m-Wege Suche

(1)

Kompetitive Suche

Elmar Langetepe University of Bonn

(2)

m-Wege Suche

f₃

s

f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₄

f₆

f₈

(3)

m-Wege Suche

• Lemma Es gibt stets eine optimale m-Wege Strategie (f₁, f₂, . . .), die die Strahlen in fester Reihenfolge und mit wachsender Tiefe besucht!

f₃ f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₆

f₈

(4)

m-Wege Suche

• periodisch und monoton, also: (f_j, J_j), J_j = j + m, f_j ≥ f_j₋₁

f₃

s

f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₄

f₆

f₈

(5)

m-Wege Suche

• periodisch und monoton, also: (f_j, J_j), J_j = j + m, f_j ≥ f_j₋₁

• Strategie ¨andern! Bedingungen erf¨ullen! Beispiel: f₁ > f₂

f₃ f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₆

f₈

(6)

Beweis Monotonie!

• Erster Index j f_j > f_j₊₁, vertausche: f_j⁰ = f_j+1, f_j+1⁰ := f_j

• Weitere Besuche: (J_k = J_k⁰): Drei Bedingungen testen!

• Beispiel: f₁ > f₂, f₁⁰ := f₂, f₂⁰ = f₁!

f₃

s

f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₄

f₆

f₈

(7)

Beweis Monotonie!

f_j > f_j₊₁, f_j⁰ = f_j₊₁, f_j⁰₊₁ := f_j, (J_k = J_k⁰): Bedingungen:

1.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k 6= j, j + 1, erf¨ullt! Vorher erf¨ullt!

2.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k = j + 1, erf¨ullt! f_j⁰₊₁ > f_j₊₁, J_j⁰₊₁ = J_j+1 3.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k = j, nur erf¨ullt falls J_j⁰ < J_j⁰₊₁

f₃ f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₆

f₈

(8)

Beweis Monotonie!

Beispiel: J_j⁰₊₁ < J_j, f₁ > f₂, J₂⁰ = 5 < 10 = J₁⁰

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C ? k = 1, J₂⁰ < J₁⁰

Abhilfe: Vertausche alle Besuche der beteiligten Strahlen ab Index j.

f₃

s

f₇ f₉

f₁ f₁₀

f₅

f₂

f₄

f₆

f₈

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: erf¨ullt f¨ur alle k!

(9)

Monotonie erf¨ ullt: Periodisch!

• Erster Index j mit J_j > J_j₊₁ auf Strahl K und L

• Vertauche alle Besuche von K und L ab Index j + 1!

• Beispiel:J₁ = 6 > 4 = J₂, jetzt f₄, f₇ auf K, f₄ auf L

f₂

f3

f4

f5

f6

L

K

f₇

f9

f8

(10)

Monotonie erf¨ ullt: Periodisch!

• Erster Index j mit J_j > J_j₊₁ auf Strahl K und L

• Vertauche alle Besuche von K und L ab Index j + 1!

• Beispiel:J₁ = 6 > 4 = J₂, jetzt f₄, f₇ auf K, f₄ auf L

f₁

f₂

f3

f4

f5

f₆ L

K f7

f9

f8

(11)

Beweis Periodisch!

J_j > J_j₊₁ auf Strahl K und L

Vertauche Besuche K und L ab j + 1. Bedingungen:

1.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k 6= j, j + 1, erf¨ullt! Vorher erf¨ullt!

2.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f_k⁰ ≤ C: k = j, erf¨ullt! J_j⁰ < J_j 3.

P^J

0 k−1 i=1 f_i⁰

f⁰

k

≤ C: k = j + 1, erf¨ullt da f_j₊₁ ≥ f_j

(12)

Randomisierung

(13)

Randomisierung

Gegenspielermodelle:

1. Kennt gew¨urfelte Strategie und Reihenfolge: Kein Unterschied!

(14)

Randomisierung

2. Kennt Strategie, kennt Reihenfolge nicht! Gew¨urfelt!

Analyse Doublingstrategie: Gegenspieler w¨ahlt Strahl und x ∈ [2^k + , 2^k+1]! Erwartungswert des Komp. Faktors: 7!

(15)

Randomisierung

Analyse Doublingstrategie: Gegenspieler w¨ahlt Strahl und x ∈ [2^k + , 2^k+1]! Erwartungswert des Komp. Faktors: 7! 3. Gegenspieler kennt Strategie UND Reihenfolge nicht!

Gegenspieler w¨ahlt Strahl und Distanz!

(16)

Randomisierung

Analyse Doublingstrategie: Gegenspieler w¨ahlt Strahl und x ∈ [2^k + , 2^k+1]! Erwartungswert des Komp. Faktors: 7! 3. Gegenspieler kennt Strategie UND Reihenfolge nicht!

Beweis zu 2: Tafel!

(17)

Randomisierung

(18)

Randomisierung

3. Gegenspieler kennt Strategie UND Reihenfolge nicht!

Strategie m-Wege, (auch m = 2)

(19)

Randomisierung

Wähle zufällige Permutation Π, wähle zufällig ∈ [0, 1) Verwende festes r, Setze: d := r

Suchtiefen: f_i := r⁺ⁱ, periodisch mit Π m₂ : r ≈ 3.59, E(C) = r + 1 = 4.59 . . .

(20)

Randomisierung

Wähle zufällige Permutation Π, wähle zufällig ∈ [0, 1) Verwende festes r, Setze: d := r

Suchtiefen: f_i := r⁺ⁱ, periodisch mit Π m₂ : r ≈ 3.59, E(C) = r + 1 = 4.59 . . .

Kao, Reif, Tate: Randomized Cow Path Problem, 1996

(21)

Themenvorschl¨ age Bachelorarbeit/Projektgruppe

• Geometric Firefighting und Kompetitive Strategien

• Firefighting in diskreten Umgebungen

• Platzierung des besten Highways (experimentell)

• Optimale Besuchstour von Kreisen (experimentell)

• Geodesic Center Applet

• . . .