Fay
Lineare Algebra und !ineare Optimierung
Lineare Algebra
und lineare Optimierung
Mathematische Grundlagen und Beispiele zur linearen Programmierung
von
Franz Josef Pay
Studiendirektor am Ruhr-KoUeg, Essen
Dozent fUr Wirtschaftsmathematik an der Fachhochschule, Bochum
Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler - Wiesbaden
ISBN-13: 978-3-409-95304-7 e-ISBN-13: 978-3-322-84386-9 DOl: 10.1007/978-3-322-84386-9
Copyright by BetriebswirtschaftUcher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1971
Vorwort
Bei der Behandlung linearer Optimierungsprobleme werden mathematische Kenntnisse benotigt, ilber die mancher Leser noch von seiner Schulzeit her ver- filgen wird. Er kann dann der Losung der gestellten Probleme im nachfolgen- den Abschnitt der Linearplanung wo~l ohne groj3ere Schwierigkeiten folgen.
Den weitaus meisten Lesern wird aber die dort verwendete Symbolik der Mengenlehre noch nicht geliiufig sein. Deshalb wird im ersten Kapitel eine Ein- filhrung in die Mengenlehre gegeben. Sie wird nur so weit getrieben, als Sprache und Symbolik der Mengenlehre in den spiiteren Ausfilhrungen der Linearplanung Verwendung finden. Es muj3 insbesondere der Begriff der Er-
filllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen verstiindlich werden.
Viele Benutzer dieses Buches werden dankbar sein, wenn in einem zweiten Kapitel diejenigen Grundbegriffe aus der Gleichungs- und Ungleichungslehre und aus der Funktionentheorie aufgefrischt und zusammenfassend dargestellt werden, die in den Rechnungen und Zeichnungen der Linearplanung auf- treten.
Die Behandlung von linearen Gleichungssystemen gibt Veranlassung, dem Leser eine Einfilhrung in die Determinantenlehre anzubieten. Da Determinanten und Matrizen in der WirtschaJtstheorie immer hiiufiger benutzt werden, dilrfte auch dieses Kapitel vie len Benutzern des Buches willkommen sein. Die Beherrschung des Rechnens mit Determinanten ist aber nicht Voraussetzung filr das Ver- stiindnis der nachfolgenden Ausfilhrungen ilber Linearplanung.
In der zweiten AUflage wurde dem vielfach geiiuj3erten Wunsch nach einer Behandlung der Matrizenrechnung durch den Einbau eines eigenen Abschnitts entsprochen. Das Schluj3kapitel wurde neu gefaj3t und wesentlich erweitert:
Das in dies em Buch entwickelte rein rechnerische Verfahren der LinearEm Optimierung wird als "Kombinationsmethode" ausdrilcklich formuliert und an manuell berechneten Beispielen mit zwei und drei Varia bIen dargestellt. Dem folgt der Bericht ilber die Berechnung eines nach der Kombinationsmethode programmierten Beispiels durch einen Computer. Abschliej3end wird ein ver- gleichender Ausblick aUf die -Simplexmethode gegeben, wobei die beiden Ver- fahren gegeneinander abgegrenzt werden.
F. J. Fay
Inhaltsverzeichnis
A. Lineare Algebra . . . 5
I. Grundbegriffe der Mengenlehre zur Behandlung von Gleichungs-
und Ungleichungssystemen . . . 5
1. Definition des Mengenbegriffs . . 5
a) Der Mengenbegriff von Cantor 5
b) Beispiele fiir Mengen . . . . 6
2. Operationen mit Mengen . . . 7
a) Der Durchschnitt von Mengen 7
b) Die Vereinigung von Mengen 7
3. Erfiillungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen 8 a) Regeln fUr das Umformen von Gleichungen und Ungleichungen 8 b) ErfUllungsmengen von Gleichungen . . . 11
c) Erfiillungsmengen von Ungleichungen und ihre graphische
Darstellung . . . . . . 12 4. Die Erfiillungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssyste-
men als Durchschnitt der Erfiillungsmengen der einzelnen Glei- chungen und Ungleichungen . . . 15 a) Systeme von linearen Gleichungen mit zwei Variablen . . . . 15 b) Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen und ihre
graphische Darstellung . . . 17 c) ttbungsbeispiele . . . . . . 18 II. Die Losung von Gleichungen und Gleichungssystemen 19
1. Rechnerische Losung von linearen, quadratischen und kubischen Bestimmungsgleichungen mit einer Unbekannten 19
a) Die lineare Gleich.ung . . . 19
b) Die quadratische Gleichung . . . 19 c) Die kubische Gleichung . . . 20 2. Graphische Losung von Gleichungen mit Hilfe von Funktionen
und Kurven . . . 21 3. Die Gleichung und die Steigung der Geraden . . . 22 4. Methoden zur Losung von zwei Gleichungen mit zwei Unbe-
kannten . . . . . . .. 25 5. Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten 26 III. Einfiihrung in die Determinantenrechnung . . . 28 1. Schreibweise fUr lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten 28 2. Eine Gleichung mit einer Unbekannten . . . 29 3. Die Auflosung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und
die Definition der Determinanten zweiter Ordnung . . . 29
4. Die Determinante dritter Ordnung bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten und die Sarrussche Regel . . . 33 5. Die Determinante n. Ordnung und die Cramersche Regel 35 6. Siitze tiber Determinanten . . . . . 36 a) Spiegelung an der Hauptdiagonalen . . . 36 b) Multiplikation mit einer Konstanten . . . .. 37 c) Addition des Vielfachen einer Reihe zu einer anderen Reihe 37 7. Bestimmung des Wertes von Determinanten beliebiger Ordnung
mit Hilfe der Adjunkten . . . 39 8. Ubungsbeispiele fUr dreireihige Determinanten 41 9. Beispiel fUr eine Determinante 4. Ordnung 42 IV. EinfUhrung in die Matrizenrechnung . . . 43 1. Systemmatrix eines linearen Gleichungssystems 44
2. Definition der Matrix . . 44
3. Die transponierte Matrix 45
4. Die Gleichheit von Matrizen 46
.5. Die ~umme und die Differenz von Matrizen 46
~. Das Matrizenprodukt 47
a) Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl 47 b) Das Produkt aus zwei einreihigen Matrizen . 48 c) Das skalare Produkt . . . 50 d) Das Produkt aus einer Matrix und einer Spaltenmatrix 50 e) Das allgemeine Matrizenprodukt - Das Produkt aus zwei
miteinander verketteten Matrizen 53
f) Beispiele . . . .. 54 B. Lineare Programmierung . . . 58 I. EinfUhrungsbeispiel aus der Landwirtschaft . . . 58
1. Aufstellung des Ungleichungssystems und seine geometrische Veranschaulichung . . . 58 2. Die Geradenschar der Zielfunktion . . . . 60 3. Geometrische und rechnerische Bestimmung der optimalen
L6sungen . . . 60
II. Ein Transportproblem . . . 62
1. Ermittlung der Zielfunktion . . . 62
2. Bestimmung des Kostenminimums 63
3. Bestimmung eines Gewinnmaximums . 64
III. Ein Beispiel aus einem ProduktionsprozeB 65 IV. Beispiel mit 3 Variablen, zuruckfUhrbar auf 2 Variable 68 V. Mathematisches Zahlenbeispiel . . . 71
VI. Der Hauptsatz der Linearplanung . . . 7Z 1. Die konvexe Punktmenge und das konvexe Polygon als Bild
eines linearen Ungleichungssystems . . . . 72 2. Der Hauptsatz und sein Beweis . . . 73 VII. Herleitung eines Rechenverfahrens ohne geometrische Veranschau-
lichung . . . ., . . . 75 1. Zeichnerischer Weg . . . 76 2. Entwicklung des Rechenverfahrens aus den Erkenntnissen des
zeichnerischen Vorgehens 77
3. Rechnerischer Weg 78
VIII. Linearplanung mit drei Variablen 79
1. Die Moglichkeit der geometrischen Veranschaulichung im Raum 79 2. Losung eines Beispiels auf rechnerischem Weg . . .
3. Geometrische Interpretation . . . . IX. Die Kombinationsmethode und die Losung von Problemen mit
n Variablen . . . . 1. Die Methode der vollstandigen Kombination . 2. Beispiele
a) Beispiel mit zwei Variablen . . . . b) Beispiel mit drei Variablen . . . .
3. Programmierung und Losung linearer Optimierungsprobleme nach dem Kombinationsverfahren unter Computereinsatz 4. Das Simplexverfahren von G. B. Dantzig
Litera turverzeichnis
80 81
83 83 85 85 86
87 89 91
