ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 15. Aufgabenblatt vom 28.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Längste Wege
Beweisen Sie: Sei G ein einfacher, endlicher, ungerichteter und zusammenhängender Graph, dann haben je zwei längste Wege inGeine gemeinsame Ecke.
2. Aufgabe: BFS-Algorithmus
Der ungerichtete Graph Gn= (Vn, En) habe die KnotenmengeVn={1, ..., n} und alle Kantenij, für diemax(i, j)≤2 min(i, j) gilt.
(a) Zeichnen Sie den Graphen G9 und bilden Sie seinen BFS-Baum (und DFS-Baum) mit Startknoten 1 und aufsteigend geordneten Adjazenzlisten.
(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass
|En|= (n2
4 fallsngerade
n2−1
4 fallsnungerade.
3. Aufgabe: Nichtisomorphe Resultate
Geben Sie einen konkreten Graphen an, so dass zwei verschiedene Adjazenzlistendar- stellungen (d.h. verschieden bezüglich der Reihenfolge in den Listen) zu nichtisomor- phen Tiefensuchbäumen führen. Geben Sie ein solches Beispiel ebenfalls für den BFS- Algorithmus an.
4. Aufgabe: Ein kombinatorisches Spiel
Zwei Personen A und B spielen auf dem vollständigen Graphen Kn ein Spiel: In jeder Runde markiert erst Spieler A eine noch nicht gefärbte Kante rot; danach markiert Spieler B eine noch nicht gefärbte Kante blau. Gewinner ist, wer es zuerst schat einen aufspannenden Baum von Kn vollständig mit seiner Farbe zu färben. Geben Sie eine Strategie an, mit der Spieler A immer gewinnt, und beweisen Sie, dass es sich tatsächlich um eine Gewinnstrategie handelt.
1
