Arbeitsbereich Mechanik I Prof. Dr.-Ing. U. Weltin
Gegeben ist ein System bestehend aus 3 masselosen Zahnrädern, einem masselosen Balken (Länge L), den Massen (M, m1, m2, m3) und einer Feder (Steifigkeit c).
Die Feder ist in der gezeigten Position entspannt.
Die Masse M ist in der Mitte des Balkens befestigt.
Der Balken ist im Abstand e zum Zahnradmittelpunkt des Zahnrades 1 drehbar gelagert mit diesem verbunden. In dem Befestigungspunkt befindet sich zusätzlich eine Masse m1 am linken Ende des Balkens.
An den Zahnrädern 2 und 3 befinden sind im Abstand von 2r die Massen m2 und m3. Das Zahnrad 3 besteht aus einem äußeren (Radius 2r) und einem inneren Zahnrad (Radius r), die fest miteinander verbunden sind.
a) Bestimmen Sie alle Gleichgewichtslagen in Abhängigkeit von ϕ. b) Überprüfen Sie die Gleichgewichtslagen hinsichtlich ihrer Stabilität.
m
1m
3m
22r 2r
r 2r
e
L/2 L/2
M
j
g
1 2
3
c
Hinweise:
• Für die Rechnung kann angenommen werden, dass L >> e gilt.
• Additionstheorem: sin(2ϕ)=2cos(ϕ)⋅sin(ϕ)
Gegeben: g, L, r, m1,
3 2
15 r
g c m
, 3r e 4 , 3m m 1
, 3m m 1 , m
3 1 2 1 3 1 1 ⋅
M= = = = = ⋅
1
BEISPIELLÖSUNG
a)
Kinematik:
) Hinweis siehe
( sin e x
2 cos H e
2 r
2 r r
2
r 2 r
2
C
2 3
3 2
2 2
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
⋅
=
= ⋅
⋅
=
⋅
=
⇒
⋅
=
⋅
=
⇒
⋅
=
⋅
m1
m3
m2
e H M
j g
1 2
3
c xc
j 3j 2 b
Aufstellung des Gesamtpotentials über die potentielle Energien der Einzelsysteme für das eingezeichnete Nullniveau ergibt
) ( sin e 2 c x 1 2 c 1
) cos(
e g 2 M h 1 g M ) H h ( g M
)) 2 cos(
2 3 ( r g m )) cos(
r 2 r 3 ( g m
) cos(
r 2 g m ) cos(
r 2 g m
) cos(
e g m
2 2 2
c c
M
3 3
3 3 m
2 2
2 2
m 1 1 m
ϕ
⋅
⋅
⋅
≈
⋅
⋅
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
⋅ +
⋅
⋅
−
=
−
⋅
⋅
−
=
ϕ
⋅ +
⋅
⋅
⋅
= ϕ
⋅ +
⋅
⋅
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
= ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
=
Π Π Π Π Π
Gesamtpotential:
) ( sin e 2 c m 1 r 2 g ) 2 cos(
r 2 m 2 g
e 1 g M e g m ) cos(
h g M r g m 3
2 2 3
2 1
3 i
Ges
ϕ
⋅
⋅
⋅ +
⋅
⋅
⋅ ϕ +
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ϕ +
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
=
∑
ΠΠ
1. Ableitung des Gesamtpotentials für die Bestimmung der Gleichgewichtslagen
( )
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ϕ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ϕ
−
=
ϕ
⋅ ϕ
⋅
⋅
⋅
⋅ +
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ϕ
− δϕ = δ
2 3
2 1
2
3 2
Ges 1
e c m r 8 g ) cos(
r 2 m 2 g
e 1 g M e g m ) sin(
) cos(
) sin(
2 e 2 c 1
) 2 sin(
m r 4 g r 2 m 2 g
e 1 g M e g m ) Π sin(
unter Verwendung des Additionstheorems sin(2ϕ)=2cos(ϕ)⋅sin(ϕ).
2
Für die Gleichgewichtslagen muss die 1. Ableitung verschwinden. Das ist zum einen der Fall, wenn sin(ϕ)⋅Null wird und zum anderen wenn der Term in den eckigen Klammern verschwindet. Daraus ergeben sich folgende Gleichgewichtslagen:
°
=
°
=
⇒
⋅ +
°
=
=0für 0 n 0 , 180
)
sin(ϕ ϕ π ϕ1 ϕ2
= ϕ
°
= ϕ
= +/- 30° ⇒ ϕ
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
− ⋅
⋅ =
−
⋅
⋅
⋅
⋅
− +
⋅
− ⋅
= ϕ
330°
, 30 für
2 3 r g 3m 3 m 40 r 3 g
8 3
m 8 r g e
c m r 8 g
r 2 m g ) 2M m 1 ( e g ) cos(
4 3
1 1
1 2
3
2 1
b)
Zur Überprüfung der Stabilität der Gleichgewichtslagen wird die 2. Ableitung des Gesamtpotentials benötigt
− ϕ ⋅ + ϕ ⋅
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
⋅
⋅ +
ϕ
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ϕ
− δϕ =
δ
3 3 ) 16 2 3 cos(
) 8 cos(
r g m
) 2 cos(
e c
) 2 cos(
m r g 8 r 2 m 2 g
e 1 g M e g m ) cos(
1 2
3 2
2 1 Ges 2Π
Für 1 und 2 gilt: 0 STABIL
3 3
16 3 r 8 g m
0 2 1
Ges
2 > ⇒
− +
⋅
⋅
⋅ δϕ =
δ
> 4 34
4 4 2 1 Π
Für 3 und 4 gilt mit
2 ) 3
i = ϕ
cos( und
2 ) 1 2 cos( ϕi =
0 INSTABIL
3 3
8 3
3 r 4
g m
0 2 1
Ges
2 < ⇒
− +
⋅
⋅
⋅ δϕ =
δ
< 4 34
4 4 2 1
Π
Hinweis zur Berechnung von xC bzgl. der Annahme L>>e:
3
0
C e sin L cos L
x = ⋅ ϕ+ ⋅ β− mit
ϕ
⋅
−
= β
⇒
= β + β
ϕ
⋅
= β
⇒ β
⋅
= ϕ
⋅
2 2 2
2 cos
L 1 e cos
1 sin cos
L cos sin e
sin L cos e
und
2 2
0 L e
L = −
folgt
ϕ
⋅
≈
−
− ϕ
⋅
− + ϕ
⋅
=e sin L e cos L e >> e sin
xC 2 2 2 2 2L e
j
e cos L· j
·sinb L
L L0
e sin· j b
xc
e
e
j = 0
L cos· b
4
