Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 6: Koordinatentransformation, Wiederholung Gleichungs- systeme
1. Ein Koordinatensystem x
1, x
2, x
3(x,y,z) wird zuerst um die x
1-Achse um 45
ogedreht. Es entsteht das Koordinatensystem x
∗1, x
∗2, x
∗3. Danach wird x
∗1, x
∗2, x
∗3umd die x
∗3-Achse um 30
ogedreht, es entsteht das Koordinatensystem x
01, x
02, x
03.
(a) Wie lautet die Transformationsmatrix, die Vektoren aus dem KS x
1, x
2, x
3direkt nach x
01, x
02, x
03¨
uberf¨ uhrt?
(b) Gegeben sei der Vektor ~b =
0 1
−1
im Koordinatensystem x1, x
2, x
3 . Wie lauten seine Koor- dinaten im Koordinatensystem x
01, x
02, x
03?
(c) Gegeben sei der Vektor c ~
∗=
1 0 2
im Koordinatensystem x∗1, x
∗2, x
∗3. i. Wie lauten seine Koordinaten im Koordinatensystem x
01, x
02, x
03? ii. Wie lauten seine Koordinaten im Koordinatensystem x
1, x
2, x
3? 2. L¨ osen Sie das folgende Gleichungssystem.
3x
2− 5x
3+ x
4= 0
−x
1− 3x
2− x
4= −5
−2x
1+ x
2+ 2x
3+ 2x
4= 2
−3x
1+ 4x
2+ 2x
3+ 2x
4= 8 3. Gegeben sei das folgende von a, b ∈ IR abh¨ angige Gleichungssystem.
x
1− ax
2− x
3= 2
3x
1+ 5x
2= −1
2x
2− 6x
3= 14b (a) F¨ ur welche(s) a, b ∈ IR besitzt das Gleichungssystem
i. genau eine ii. keine
iii. unendlich viele L¨ osungen?
(b) L¨ osen Sie falls m¨ oglich das Gleichungssystem f¨ ur i. a = 5, b = 0
ii. a = −2, b = 1
Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 6: L¨ osungen
1. (a) Q = Q
3(30
o) · Q
1(45
o) =
√3 2
√2 4
√2 4
−
12√ 6 4
√ 6 4
0 −
√ 2 2
√ 2 2
(b) b ~
0=
0 0
− √ 2
(c) i. ~ c
0=
√3 2