´e de Rennes 1 Licence de biologie
UFR Math´ematiques Math´ematiques
Ann´ee 2008-2009 pour les biologistes
Contrˆ ole court n
o1
mardi 3 mars de 9h00 `a 10h00
Les documents et les calculatrices sont interdits. Dans chaque exercice un point est r´eserv´e pour la qualit´e de la r´edaction. Composez sur vos propres feuilles blancs. Ne rendez pas les feuilles de brouillon mais seulement les pages num´erot´ees avec les solutions. Mettez sur chaque feuille rendue votre nom.
Exercice 1 (12+1 points). Soit f la fonction d´efinie par f(x) = 3x3
3x2−1. (a) Donner le domaine de d´efinition Dde f.
(b) R´eduire le domaine d’´etude.
(c) Montrer que pour tout x∈D,
f0(x) = 9x2(x2−1) (1−3x2)2 .
(d) ´Etudier les limites def aux bornes de son ensemble de d´efinition.
(e) ´Etudier le sens de variations de f et dresser le tableau de variations de f.
(f) ´Etudier les branches infinies de f en pr´ecisant les directions et droites asymptotiques
´eventuelles.
(g) Donner l’allure de la courbe def dans un rep`ere orthonorm´e.
Exercice 2 (6+1 points).Les atomes d’une substance radioactive se d´ecomposent en ´emet- tant un rayonnement radioactif. On d´esigne par le terme demi-vie le temps au cours duquel la quantit´e de ces atomes radioactives diminue de moiti´e. La quantit´e M(t) de substance radioactive au tempstest donn´ee par
M(t) =M0·2−t/d
o`uM0 est la quantit´e de substance au temps initialt= 0 etdest sa demi-vie.
(a) Montrer queM(t) =M0e−λt pour une constanteλet d´eterminerλen fonction de d.
(b) On noteT l’intervalle de temps n´ecessaire pour que la quantit´e des atomes radioactives baisse jusqu’au tiers de sa valeur `a l’instant 0. D´eterminer T en fonction de d.
