Herausforderungen bei der Zeitintegration von effektiven Wellengleichungen

0 SFB-Workshop “Time Integration of PDEs” Zeitintegration effektiver Wellengleichung C. Stohrer Institut für Angewandte und Numerische Mathematik 1

Herausforderungen bei der Zeitintegration von effektiven Wellengleichungen

Christian Stohrer

Übersicht

Homogenisierung

„Top-down“ Ansatz für Multiskalenmethoden Akustische Wellen für grosse Zeiten

Elektomagnetische Wellen

Homogenisierung

Elliptisches Beispiel

Ω = ( 0 , 1 ) ² und a ( y ) =

∏ 2 i = 1

√ 2 + sin ( 2πy i )







Finde u ^η ∈ ^H 0 ¹ ( Ω ) , so dass für alle v ∈ ^H 0 ¹ ( Ω )

Z

Ω a x η

∇ ^{u η} ( x ) · ∇ ^v ( x ) dx =

Z

Ω v ( x ) dx .

0 0 . 5 1

0 0 . 5 1

x 1

x 2

η 1 = ₁₀ ¹

0 0 . 5 1

0 0 . 5 1

x 1

η 2 = ₂₀ ¹

0 0 . 5 1

0 0 . 5 1

x 1

η 4 = ₄₀ ¹

Homogenisierung

Elliptisches Beispiel

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1 x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2 4 6

·10⁻²

x1 uε

(

x1,

0

.

5)

ε

=

¹/10

0 0 . 5 1

0 0 . 5 1 x 2

u ^{η 1} ( x )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1 x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2 4 6

·10⁻²

x1 uε

(

x1,

0

.

5)

ε

=

¹/20

0 0 . 5 1

0 0 . 5 1

u ^{η 2} ( x )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1 x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2 4 6

·10⁻²

x1 uε

(

x1,

0

.

5)

ε

=

¹/40

0 0 . 5 1

0 0 . 5 1

u ^{η 3} ( x )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1 x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2 4 6

·10⁻²

x1 uε

(

x1,

0

.

5)

ε

=

¹/10

0 0 . 5 1

0 0.02 0.04 0.06

x 1

u η ( x 1 , 0 . 5 )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1 x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2 4 6

·10⁻²

x1 uε

(

x1,

0

.

5)

ε

=

¹/20

0 0 . 5 1

0 0.02 0.04 0.06

x 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x1 x2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

2 4 6

·10⁻²

x1 uε

(

x1,

0

.

5)

ε

=

¹/40

0 0 . 5 1

0 0.02 0.04 0.06

x 1

Homogenisierung

Beobachtungen

mikroskopische Oszillationen in u ^η

für η → ^{0 scheint u η} zu konvergieren (u ^η → ^{u eff )} Ziel

Bestimmung der Konvergenzart und Beweis der Konvergenz Charakterisierung von u ^eff effektive Gleichung







Finde u ^eff ∈ ^H 0 ¹ ( _Ω ) , so dass für alle v ∈ ^H 0 ¹ ( _Ω )

Z

Ω a ^eff ( x ) ∇ ^{u eff} ( x ) · ∇ ^v ( x ) dx =

Z

Ω v ( x ) dx .

Im betrachteten Beispiel gilt a ^eff ( x ) = 1.

Homogenisierung

Hauptsatz (elliptische PDGl, lokal periodisches Medium) Ω ⊂ R ^d offen und beschränkt, f ∈ ^{L 2} ( _Ω )

a ^η ( x ) : = a ( x , ^x / η ) mit

a : Ω × ^{R d} → ^{R d × d} symmetrisch, glm. positiv definit und beschränkt, Y = ( ^{− 1} / ² , ¹ / ² ) ^d periodisch im zweiten Argument

u ^η Lösung von







Finde u ^η ∈ ^H 0 ¹ ( Ω ) , so dass für alle v ∈ ^H 0 ¹ ( Ω )

Z

Ω a ^η ( x ) ∇ ^{u η} ( x ) · ∇ ^v ( x ) dx =

Z

Ω f ( x ) v ( x ) dx . ( ? ) Dann konvergiert u ^η für η → ^{0 schwach in H 1} ( Ω ) gegen die Lösung u ^eff von ( ? ) mit a ^η ersetzt durch

a ^eff ( x ) = H ( a ^η )( x ) .

Homogenisierung

Der Operator H H ( a ^η )( x ) : =

Z

Y a ( x , y ) I + D _y ^T χ ^a ( x , y ) dy

=

Z

Y I + D _y ^T χ ^a ( x , y ) ^T a ( x , y ) I + D _y ^T χ ^a ( x , y ) dy , mit

χ ^a ( x , y ) = ( χ ^a ₁ ( x , y ) , . . . , χ ^a _d ( x , y )) ^T .

Gleichung für χ ^a _i ( x , · ) :







Finde χ ^a _i ( x , · ) ∈ ^H per ¹ ( Y ) , so dass für alle v ∈ ^H per ¹ ( Y )

Z

Y a ( x , y ) e _i + ∇ y χ ^a _i ( x , y ) · ∇ y v ( x , y ) dy = 0 . Eigenschaften:

H ( a ) ist symmetrisch, glm. positiv definit und beschränkt.

Homogenisierung

. . . gibt’s auch für andere Gleichungen

L ^η L ^eff Konvergenz

− ^{div a η} ∇· − ^div H ( a ^η ) ∇· ^{schwach H 1}

∂ t · − ^{div a η} ∇· ^{∂ t} − ^div H ( a ^η ) ∇· ^{schwach L 2} ( H ¹ )

∂ tt · − ^{div a η} ∇· ^{∂ tt} · − ^div H ( a ^η ) ∇· ^{schwach ∗ L ∞} ( H ¹ )

− ^{div a η} ∇· − ^{ω 2} · − ^div H ( a ^η ) ∇· − ^{ω 2} · ^{schwach H 1 (?)} curl _µ ¹ η curl · − ^{ω 2 ε η} · ^curl _{H (} ¹ _µ ^η ₎ ^curl · − ^{ω 2} H ( ε ^η ) · ^{schwach L 2} ε ^η ∂ tt · + curl _µ ¹ η curl · H ( ε ^η ) ∂ tt · + curl _{H (} ¹

µ ^η ) curl · ^{schwach ∗ L ∞} ( L ² )

„Top-down“ Ansatz für Multiskalenmethoden

Schema

L ^η u ^η = f

Multiskalen Gleichung: Mikroskalen

L ^eff u ^eff = f

Effektive Gleichung: L ^eff unbekannt

L ^eff _H u ^eff _H = f

Diskr. eff. Gleichung: L ^eff _H unbekannt

L H u H = f Multiskalenmethode:

Homogenisierungstheorie

Standard Diskretisierung

Schätzung der fehlenden Daten

„Top-down“ Ansatz für Multiskalenmethoden

Kochrezept

1. Finde (z. B. mittels Homogenisierungstheorie) die Form der effektiven Gleichung.

2. Wähle eine (Standard-) Diskretisierung für diese Form.

3. Indentifiziere fehlende effektive Daten.

4. Entwickle Verfahren um diese Daten zu schätzen.

5. Kombiniere die Datenschätzung und die Diskretisierung zu einer Multiskalenmethode.

6. Beweise, dass diese Methode sinnvoll ist.

Homogenisierung für akustische Wellen

für lange Zeiten T ^η ∈ O (η ^{− 2} )

Multiskalen Gleichung



 

 

 

 

Finde u ^η : [ 0 , T ^η ] → ^H 0 ¹ ( Ω ) , so dass für alle v ∈ ^H 0 ¹ ( Ω )

∂ tt Z

Ω u ^η ( t ) v dx +

Z

Ω a ^η ∇ ^{u η} ( t ) · ∇ ^{v dx} = 0 , 0 ≤ ^t ≤ ^{T η ,} u ( 0 ) = u 0 , ∂ t u ( 0 ) = v 0 , in Ω ^.

Effektive Gleichung



 

 

 

 

Finde u ^eff : [ 0 , T ^η ] → ^H 0 ¹ ( Ω ) , so dass für alle v ∈ ^H 0 ¹ ( Ω ) , 0 ≤ ^t ≤ ^{T η ,}

∂ tt Z

Ω u ^eff ( t ) v + η ² b ^eff ∇ ^{u eff} ( t ) · ∇ ^{v dx} +

Z

Ω a ^eff ∇ ^{u eff} ( t ) · ∇ ^{v d x} = 0 ,

u ( 0 ) = u 0 , ∂ t u ( 0 ) = v 0 , in Ω ^.

Effektive akustische Wellengleichung

1D Beispiel

Ω = [ − ^{1 , 1} ] , periodische Randbedingungen η = ¹ / 50

a ^eff = 1 b ^eff = 0 . 01

u ₀ ( x ) =

( cos ( 8πx ) + 1 für − 1 / 8 ≤ ^x ≤ ^{1 / 8}

0 sonst

v ₀ = 0

Effektive akustische Wellengleichung

1D Beispiel

− ¹ − ^{0 . 5 0 0 . 5 1} 0

1 2

x

u ( t , x )

t = 200

Homogenisierung für akustische Wellen

für lange Zeiten T ^η ∈ O (η ^{− 2} ) und Ortsdiskretisierung mit FE

V H : Standard FE Raum (Lagrange Elemente) Semi-diskrete effektive Gleichung



 

 

 

 

Finde u _H ^eff : [ 0 , T ^η ] → ^V H , so dass für alle v _H ∈ ^V H , 0 ≤ ^t ≤ ^{T η ,}

∂ tt Z

Ω u ^eff _H ( t ) v H + η ² b ^eff ∇ ^{u eff} H ( t ) · ∇ ^{v H dx} +

Z

Ω a ^eff ∇ ^{u eff} H ( t ) · ∇ ^{v H dx} = 0 , u H ( 0 ) = _Π H u 0 , ∂ t u H ( 0 ) = _Π H v 0 in Ω ^.

Frage 1:

Was ist ein guter Zeitintegrator für die effektive akustische

Wellengleichung für lange Zeiten?

Eine Überlegungen zu Frage 1

Äquivalente Formulierung zur semi-diskrete effektiven Gleichung.

( ( M + η ² B ^eff ) ∂ tt U _H ^eff ( t ) + A ^eff U _H ^eff ( t ) = 0 , 0 ≤ ^t ≤ ^{T η ,} + initial condition

mit M _ij =

Z

Ω φ j φ i dx , A ^eff _ij =

Z

Ω a ^eff ∇ ^φ j · ∇ ^φ i dx , B ^eff _ij =

Z

Ω b ^eff ∇ ^φ j · ∇ ^φ i dx . Leap-Frog Schema

numerische Beispiele ergeben gute Resultate

für lineare FE: Konvergenz zweiter Ordnung in H und ∆ t falls η ² < H

Aufwand nicht optimal (Abhängigkeit von η, kein Mass-lumping)

Homogenisierung für Maxwell Gleichungen

Multiskalen Gleichungen

∂ t D ^η ( t ) = curl H ^η ( t ) − ^{σ η E η} ( t ) − ^{J ext} ( t ) , in ( 0 , T ) × Ω ^,

∂ t B ^η ( t ) = − ^{curl E η} ( t ) , in ( 0 , T ) × Ω ^, div D ^η ( t ) = ρ ( t ) , div B ^η ( t ) = 0 , in ( 0 , T ) × Ω ^. Anfangs- und Randbedingungen

E ^η ( 0 ) = E ₀ , H ^η ( 0 ) = H ₀ , in Ω ^, n × ^{E η} ( t ) = 0 , in ( 0 , T ) × ∂Ω ^. Materialgleichungen

B ^η ( t ) = µ ^η H ^η ( t ) , D ^η ( t ) = ε ^η E ^η ( t ) , J ^η ( t ) = σ ^η E ^η ( t ) , in ( 0 , T ) × ^{Ω .}

Homogenisierung für Maxwell Gleichungen

Effektive Gleichungen für σ = 0

∂ t D ^eff ( t ) = curl H ^eff ( t ) − ^{J ext} ( t ) , in ( 0 , T ) × Ω ^,

∂ t B ^eff ( t ) = − ^{curl E eff} ( t ) , in ( 0 , T ) × Ω ^, div D ^eff ( t ) = ρ ( t ) , div B ^eff ( t ) = 0 , in ( 0 , T ) × ^{Ω .} Anfangs- und Randbedingungen

E ^eff ( 0 ) = E ₀ , H ^eff ( 0 ) = H ₀ , in Ω ^, n × ^{E eff} ( t ) = 0 , in ( 0 , T ) × ∂Ω ^. Materialgleichungen

B ^eff ( t ) = H ( µ ^η ) ^{H eff} ( t ) , D ^eff ( t ) = H ( ε ^η ) ^{E eff} ( t ) , in ( 0 , T ) × Ω ^.

Homogenisierung für Maxwell Gleichungen

Effektive Gleichungen für σ 6 = 0

∂ t D ^eff ( t ) = curl H ^eff ( t ) − ^{J ext} ( t ) − ^{J eff , in} ( 0 , T ) × Ω ^,

∂ t B ^eff ( t ) = − ^{curl E eff} ( t ) , in ( 0 , T ) × ^{Ω ,} div D ^eff ( t ) = ρ ( t ) , div B ^eff ( t ) = 0 , in ( 0 , T ) × Ω ^. Anfangs- und Randbedingungen (gleich wie zuvor)

Materialgleichungen

B ^eff ( t ) = H ( µ ^η ) H ( t ) , in ( 0 , T ) × Ω ^. D ^eff ( t ) =

Z _t

0 ε ^eff ( t − ^τ ) E ^eff ( τ ) dτ , in ( 0 , T ) × Ω ^, J ^eff ( t ) =

Z t

0 σ ^eff ( t − ^τ ) E ^eff ( τ ) dτ , in ( 0 , T ) × ^{Ω .}

Was ist ein guter Zeitintegrator für . . .

Frage 1:

. . . die effektive akustische Wellengleichung für lange Zeiten?

Frage 2:

. . . die effektiven Maxwell Gleichungen mit σ = 0?

Frage 3:

. . . die effektiven Maxwell Gleichungen mit σ 6 = 0?

Literatur I

Homogenisierung

allgemein

Alain Bensoussan, Jaques-Louis Lions, and George Papanicolaou. Asymptotic Analysis for Periodic Structures, volume 5 of Studies in Mathematics and its Application.

North-Holland, 1978

Doina Cioranescu and Patrizia Donato. An Introduction to Homogenization, volume 17 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Application.

Oxford, University Press, 1999

Vasilii V. Jikov, Serguei M. Kozlov, and Olga A. Oleinik. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals.

Springer-Verlag, 1994

Wellengleichungen für lange Zeiten

Agnes Lamacz. Waves in heterogeneous media: long time behavior and dispersive models.

PhD thesis, TU Dortmund, 2011

Literatur II

Agnes Lamacz. Dispersive effective models for waves in heterogeneous media.

Math. Models Methods Appl. Sci., 21(09):1871–1899, 2011

Tomas Dohnal, Agnes Lamacz, and Be Schweizer. Dispersive homogenized models and coefficient formulas for waves in general periodic media.

Asymptot. Anal., 93:21–49, 2015

Assyr Abdulle and Timothée N. Pouchon. Effective models for the multidimensional wave equation in heterogeneous media over long time and numerical homogenization.

Preprint, 2016

Maxwellgleichungen

Niklas Wellander. Homogenization of the Maxwell equations: Case I. Linear theory.

Appl. Math., 46(1):29–51, 2001

Niklas Wellander. Homogenization of the Maxwell equations: Case II. Nonlinear conductivity.

Appl. Math., 47(3):255–283, 2002

Literatur III

Heterogene Multiskalenmethode

Akustische Wellengleichung

Bjorn Engquist, Henrik Holst, and Olof Runborg. Multi-scale methods for wave propagation in heterogeneous media.

Commun. Math. Sci., 9(1):33–56, 2011

Assyr Abdulle and Marcus J. Grote. Finite element heterogeneous multiscale method for the wave equation.

Multiscale Model. Simul., 9(2):766–792, 2011

Akustische Wellengleichung für lange Zeiten

Doghonay Arjmand and Olof Runborg. Analysis of heterogeneous multiscale methods for long time wave propagation problems.

Multiscale Model. Simul., 12(3):1135–1166, 2014

Literatur IV

Assyr Abdulle, Marcus J. Grote, and Christian Stohrer. Finite element heterogeneous multiscale method for the wave equation: Long time effects.

Multiscale Model. Simul., 12(3):1230–1257, 2014

Assyr Abdulle and Timothée Pouchon. A priori error analysis of the finite element heterogeneous multiscale method for the wave equation over long time.

SIAM J. Numer. Anal., 54(3):1507–1534, 2016

Zeitharmonische Maxwellgleichungen

Patrick Henning, Mario Ohlberger, and Barbara Verfürth. A new heterogeneous multiscale method for time-harmonic Maxwell’s equations.

SIAM J. Numer. Anal., 2016.

(accepted for publication)

Patrick Ciarlet, Jr., Sonia Fliss, and Christian Stohrer. On the approximation of electromagnetic fields by edge finite elements. Part 2: A heterogeneous multiscale method for Maxwell’s equations.

Preprint, 2016.

(available on http://www.waves.kit.edu/preprints.php)

Literatur V

Maxwellgleichungen (Formulierung zweiter Ordnung)

Marlis Hochbruck and Christian Stohrer. Finite element heterogeneous multiscale method for time-dependent Maxwell’s equations.

Preprint, 2016.

(available on http://www.waves.kit.edu/preprints.php)