Sphärische Trigonometrie

Sphärische Trigonometrie

Inhalt

1 Sphärische Trigonometrie ... 2

1.1 Worum geht es? ... 2

1.2 Der Seiten-Kosinus-Satz ... 3

1.2.1 Die Formeln ... 3

1.2.2 Anwendung: Sphärischer Abstand ... 4

1.2.3 Zum Nachdenken ... 5

1.2.4 Großkreis versus Breitenkreis ... 7

1.3 Zusammenhang mit der Trigonometrie des ebenen Dreieckes ... 8

1.3.1 Die Idee von Taylor ... 8

1.3.2 Anwendung in der sphärischen Trigonometrie ... 9

1.4 Der Winkel-Kosinus-Satz ... 10

1.5 Der Sinus-Satz ... 11

1.6 Weitere Formeln der Sphärischen Trigonometrie ... 11

1.7 Kombinatorischer Aspekt ... 11

1.8 Rechtwinklige sphärische Dreiecke ... 13

1 Sphärische Trigonometrie 1.1 Worum geht es?

Wir bezeichnen die sphärischen Dreiecke entsprechend den Dreiecken der ebenen Ge- ometrie.

A

B C

α

β

γ a

b c M

Bezeichnungen

Trotzdem besteht aber ein wichtiger Unterschied zur ebenen Geometrie: Eine Dreiecks- seite kann jetzt auch als Winkel aufgefasst werden. So kann zum Beispiel die Seite a als Winkel ∠BMC interpretiert werden. Auf der Einheitskugel (mit Radius 1) ist das Bo- genmaß dieses Winkels die Länge der Seite a. In der sphärischen Trigonometrie werden deshalb auch Seiten als Argumente trigonometrischer Funktionen erscheinen. Ein weite- rer Unterschied zur ebenen Trigonometrie besteht darin, dass die drei Winkel eines sphärischen Dreieckes nicht mehr voneinander abhängig sind. Aus diesen Gründen hat die sphärische Trigonometrie eine interessantere Struktur als die ebene Trigonometrie.

Wir werden aber sehen, dass sich die ebene Trigonometrie als Grenzfall aus der sphäri- schen Trigonometrie ergibt.

Wo nichts anderes vermerkt ist, werden wir in diesem Abschnitt mit der Einheitskugel arbeiten.

1.2 Der Seiten-Kosinus-Satz 1.2.1 Die Formeln

A

B N=C

M

b a

c γ

x

y z

Spezielle Lage des Dreieckes ABC

Ein gegebenes sphärisches Dreieck ABC können wir so auf der Kugel herumschieben, dass die Ecke C auf den Nordpol auf der z-Achse und die Ecke A auf den Nullmeridian in der x,z-Ebene zu liegen kommen. Dann hat lediglich der Punkt B keine spezielle La- ge.

Für den Vektor MA erhalten wir:

! "MA!!

=

sin

( )

b 0 cos

( )

b

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

Die Seite b ist die Zenitdistanz des Punktes A und wird hier als Winkel verwendet. Ana- log folgt:

MB! "!!

=

sin

( )

a ^cos

( )

^γ

sin

( )

a ^sin

( )

^γ

cos

( )

a

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

Der Zwischenwinkel dieser beiden Vektoren MA und MB ist die Seite c. Da diese beiden Vektoren die Länge 1 haben, gilt nach dem Skalarprodukt

cos

( )

c ⁼ _MA^{! "! "MA!!!!⋅MB}_⋅^{! "}_MB^{! "!!!! = sin( )b sin( )a cos( )γ}₁^{+0+cos( )b cos( )a ,} also:

cos

( )

c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^{b +sin}

( )

^{a sin}

( )

^{b cos}

( )

^γ

Dies ist der Seiten-Kosinus-Satz. Er gilt in jedem sphärischen Dreieck, da die zur Her- leitung verwendete spezielle Lage in der Schlussformel nicht mehr erscheint.

α β

γ

a b

c

Zyklische Vertauschung Durch zyklische Vertauschung erhalten wir die drei Formeln:

Seiten-Kosinus-Satz

cos

( )

c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^{b +sin}

( )

^{a sin}

( )

^{b cos}

( )

^γ

cos

( )

a ^=cos

( )

^{b cos}

( )

^{c +sin}

( )

^{b sin}

( )

^{c cos}

( )

^α

cos

( )

b ^=cos

( )

^{c cos}

( )

^{a +sin}

( )

^{c sin}

( )

^{a cos}

( )

^β

1.2.2 Anwendung: Sphärischer Abstand

Eine Anwendung des Seiten-Kosinus-Satzes ist die Berechnung des sphärischen Ab- standes zwischen zwei Kugelpunkten P

(

φ_P,λ_P

)

^{und Q}

(

^φQ,λ_Q

)

, welche durch ihre geographischen Breiten und Längen gegeben sind.

c

y z

P

Q λQ−λP

x

N

π₂−φ_P ^π₂−φ_Q

Bogenlänge von P nach Q

Zusammen mit dem Nordpol N erhalten wir ein sphärisches Dreieck NPQ, von dem zwei Seiten, nämlich NP= ^π₂−φ_P und NQ= ^π₂−φ_Q, sowie deren Zwischenwinkel

λ_Q−λ_P gegeben sind, und die gegenüberliegende Seite c=PQ gesucht ist.

Der Seiten-Kosinus-Satz liefert:

cos

( )

c ^=cos

(

^π₂^−φQ

)

^cos

(

^π2−φ_P

)

^+sin

(

^π2−φ_Q

)

^sin

(

^π2−φ_P

)

^cos

⁽

^λQ−λP

⁾

Wegen cos

( )

^π₂−φ ^=sin

^{( )}

^{φ und sin}

( )

^π2−φ ^=cos

^{( )}

^φ ergibt sich daraus:

cos

( )

c ^=sin

( )

^φQ ^sin

^{( )}

^{φP +cos}

( )

^{φQ cos}

^{( )}

^{φP cos}

(

^λQ−λP

)

Die so berechnete Seite c ist dann die Bogenlänge auf der Einheitskugel. Für eine belie- bige Kugel muss noch mit dem Kugelradius r multipliziert werden. Somit gilt:

cKugel mit Radius r =rarccos sin

( ( )

φ_Q ^sin

^{( )}

^{φP +cos}

( )

^{φQ cos}

^{( )}

^{φP cos}

(

^λQ−λP

) )

Beispiel: Für den Bogen c mit den Endpunkten P

(

30°S, 60°W

)

^{, Q}

(

^{60°N, 60°E}

)

^er-

halten wir:

cos

( )

c ^{=sin 60°}

( )

3 2

! "# $# sin

(

−30°

)

−¹₂

! "# $# +cos 60°

( )

1 2

! "# $# cos

(

−30°

)

3 2

! "# #$cos 60°

(

−(−60°)

)

−¹₂

!##"##$=−³₈ 3

Somit erhalten wir für c den Winkel

c=arccos

(

−₈³ 3

)

^{≈130.5053°≈2.2777,}

und für den zugehörigen Bogen auf der Erdkugel die Länge 14 500 km.

1.2.3 Zum Nachdenken

Wie sieht der Bogen c mit den Endpunkten P

(

30°S, 60°W

)

^{, Q}

(

^{60°N, 60°E}

)

auf der Plattkarte aus?

P

Q

Plattkarte, 15°-Raster Die folgende Abbildung zeigt die Situation auf der Kugel:

Situation auf der Kugel

Wir sehen, dass das auf der Plattkarte nicht die geradlinige Verbindung sein kann. Tat- sächlich sieht der Großkreisbogen auf der Plattkarte wie folgt aus:

Q

P

Großkreisbogen auf Plattkarte, 30°-Raster

1.2.4 Großkreis versus Breitenkreis

Die beiden Punkte P

(

60°N, 0°E

)

^{und Q}

(

^{60°N, 90°E}

)

liegen auf demselben Breiten- kreis. Wir vergleichen den Großkreisbogen von P nach Q mit dem Breitenkreisbogen von P nach Q.

Situation auf der Kugel

Q P

Großkreisbogen auf Plattkarte, 30°-Raster 1.2.4.1 Großkreisbogen

cos

( )

c ^{=cos 30°}

( )

3 2

! "# $# cos 30°

( )

3 2

! "# $# +sin 30°

( )

12

! "# $#sin 30°

( )

12

! "# $# cos 90°

( )

%0 = ³₄ c=arccos

( )

₄^{3 ≈0.72273}

Bogenlänge auf Erde ≈0.72273⋅6366 km ≈4'601 km

1.2.4.2 Breitenkreisbogen r= ¹₂ warum?

d=¹₂⋅2π⋅¹₄ = ^π₄ ≈0.78539

Bogenlänge auf Erde ≈0.78539⋅6366 km ≈5'000 km

1.3 Zusammenhang mit der Trigonometrie des ebenen Dreieckes Ein sehr kleines sphärisches Dreieck oder ein sphärisches Dreieck auf einer Kugel mit sehr großem Radius ist beinahe eben. In beiden Fällen ist der zu einer Seite gehörende Zentriwinkel mit dem Kugelmittelpunkt als Scheitel sehr klein. Wir überlegen uns nun, was geschieht, wenn die drei Seiten a, b und c des sphärischen Dreieckes sehr klein werden. Wir verwenden nun eine Idee von Taylor.

1.3.1 Die Idee von Taylor

Brook Taylor, 1685 - 1731

Taylor entwickelte ein Verfahren, wie Funktionen durch Polynomfunktionen approxi- miert werden können.

So ist zum Beispiel cos

( )

x ^{≈1− x}₂^{2 :}

y = 1 - 1 2x2 y = cos x

y

x

-π π

-2 -1 1 2

y = 1 - 1 2x2 y = cos x

-1 1

-1

Approxim ation der Kosinus-Funktion Weiter ist sin

( )

x ^≈x:

x y

y = sin x y = x

-π π

-2 -1 1

2 y = sin x

y = x

-1 1

-1

Approxim ation der Sinus-Funktion 1.3.2 Anwendung in der sphärischen Trigonometrie

Zunächst ist festzuhalten, dass dabei die drei Winkel α, β und γ nicht klein werden. Für kleine x gilt cos

( )

x ^{≈1− x}₂^{2 und sin}

( )

^{x ≈x}. Damit erhalten wir aus dem Seiten- Kosinus-Satz cos

( )

c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^{b +sin}

( )

^{a sin}

( )

^{b cos}

( )

^γ die Beziehung:

1−^c₂² ≈

( )

1−^a₂²

( )

^{1−b22 +abcos}

^{( )}

^γ

Der Faktor cos

( )

γ kann nicht umgeschrieben werden, da der Winkel γ nicht klein wird.

Ausmultiplizieren ergibt:

1− ^c₂² ≈1−^a₂² −^b₂² +^a₂^{2 b}₂² +abcos

( )

γ

Der Summand ^a₂^{2 b}₂² ist vom vierten Grad und kann daher weggelassen werden. Dann folgt:

c² ≈a² +b² −2abcos

( )

γ Dies ist der Kosinus-Satz in der ebenen Trigonometrie.

Im Folgenden weitere Formeln der sphärischen Trigonometrie ohne Herleitung.

1.4 Der Winkel-Kosinus-Satz

Der Winkel-Kosinus-Satz ist „winkellastig“. Es kommen jeweils alle drei Winkel vor.

In der ebenen Geometrie gibt es keine entsprechende Formel, da in der Ebene die drei Winkel nicht unabhängig voneinander sind.

Winkel-Kosinus-Satz

cos

( )

γ ^=−cos

( )

^{α cos}

( )

^{β +sin}

( )

^{α sin}

( )

^{β cos}

( )

^c

cos

( )

α ^=−cos

( )

^{β cos}

( )

^{γ +sin}

( )

^{β sin}

( )

^{γ cos}

( )

^a

cos

( )

β ^=−cos

( )

^{γ cos}

( )

^{α +sin}

( )

^{γ sin}

( )

^{α cos}

( )

^b

Als Anwendung berechnen wir die Seitenlänge eines regelmäßigen sphärischen Fünfe- ckes der folgenden Figur.

Regelm äßige Fünfecke auf der Kugel

Da an jeder Fünfecks-Ecke drei Fünfecke zusammenstoßen, misst ein Innenwinkel ²₃π. Die Innenwinkelsumme beträgt somit ¹⁰₃π, der sphärische Exzess ist gleich

10

3π −3π=¹₃π. Dies ist ein Zwölftel der Kugeloberfläche der Einheitskugel; es hat also genau zwölf solcher regelmäßiger Fünfecke. Zur Berechnung der Seitenlänge s eines solchen Fünfeckes unterteilen wir dieses vom Mittelpunkt M aus in fünf gleichschenkli- ge sphärische Dreiecke.

π3 π

3 2π5

A B

C D

E M

s

Unterteilung in gleichschenklige Dreiecke

Diese gleichschenkligen Dreiecke haben Basiswinkel von ¹₃π (Hälfte des Innenwinkels

von ²₃π), der Winkel an der Spitze misst ²₅π. Wir haben also hier ein Beispiel eines

Dreieckes, von dem alle drei Winkel gegeben sind, aber keine Seite. In der Ebene ist diese Situation nicht möglich, daher gibt es auch keinen dem Winkel-Kosinus-Satz ent- sprechenden Satz in der ebenen Trigonometrie. Durch Einsetzen erhalten wir

cos

( )

²₅π ^=−cos

( )

^π3 ^cos

( )

^{π3 +sin}

( )

^{π3 sin}

( )

^{π3 cos}

^{( )}

^s

Daraus ergibt sich s ≈ 0.7297 ≈ 41.81°.

1.5 Der Sinus-Satz

Analog zum Sinus-Satz der ebenen Geometrie gibt es auch in der sphärischen Geomet- rie einen Sinus-Satz.

Sinus-Satz sin

( )

a

sin

( )

α ^{= sin}

( )

^b

sin

( )

β ^{= sin}

( )

^c

sin

( )

γ

1.6 Weitere Formeln der Sphärischen Trigonometrie

Für die folgenden Formeln gibt es kein Analogon in der ebenen Geometrie.

Tangens-Satz, erste Gruppe

sin( )c

tan( )b ^=cos

( )

^{c cos}

( )

^{α +sin}_tan^{( )}_{( )}^α_β

sin( )a

tan( )c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^{β + sin}_tan^{( )}_{( )}^β_γ

sin( )b

tan( )a ^=cos

( )

^{b cos}

( )

^{γ + sin}_tan^{( )}_{( )}^γ_α

Tangens-Satz, zweite Gruppe

sin( )a

tan( )b ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^{γ + sin}_tan^{( )}_{( )}^γ_β

sin( )b

tan( )c ^=cos

( )

^{b cos}

( )

^{α + sin}_tan^{( )}_{( )}^α_γ

sin( )c

tan( )a ^=cos

( )

^{c cos}

( )

^{β + sin}_tan^{( )}_{( )}^β_α

1.7 Kombinatorischer Aspekt

Im Unterschied zur ebenen Geometrie sind in der sphärischen Geometrie die sechs Dreieckselemente a, b, c und α, β, γ völlig unabhängig voneinander. In jeder unserer Formeln kommen vier dieser sechs Elemente vor, das heißt man kann aus dreien das

vierte berechnen. Nun gibt es in einer Menge mit 6 Elementen

( )

₄^{6 =15} Möglichkeiten, deren 4 auszuwählen. Tatsächlich werden mit unseren 15 Formeln genau diese 15 Fälle abgedeckt. Im einzelnen sieht das so aus:

a) Es sind drei Seiten und ein Winkel im Spiel.

a c b

β γ

α

Drei Seiten und ein W inkel Hier muss der Seiten-Kosinus-Satz verwendet werden:

cos

( )

a ^=cos

( )

^{b cos}

( )

^{c +sin}

( )

^{b sin}

( )

^{c cos}

( )

^α

b) Eine Seite und drei Winkel sind im Spiel.

a c b

β γ

α

Eine Seite und drei W inkel Hier wird der Winkel-Kosinus-Satz verwendet:

cos

( )

α ^=−cos

( )

^{β cos}

( )

^{γ +sin}

( )

^{β sin}

( )

^{γ cos}

( )

^a

c) Zwei Seiten und deren gegenüberliegende Winkel

a

b c

β γ

α

Zwei Seiten und deren gegenüberliegende W inkel Hier wird der Sinus-Satz benötigt:

sin

( )

a

sin

( )

α ^{= sin}

( )

^b

sin

( )

β

d) Zwei Seiten und zwei Winkel, nur ein Paar gegenüberliegender Seite und Winkel

a c b

β γ

α

Zwei Seiten und zwei W inkel Das ist ein Fall für die Formeln von der Art:

sin( )c

tan( )b ^=cos

( )

^{c cos}

( )

^{α + sin}_tan^{( )}_{( )}^α_β

1.8 Rechtwinklige sphärische Dreiecke Wir untersuchen sphärische Dreiecke mit γ = ^π₂.

A

B

C

Rechtwinkliges sphärisches Dreieck

Aus dem Seiten-Kosinus-Satz cos

( )

c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^{b +sin}

( )

^{a sin}

( )

^{b cos}

( )

^γ erhalten wir:

cos

( )

c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^b

Für kleine rechtwinklige Dreiecke heißt das:

1−^c₂² ≈

( )

1−^a₂²

( )

^{1−b22 =1−a22 −b22 +a22 b22}

Wenn wir den Summanden ^a₂^{2 b}₂², welcher vom vierten Grad ist, weglassen, folgt:

c²≈ a²+ b²

Es ist daher berechtigt, von der sphärischen Formel des Pythagoras zu sprechen.

Sphärischer Pythagoras cos

( )

c ^=cos

( )

^{a cos}

( )

^b

Literatur

Walser, Hans (2017): EAGLE STARTHILFE Kartografie. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-95922-098-9.