Beweis Monotonie!

Zusammenfassung kompetitive Suche

Elmar Langetepe University of Bonn

m-Wege Suche

• Lemma Es gibt stets eine optimale m-Wege Strategie (f₁, f₂, . . .), die die Strahlen in fester Reihenfolge und mit wachsender Tiefe besucht!

• periodisch und monoton, also: (f_j, J_j), J_j = j + m, f_j ≥ f_j−1

• Strategie ¨andern! Bedingungen erf¨ullen! Beispiel: f₁ > f₂

f₃ f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₆

f₈

Beweis Monotonie!

• Erster Index j f_j > f_j+1, vertausche: f_j⁰ = f_j+1, f_j+1⁰ := f_j

• Weitere Besuche: (J_k = J_k⁰): Drei Bedingungen testen!

• Beispiel: f₁ > f₂, f₁⁰ := f₂, f₂⁰ = f₁!

f₃

s

f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₄

f₆

f₈

Beweis Monotonie!

f_j > f_j+1, f_j⁰ = f_j+1, f_j⁰₊₁ := f_j, (J_k = J_k⁰): Bedingungen:

1.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k 6= j, j + 1, erf¨ullt! Vorher erf¨ullt!

2.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k = j + 1, erf¨ullt! f_j⁰₊₁ > f_j+1, J_j⁰₊₁ = J_j+1 3.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k = j, nur erf¨ullt falls J_j⁰ < J_j⁰₊₁

f₃ f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₆

f₈

Beweis Monotonie!

Beispiel: J_j⁰₊₁ < J_j, f₁ > f₂, J₂⁰ = 5 < 10 = J₁⁰

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C ? k = 1, J₂⁰ < J₁⁰

Abhilfe: Vertausche alle Besuche der beteiligten Strahlen ab Index j.

f₃

s

f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₄

f₆

f₈

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: erf¨ullt f¨ur alle k!

Monotonie erf¨ ullt: Periodisch!

• Erster Index j mit J_j > J_j+1 auf Strahl K und L

• Vertauche alle Besuche von K und L ab Index j + 1!

• Beispiel:J₁ = 6 > 4 = J₂, jetzt f₄, f₇ auf K, f₄ auf L

f₂

f3

f4

f5

f6

L

K

f₇

f9

f8

Monotonie erf¨ ullt: Periodisch!

• Erster Index j mit J_j > J_j+1 auf Strahl K und L

• Vertauche alle Besuche von K und L ab Index j + 1!

• Beispiel:J₁ = 6 > 4 = J₂, jetzt f₄, f₇ auf K, f₄ auf L

f₁

f₂

f3

f4

f5

f₆ L

K f7

f9

f8

Beweis Periodisch!

J_j > J_j+1 auf Strahl K und L

Vertauche Besuche K und L ab j + 1. Bedingungen:

1.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k 6= j, j + 1, erf¨ullt! Vorher erf¨ullt!

2.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k = j, erf¨ullt! J_j⁰ < J_j 3.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f⁰

k

≤ C: k = j + 1, erf¨ullt da f_j+1 ≥ f_j

Randomisierung

Gegenspielermodelle:

1. Kennt gew¨urfelte Strategie und Reihenfolge: Kein Unterschied!

2. Kennt Strategie, kennt Reihenfolge nicht! Gew¨urfelt!

Analyse Doublingstrategie: Gegenspieler w¨ahlt Strahl und x ∈ [2^k + , 2^k+1]! Erwartungswert des Komp. Faktors: 7! 3. Gegenspieler kennt Strategie UND Reihenfolge nicht!

Gegenspieler w¨ahlt Strahl und Distanz!

Beweis zu 2: Gegenspielerwahl x = 2^k + y, y ∈

0, 2^k

und Seite!

2^k+y+2Pk

i=1 2ⁱ

2^k+y ≤ 5 und ²

k+y+2Pk+1 i=1 2ⁱ

2^k+y ≤ 9: y = und ¹₂(5 + 9) = 7

Randomisierung: m-Wege

2. Kennt Strategie, kennt Reihenfolge der Besuche nicht! Gew¨urfelt!

Analyse Doublingstrategie: Gegenspieler w¨ahlt Strahl und x =

m m−1

^k

+ y mit y ∈

0,

m m−1

^k

Faktor auf Strahl i: (_m−1^m )^{k+y+2Pm+k−i}_i=1 (_m−1^m )ⁱ

(m−1^m )^k+y ≤ 1 + 2m

m m−1

m−i

1 m

m

X

i=1

1 + 2m

m m − 1

m−i

= 1 + 2m

m m − 1

m−1!

− 2(m − 1)

= C − 2(m − 1)

Randomisierung

3. Gegenspieler kennt Strategie UND Reihenfolge nicht!

Gegenspieler w¨ahlt Strahl und Distanz!

Strategie m-Wege, (auch m = 2)

W¨ahle zuf¨allige Permutation Π, w¨ahle zuf¨allig ∈ [0, 1) Verwende festes r, Setze: d := r

Suchtiefen: f_i := r⁺ⁱ, periodisch mit Π m₂ : r ≈ 3.59, E(C) = r + 1 = 4.59 . . .

Kao, Reif, Tate: Randomized Cow Path Problem, 1996

Themenvorschl¨ age Bachelorarbeit/Projektgruppe

• Geometric Firefighting und Kompetitive Strategien

• Firefighting in diskreten Umgebungen

• Platzierung des besten Highways (experimentell)

• Optimale Besuchstour von Kreisen (experimentell)

• Geodesic Center Applet

• . . .