Theoretische Elektrodynamik

Theoretische Elektrodynamik

(Kompendium)

Herausgegeben von

Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky

Stand: 23. Oktober 2008

1

Inhaltsverzeichnis

Elektrodynamik im Vakuum 3

Grundgr¨oßen 3

Maxwellgleichungen im Vakuum 3

Ausgew¨ahlte Folgerungen 3

Erhaltungss¨atze 3

Elektromagnetische Potentiale, Mathematische Hilfsmittel 4

Elektromagnetische Potentiale 4

Eichtransformationen 4

Greensche Funktion 4

Bestimmung von Vektorfeldern 4

Elektrostatik 5

Punktladung 5

Elektrischer Dipol 5

Elektrischer Quadrupol 5

Allgemeine ruhende Ladungsverteilung 5

Magnetostatik 6

Stromfaden 6

Magnetischer Dipol 6

Allgemeine ruhende Stromverteilung 6

Relativistische Elektrodynamik 7

Operatoren 7

Grundgr¨oßen und -gleichungen 7

Relativistische Mechanik 7

Transformation von Feldern 7

Matrixdarstellungen 7

Zeitabh¨angige elektromagnetische Felder 8

Retardierte Potentiale 8

Multipolentwicklung eines Strahlungsfeldes 8

Li´enard-Wiechert-Potentiale 8

Elektrodynamik in Materie 9

Materialgr¨oßen 9

Maxwellgleichungen in Materie 9

Wichtige Folgerungen 9

Grenzbedingungen 9

Stromkreise 10

Bauteilparameter 10

S¨atze f¨ur Stromkreise 10

Kapazit¨at 10

AGeS-Kompendium Elektrodynamik im Vakuum Seite 3

Im gesamten Kompendium wird das Gauss’sche Maßsystem verwendet.

Grundgr¨ oßen

• Ladungsdichte%(~r, t) und Stromdichte~(~r, t) =%·~v

• elektrisches und magnetisches Feld:E(~ ~r, t) undB(~ ~r, t)

• Lorentz-Kraft:K~ =q³

E~ +¹_c ·~v×B~´

, Kraftdichte:~k=%·E~ +¹_c ·~j×B~

Maxwellgleichungen im Vakuum

.

.rotE~ =−¹_c · ^{∂ ~}_∂t^B Faradaysches Induktionsgesetz .

.divE~ = 4π·% Gaußsches Durchflutungsgesetz .

.rotB~ = ¹_c ·^{∂ ~}_∂t^E+^4π_c ·~ Durchflutungsgesetz von Oersted und Amp`ere .

.divB~ = 0 Ausschluss magnetischer Monopole

Ausgew¨ ahlte Folgerungen

• Kontinuit¨atsgleichung: ^{∂ %}_∂t + div~ = 0

• in einer Leiterschleife induzierte Spannung: U_ind=−¹_c ·_dt^d s

SB~ df~=H

C(S)

³E~ +¹_c ·~v×B~´ d~r

Erhaltungss¨ atze

• Energiebilanz: _dt^d t

V wdV +t

V~·E~ dV =−v

S(V)S~ df~

• Impulsbilanz: _dt^d (~p_mech+~p_elm) =P

i,k

~ei·t

V

∂

∂xkTikdV =P

i,k

~ ei·v

S(V)Tik·³

~ ek·df~´

=v

S(V)~tdf

• Drehimpulsbilanz:t

V

³

~r×~k´

dV +_dt^d t

V

³

~r×_c^S~₂´

dV =v

S(V)

¡~r×~t¢ df Hierbei sind:

• w=^E~2_8π^+B~2 die Energiedichte des elektrischen und magnetischen Feldes

• S~ =_4π^c ·E~ ×B~ der Poynting-Vektor

• ~p_mechmit _dt^d~p_mech=t

V~kdV der mechanische Impuls

• ~p_elm= _c¹2 ·t

V S~ dV der elektromagnetische Impuls

• T^↔der Maxwellsche Spannungstensor mit den KomponentenTik= _4π¹·³

EiEk−¹₂δikE~²+BiBk−¹₂δikB~²´

• ~t= _4π¹ ·h E~ ·³

E~ ·~ef

´−¹₂E~²·~ef+B~ ·³ B~ ·~ef

´−¹₂B~²·~ef

i

mit dem Fl¨achennormaleneinheitsvektor~ef

Die Verwendung dieses Kompendiums f¨ur Klausuren und andere Pr¨ufungen ist nicht gestattet.

AGeS-Kompendium Elektromagnetische Potentiale, Mathematische Hilfsmittel Seite 4

Elektromagnetische Potentiale

• VektorpotentialA(~~r, t) und skalares (

”elektrostatisches“) Potentialϕ(~r, t)

• magnetisches Feld:B~ = rotA~

• elektrisches Feld:E~ =−gradϕ−¹_c ·^{∂ ~}_∂t^A

Eichtransformationen

• transformiertes Vektorpotential:A~⁰=A~+ grad Λ(~r, t)

• transformiertes Skalarpotential: ϕ⁰ =ϕ−¹_c· _∂t^∂ Λ(~r, t) Die Potentiale m¨ussen den folgenden Bedingungen gen¨ugen:

∆A~−_c¹2 ·^∂_∂t^2A2^~−grad³

divA~+¹_c· ^{∂ ϕ}_∂t´

=−^4π_c ·~

∆ϕ+¹_c ·_∂t^∂ divA~=−4π%

• Lorenz-Eichung:A~⁰, ϕ⁰ mit Eichbedingung: divA~⁰+¹_c· _∂t^∂ ϕ⁰= 0

• Coulomb-Eichung: A~⁰, ϕ⁰ mit Eichbedingung: divA~⁰ = 0

Eichfunktion Potentiale

Lorenz-Eichung ∆Λ−_c¹2 · _∂t^∂22Λ =−³

divA~+¹_c ·_∂t^∂ ϕ´ ∆A~⁰−_c¹2 ·_∂t^∂22A~⁰ =−^4π_c ·~

∆ϕ⁰−_c¹2 ·_∂t^∂22ϕ⁰=−4π%

Coulomb-Eichung ∆Λ =−divA~ ∆A~⁰−_c¹2 ·_∂t^∂22A~⁰−¹_c ·grad_∂t^∂ϕ⁰ =−^4π_c ·~

∆ϕ⁰=−4π%

Greensche Funktion

• Problem: Suche Ψ inL(x1, . . . , xn)·Ψ(x1, . . . , xn) =f(x1, . . . , xn) mit dem Differentialoperator L(x₁, . . . , x_n) =a+

n

X

i=1

a_i· ∂

∂(xi−xq,i) +

n

X

i,j=1

a_ij· ∂²

∂(xi−xq,i)∂(xj−xq,j)+. . .

• Greensche Funktion:

G(x1, . . . , xn) =G0(x1, . . . , xn) + 1 (2π)ⁿ ·

∞

Z

−∞

dk1· · ·

∞

Z

−∞

dkn· e^i·Plklxl a+i·P

lal·kl−P

l,malm·klkm+. . . Hierbei l¨ostG₀(x₁, . . . , x_n) die Differentialgleichung L·G₀= 0.

• L¨osung:

Ψ(x₁, . . . , x_n) = Ψ₀(x₁, . . . , x_n) +

∞

Z

−∞

dx⁰₁· · ·

∞

Z

−∞

dx⁰_n·G(x₁−x⁰₁, . . . , x_n−x⁰_n)·f(x⁰₁, . . . , x⁰_n)

Hierbei l¨ost Ψ0(x1, . . . , xn) die Differentialgleichung L·Ψ0= 0.

Bestimmung von Vektorfeldern

• Problem: SucheF~(~r) f¨ur gegebenes divF~(~r) und rotF~(~r).

• L¨osung:

F(~ ~r) =F~hom(~r) + 1 4π·y

d³r⁰· divF(~ ~r⁰)·(~r−~r⁰) + rotF(~~r⁰)×(~r−~r⁰)

¯

¯~r−~r⁰¯

¯

3

Hierbei ber¨ucksichtigt die homogene L¨osung F~hom(~r) mit divF~hom(~r) = 0 und rotF~hom(~r) = 0 eventuelle Rand- und Anfangsbedingungen.

AGeS-Kompendium Elektrostatik Seite 5

Punktladung

Situation: einzelne Punktladungqam Ort~rq

• Potential: ϕ(~r) = _|~r−~r^q

q|

• elektrisches Feld:E(~~r) = ^{q·(~r−~rq)}

|~r−~r_q|³

• mehrere Punktladungen→Coulomb-Wechselwirkung:W_w= ¹₂· P

α6=β qα·qβ

|~rα−~rβ|

Elektrischer Dipol

Situation: Anordnung zweier entgegengesetzer gleichgroßer Punktladungen−q (am Ort~rd) und +q(am Ort~rd+~a); ¨Ubergang zuq→ ∞und|~a| →0 derart, dass das Dipolmoment~p=q·~akonstant bleibt

• Ladungsverteilung:%(~r) = lim

q→∞, ~a→0q·[δ(~r−(~r_d+~a))−δ(~r−~r_d)] =−~p·grad_rδ(~r−~r_d)

• Potential: ϕ(~r) =−~p·grad_r|~r−¹_~r

d|=^{~p·(~r−~rd)}

|~r−~r_d|³

• elektrisches Feld:E(~~r) = 3·^{[~p·(~r−~rd)]·(~r−~rd)}

|~r−~r_d|⁵ − ^~p

|~r−~r_d|³

• mehrere Dipole→Dipoldichte:P~(~r) =P

α~p_α·δ(~r−~rα)

• (Gesamt)Dipolmoment:~p=tP~(~r) dV =t

%(~r)·~rdV

Elektrischer Quadrupol

Situation:Anordnung zweier entgegengesetzt ausgerichteter Dipole−~p(am Ort~rq) und~p(am Ort~rq+~d);

Ubergang zu¨ |~p| → ∞und|~d| →0 derart, dass die Komp. des Q.momentesqij =di·pj konstant bleiben

• Quadrupolmoment:q_ij =¹₂·t

%(~r)·x_i·x_jdV

• Quadrupoltensor: Q_ij= 3·q_ij−δ_ij·

3

P

l=1

q_ll= ¹₂t

%(~r)·h

3x_i·x_j− |~r−~rq|²·δ_iji dV Beachte: Quadrupolmoment und -tensor sind symmetrisch, Spur von

↔

Q verschwindet

• Ladungsverteilung:%(~r) =−~p·h

grad_rδ(~r−(~rq+~d))−grad_rδ(~r−~rq)i

=P

i,j

qij·_∂x^∂2

i∂xjδ(~r−~rq)

• Potential: ϕ(~r) =P

i,j

q_ij·h_3(x

i−x_q,i)·(x_j−x_q,j)

|~r−~rq|⁵ −_|~r−~r^δij

q|³

i=P

i,j

Q_ij·^(xi−xq,i_|~r−~r^{)·(xj−xq,j)}

q|⁵

Allgemeine ruhende Ladungsverteilung

• Potential: ϕ(~r) =t

d³r⁰· _|~r−~r^%(~r0)0|+ϕhom(~r)

• elektrisches Feld:E(~~r) =t

d³r⁰·^{%(~r0)·(~r−~r0)}

|~r−~r⁰|³ +E~hom(~r)

• Verschiebungsarbeit:A=−

~r2

R

~r1

K~ ·d~r=q·[ϕ(~r2)−ϕ(~r1)] f¨ur eine Probeladungqvon~r1 nach~r2

• Wechselwirkungsenergie im el. Feld:Wel=¹₂·t

V %(~r)·ϕ(~r) dV (ϕdes Felderzeugers,%der Probe)

• Kraft: K~ =t

%(~r)·E(~ ~r) d³r

• Drehmoment um Koordinatenursprung: M~ =t

~r×%(~r)·E(~~r) d³r

Multipolentwicklung einer Ladungsverteilung um~r= 0 f¨ur weit entfernten Betrachter

• Potential: ϕ(~r) = ^q_r+^~p·_r^~r3 +P

i,j Qij·xixj

r⁵ (bei Abbruch nach der 1/r³-Ordnung)

• Kraft: K~ =q·E(~ ~r= 0) + (~p·grad_r)E~

¯

¯

¯_~r=0+P

i,j

qij· _∂x^∂2

i∂x_j E~

¯

¯

¯_~r=0 (E~ ¨andere sich ¨uber%nur langsam)

• Drehmoment:M~ =p×E(~~r= 0) + 2·P

i,j

~

e_i·q_ij· _∂x^∂

j ×E~¯

¯

¯_~r=0

• Gesamtladungqwie ¨ublich, Dipol- und Quadrupolmoment wie oben ¨uber Ladungsverteilung definiert

Die Verwendung dieses Kompendiums f¨ur Klausuren und andere Pr¨ufungen ist nicht gestattet.

AGeS-Kompendium Magnetostatik Seite 6

Stromfaden

Situation: Entlang eines geschlossenen Wegesϕ (umschließend die Fl¨acheS) fließt ein StromI, welcher in allen Querschnitten des Leiters tangential zur Bewegungsrichtung gleich ist.

• Potential: A(~~r) =^I_c ·H

ϕ d~r⁰

|~r−~r⁰|=−^I_c ·s

Sdf~⁰×grad_r|~r−¹_~r0|

• magnetisches Feld:B(~ ~r) = ^I_c ·H

ϕ

d~r⁰×(~r−~r⁰)

|~r−~r⁰|³

• magnetischer Fluss im Fadenαdurch Feld anderer F¨aden: Φα=c·P

β

Iβ·Lαβmit β6=α

• Wechselwirkung mehrerer Stromf¨aden:Wmagn= P

α6=β Iα·Iβ

2 ·Lαβ=_2c¹ ·P

α

Φα·Iα

• Induktionskoeffizienten:Lαβ= _c¹2 ·H

ϕ_α

H

ϕ_β d~r_α·d~r_β

|~r_α−~r_β|

• Kraft durch den Fadenαaufβ:K~β←α= ^Iα_c^·I2^β·H

ϕ₁

H

ϕ₂

d~r_β×[d~r_α×(~r_β−~r_α)]

|~r_β−~rα|³ =−^Iα_c^·I2^β·H

ϕ₁

H

ϕ₂

~r_β−~r_α

|~r_β−~rα|³ d~rαd~rβ

Magnetischer Dipol

Situation:Stromfaden wie oben am Ort~rm; ¨Ubergang zuS→0 undI→ ∞derart, dass das magnetische Momentm~ =^I_c·s

Sdf~konstant bleibt

• Potential: A(~~r) =−~m×grad_r|~r−¹_~r

m| =m~ × ^~r−~rm

|~r−~r_m|³

• magnetisches Feld:B(~ ~r) = 3·^[(~r−~rm_|~r−~r^{)·~m]·(~r−~rm)}

m|⁵ −_|~r−^m_~r^~

m|³

• mehrere Dipole→Dipoldichte:M~(~r) =P

α

~

m_α·δ(~r−~r_α)

• Gesamtdipolmoment: m~ =t

d³r·M~(~r) =P

α

~ mα

• Potential einer Dipolverteilung:A(~~r) =−t

d³r⁰·M~(~r⁰)×grad_r~r−¹_~r0

• Stromdichte einer Dipolverteilung:~j(~r) =c·rotM~(~r) =c·P

α

~

m_α×gradδ(~r−~r_α)

• Wechselw.energie einer Dipolv.: W_m= ¹₂· P

α6=β

~

m_α·B~_β(~r_α) = P

α6=β 1 2·r³_αβ ·h

3·^{(~rαβ·~mα}_r^)·(2^{~rαβ·~mβ)} αβ

−m~_α·m~_βi

Allgemeine ruhende Stromverteilung

• Potential: A(~~r) =¹_c·t

d³r⁰·_|~r−^~(~r_~r⁰⁾0|+A~hom(~r)

• magnetisches Feld:B(~ ~r) = ¹_c ·t

d³r⁰·^{~(~r0)×(~r−~r0)}

|~r−~r⁰|³ +B~_hom(~r)

• Wechselwirkungsenergie im magn. Feld:W_magn=_2c¹ ·t

V~(~r)·A(~~r) dV (A~ des Felderzeugers,~ der Probe)

• Kraft: K~ =t

~(~r)×B(~ ~r) d³r

• Drehmoment um Koordinatenursprung: M~ =t

~r×h

~(~r)×B(~ ~r)i d³r

Multipolentwicklung einer Stromverteilung um~r= 0 f¨ur weit entfernten Betrachter

• Dipolmoment der Stromverteilung:m~ = _2c¹ ·t

V d³r⁰·£

~r⁰×~(~r⁰)¤

• Potential: A(~~r) =m~ ×_r^~r3 (bei Abbruch nach der 1/r³-Ordnung)

• magnetisches Feld:B(~ ~r) = 3·^(~r·~m)·_r5 ^~r −^m_r^~₃

• Kraft: K~ = gradh

B(~ ~r)·m~i

~r=0

• Drehmoment um Koordinatenursprung: M~ =m~ ×B(~ ~r= 0)

AGeS-Kompendium Relativistische Elektrodynamik Seite 7

Operatoren

• Viererdivergenz-Operator: ∂µ=_dx^dµ und∂^µ= _dx^d

µ

• D’Alembert-Operator: ¤=∂^ν∂ν =_c¹2 ·_dt^d22 −∆

Grundgr¨ oßen und -gleichungen

Kontravariante Gr¨oße Kovariante Gr¨oße Vierervektor der Stromdichte J^µ= (c·%,~) J_µ= (c·%,−~)

Viererpotential Φ^µ= (ϕ, ~A) Φµ = (ϕ,−A)~ Feldst¨arketensor F^νµ=∂^µΦ^ν−∂^νΦ^µ Fνµ=∂µΦν−∂νΦµ

• Kontinuit¨atsgleichung:∂µJ^µ= 0

• Bestimmungsgleichung f¨ur das Potential:¤Φ^µ=^4π_c J^µ

• homogene Maxwellgleichungen:∂λFνµ+∂νFµλ+∂µFλν = 0

• inhomogene Maxwellgleichungen: ∂µF^νµ= ^4π_c J^ν

Relativistische Mechanik

Kontravariante Gr¨oße Kovariante Gr¨oße Viererkraftdichte f^µ=³

~v c ·~k, ~k´

fµ=³

~ v

c ·~k,−~k´ Viererkraft F^µ=γ·³

~ v

c ·K, ~~ K´

F^µ =γ·³

~v

c ·K,~ −K~´ Energie-Impuls-Tensor T^νµ=_4π¹ ·³

gλσ·F^σν·F^λµ−¹₄·g^µν·Fλσ·F^λσ´

• Bewegungsgleichung: m0·^du_dτ^µ =F^µ mit Eigenzeit dτ= ^dt_γ und Vierergeschwindigkeitu^µ=γ·(c, ~v)

• Viererkraftdichte:f^ν = ¹_c ·Jµ·F^µν =∂µT^νµ (liefert Energiebilanz f¨ur ν= 0)

Transformation von Feldern

Das Bezugssystem Σ⁰ bewege sich gegen das Bezugssystem Σ mit~v.

• Transformation von Feldkomponenten parallel zu~v:E~_k⁰ =E~_k undB~_k⁰ =B~_k

• Transformation von Feldkomponenten senkrecht zu~v:E~_⊥⁰ =γ·³

E~_⊥+^~v_c ×B~´

undB~_⊥⁰ =γ·³

B~_⊥−^~v_c ×E~´

Matrixdarstellungen

F^µν =









0 Ex Ey Ez

−Ex 0 Bz −By

−Ey −Bz 0 Bx

−Ez By −Bx 0









T^µν =









−w −¹_c·Sx −¹_c ·Sy −¹_c·Sz

−¹_c ·Sx Txx Txy Txz

−¹_c ·Sy Tyx Tyy Tyz

−¹_c ·Sz Tzx Tzy Tzz









Fµν =









0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 Bz −By

Ey −Bz 0 Bx

Ez By −Bx 0









Tµν =









−w ¹_c ·Sx 1

c ·Sy 1 c ·Sz 1

c·Sx Txx Txy Txz 1

c·Sy Tyx Tyy Tyz 1

c ·Sz Tzx Tzy Tzz









Die Gr¨oßen in den Matrizen sind alle wie auf den vorhergehenden Seiten.

Die Verwendung dieses Kompendiums f¨ur Klausuren und andere Pr¨ufungen ist nicht gestattet.

AGeS-Kompendium Zeitabh¨angige elektromagnetische Felder Seite 8

Retardierte Potentiale

• skalares Potential:ϕ(~r, t) =t d³r⁰

%

„

~r⁰,t−|~r−~r0|

c

«

|~r−~r⁰|

• Vektorpotential:A(~~r, t) =t d³r⁰

~

„

~r⁰,t−|~r−~r0|

c

«

|~r−~r⁰|

Multipolentwicklung eines Strahlungsfeldes

Gegeben sei eine lokalisierte Strom- und Ladungsverteilung um~r= 0 mit weit entferntem Beobachter.

• Skalarpotential:ϕ(~r, t) =−divh

1 r·³

~p(t⁰) +m(t~ ⁰)×~er+¹_c ·^↔˙ q(t⁰)·~er

´i

+ const.(~r)

• Vektorpotential:A(~~r, t) = _cr¹ ·³

~p(t˙ ⁰) + ˙m(t~ ⁰)×~er+¹_c ·↔¨ q(t⁰)·~er

´

mitt⁰=t−^r_c

• magnetisches Feld:B(~ ~r, t) = _c2¹r·

·³

~p(t¨ ⁰)×~er

´×~er+~er×m(t~¨ ⁰) +_3c¹ · µ...

↔

Q(t⁰)·~er×~er

¶

×~er

¸

• elektrisches Feld:E(~~r, t) = _c¹2r·

·

~p(t¨ ⁰)×~er+³

~¨

m(t⁰)×~er

´×~er+_3c¹ · µ...

↔

Q(t⁰)·~er×~er

¶¸

• Zusammenhang zwischen den Feldern:E~ =~er×B~ undB~ =E~ ×~er

Li´ enard-Wiechert-Potentiale

Eine Punktladung q bewege sich auf der Bahnkurve~r_q(t) mit der Geschwindigkeit ~v_q(t) = _dt^d~r_q(t). Es werden die Abk¨urzungenR(t) =~ ~r−~rq(t) undt⁰=t−|^{R(t~ 0)}|

c verwendet.

• Potentiale:ϕ(~r, t) = ^q

|^{R(t~ 0)}|⁻¹c·R(t~ ⁰)·~vq(t⁰) undA(~~r, t) = ^q·~vq(t0)

c·|^{R(t~ 0)}|^{−R(t~ 0)·~v}q(t⁰)

• Felder: B(~ ~r, t) = ^{R(t~ 0)}

|^{R(t~ 0)}| ×E(~ ~r, t) undE(~ ~r, t) =q·h¯

¯

¯ R(t~ ⁰)¯

¯

¯−^~vq(t_c⁰⁾·R(t~ ⁰)i−3

·

·

·³

1−^~vq(t_c2⁰⁾²

´· µ

R(t~ ⁰)−^~vq(t

0)·|^{R(t~ 0)}|

c

¶

+_c¹₂ ·R(t~ ⁰)×

·µ

R(t~ ⁰)−^~vq(t

0)·|^{R(t~ 0)}|

c

¶

×~v˙_q(t⁰)

¸¸

AGeS-Kompendium Elektrodynamik in Materie Seite 9

Materialgr¨ oßen

• Polarisation:P~ = ^↔χ_e·E~ mit elektrischer Suszeptibilit¨at ^↔χ_e

• dielektrische Verschiebung:D~ =E~ + 4π·P~ = ^↔ε ·E~ mit Dielektrizit¨atskonstante ^↔ε =^↔1 + 4π· ^↔χ_e

• Magnetisierung: M~ = ^↔χ_m·H~ mit magnetischer Suszeptibilit¨at ^↔χ_m

• Magnetfeld: H~ mit B~ =H~ + 4π·M~ = ^↔µ ·H~ mit Permeabilit¨at ^↔µ =^↔1 + 4π· ^↔χ_m

• Leitf¨ahigkeit: ^↔σ mit~ = ^↔σ ·E~ (nicht f¨ur Supraleiter)

Maxwellgleichungen in Materie

.

.rotE~ =−¹_c ·^{∂ ~}_∂t^B Faradaysches Induktionsgesetz .

.divD~ = 4π·% Gaußsches Durchflutungsgesetz .

. rotH~ = ¹_c ·^{∂ ~}_∂t^D+^4π_c ·~ Durchflutungsgesetz von Oersted und Amp`ere .

.divB~ = 0 Ausschluss magnetischer Monopole

Wichtige Folgerungen

• Dispersionsrelation f¨ur Wellen:ω= ^√c_ε·µ·|k|~

• Feld eines Permanentmagneten:H~ =−gradφmitφ=−R∞

−∞d³r^0div_|~r−^M~_~r^(~r0|⁰⁾ =v

S(V)df~⁰·^M_|~r−^~(~r_~r⁰0⁾|−R

V d³r^0div_|~r−~r^M~(~r0|⁰⁾

• Energiebilanz: divS~+_∂t^∂ (wel+wmagn) =−σ·E~² Hierbei sind

• S~ =_4π^c ·E~ ×H~ der Poynting-Vektor

• wel=_8π^ε ·E~² die elektrische Feldenergie

• wmagn= _8π^µ ·H~² die magnetische Feldenergie

Grenzbedingungen

An der Grenzfl¨ache (Fl¨achennormale~n, beliebige Tangente~t) zwischen zwei Materialien gilt:

• ~n·³

D~₂−D~₁´

= 4π·%_F – Die Normalkomponenten des D-Feldes sind unstetig.~

• ~t·³

E~2−E~1

´

= 0 – Die Tangentialkomponenten desE-Feldes sind stetig.~

• ~n·³

B~₂−B~₁´

= 0 – Die Normalkomponenten desB-Feldes sind stetig.~

• ~t·³

H~2−H~1

´

= ^4π_c ·~_F·~t– Die Tangentialkomponenten desH-Feldes sind unstetig.~ Hierbei sind%_F und~_F die Fl¨achenladungs- bzw. Fl¨achenstromdichte auf der Oberfl¨ache.

Die Verwendung dieses Kompendiums f¨ur Klausuren und andere Pr¨ufungen ist nicht gestattet.

AGeS-Kompendium Stromkreise Seite 10

Bauteilparameter

• Widerstand eines Leiters: R= _σ·A^l (L¨angel, QuerschnittA)

• elektromotorische Kraft einer Stromquelle: ε=R+

− E~^(e)d~r(Integral der eingepr¨agten Kraft der Quelle)

• Ohmsches Gesetz bei Anwesenheit von Stromquellen:~ = ^↔σ ·³

E~ +E~^(e)´

S¨ atze f¨ ur Stromkreise

Ein Stromkreisnetzwerk enthalte nur Stromquellen und Widerst¨ande.

• Knotensatz: PI= 0

• Maschensatz:P

R·I=P ε

• Energiesatz: P

R·I²=P ε·I

Kapazit¨ at

• Kapazit¨at eines Leiters:C= _ϕ^Q

0 (ϕ0auf der Leiteroberfl¨ache)

• Kapazit¨atskoeffizienten eines Systems von Leitern:Q_α=P

βC_αβ·ϕ_β

• Kapazit¨at eines Kondensators:C=_ϕ ^Q

1−ϕ2 (Qauf einem der beiden Leiter,ϕ_i auf den Leiteroberfl¨achen)

• elektrische Energie:W_el=¹₂·P

α,βC_αβ·ϕ_α·ϕ_β