• GezeitenwechselwirkungreduziertinkurzerZeiturspr¨unglichexzentrischeBahnenaufKreisbahnen(ZustandgeringsterGesamtenergie)undnicht-synchroneEigenrotationenderSterneaufgebundeneRotation M + M J = GAM M • nebenMassenweitereErhaltungsgr¨oßeGesamtbahndrehimpu

Roche-Modell

Voraussetzungen (N¨aherungsannahmen):

• M¹ und M² Punktmassen, M¹ ≥ M², q = M²/M¹ ≤ 1

• m ≪ M¹,2 differentielle “Probemasse”→eingeschr¨anktes Dreik¨orperproblem

• Kreisbahnen (e= 0)

• Rotationsachsen der beiden Sterne senkrecht auf Bahnebene

• Abstand der Massezentren A(=a¹ +a²)

• G¨ultigkeit des 3. Keplerschen Gesetzes:

ω²A³ = 2π P

!2

A³ = G(M¹ +M²) = (K¹+ K²)³ ωsin³i

• neben Massen weitere Erhaltungsgr¨oße Gesamtbahndrehimpuls J:

J² = GAM¹²M²² M¹ +M²

• Gezeitenwechselwirkung reduziert in kurzer Zeit urspr¨unglich exzentrische Bahnen auf Kreisbahnen (Zustand geringster Gesamtenergie) und nicht- synchrone Eigenrotationen der Sterne auf gebundene Rotation

!

Verwende mitrotierendes kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung in M¹ und x-Achse = Verbindungsgerade von M¹ und M², o.B.d.A. z=0, m befinde sich in P(x, y, z = 0):

Gesamtpotentialψergibt sich aus den Gravitationspotentialen der beiden Sterne und dem Fliehkraftpotential ^ω₂²d², wobei d = Abstand von m vom Massen- schwerpunkt des Systems:

−ψ = GM¹

r¹ +GM²

r² + ω² 2



 x− M²A M¹ +M²

!2

+ y²



 (1)

Im mitrotierenden Koordinatensystem: starre Korotation von m, also Kepler- bewegung um Schwerpunkt mit demselben ω wie M¹ und M²:

2π P

!2

= ω² = GM¹ +M² A³ in (1):

−ψ = G





M¹

r¹ + M²

r² + M¹ +M² 2A³



x² − 2M²Ax

M¹ +M² + M2²A²

(M¹ +M²)² +y²









Normierung des Potentials durch A = 1:

−ψ = G





M¹

r¹ + M²

r² + M¹ +M²

2 (x² +y²)−M²x+ M2²

2(M¹ +M²)





Definition des Roche-Potentials:

Ω := 1

GM¹(−ψ) :

um das Potential statt von den EinzelmassenM¹ undM² nur noch vom Massen- verh¨altnis q abh¨angig zu machen.

Ω = 1 r¹ + q

r² + 1 +q

2 (x² +y²)−qx+ q²

2(1 +q) (2)

Manchmal werden die Roche- ¨Aquipotentialfl¨achen auch ohne den Positions- unabh¨angigen Term angegeben als (Kopal-Notation):

Ω− q² 2(1 +q)

Das Roche- ¨Aquipotential l¨asst sich einfach in die Jacobi-Hill-Fl¨achen des eingeschr¨ankten Dreik¨orperproblems ¨uberf¨uhren durch:

C := 2

1 +q ·Ω , also C = 2

1 +q · 1

r¹ + 2q 1 +q

1 r² −x

!

+x² +y² + q²

(1 +q)² (3) Man ersetzt die unabh¨angige Variable q durch die Teilmasse µ:

µ = M²

M¹ +M² = q

1 +q und (1−µ) = M¹

M¹ +M² = 1 1 +q

Außerdem ersetzt man die Koordinate x durch den Abstand ξ vom Schwer- punkt:

x ←→ ξ = x− M²

M¹ +M² = x− q 1 +q

−→ ξ² = x²− 2q

1 +q ·x+ q² (1 +q)² und damit

C = 2(1−µ)

r¹ + 2µ

r² +ξ² +y² (4)

Diese ¨Aquipotentialfl¨achen heißen auch “Geschwindigkeit-Null-Fl¨achen” oder

“Zero Velocity Surfaces”, da C = V² + C (f¨ur V = 0) die Gesamtenergie (Summe aus kinetischer und potentieller Energie) darstellt.