Lineare Algebra (Kapitel 3) Pr¨ufungsvorbereitung Aufgabe 3.1

Lineare Algebra (Kapitel 3) Pr¨ufungsvorbereitung

Aufgabe 3.1

Gegeben: A=





5 −3 4 −7 3

2 4 0 1 6

−4 0 2 9 7





(a) Welche Dimension hat die Matrix A?

(b) a_2,3 = ? (c) a_3,2 = ? (d) a_4,5 = ? Aufgabe 3.2

Gegeben: Matrizen A,B,C und D mit

• dim(A) = 3×4

• dim(B) = 4×3

• dim(C) = 3×2

• dim(D) = 1×4 Welche Dimenision hat der Matrixterm, sofern er ¨uberhaupt definiert ist.

(a) A·B (b) B·A

(c) A·A^T ·C

(d) B·C (e) C·D (f) (D^T ·D)¹⁰ Aufgabe 3.3

Stelle das Gleichungssystem 5x1 −x2 + 4x4 = 8

−2x₂+ 3x₃ + 6x₄ = 0 x₁+ 9x₂−7x₃ =−1

kompakter in Matrixform dar und schreibe die Elemente aller beteiligten Matrizen auf.

Aufgabe 3.4

Berechne die Spur der folgenden Matrizen

(a)





1 5 3 2 7 0 4 9 −1



 (b)





1 5 3 2 7 0 4 9 −1





T

(c)





2 1 3 7

5 0 0 1

0 −3 2 6





Aufgabe 3.5

Berechne mit den Matrizen A=

1 0 3 0 4 2

B =



 2 1

−1 1 1 2



 C = 1 0

0 2

die folgenden Ausdr¨ucke, sofern diese definiert sind.

(a) 2A+B^T (b) AB

(c) BA

(d) A^TB^T (e) tr(C) (f) tr(BC) Aufgabe 3.6

Berechne f¨urA =





0 0 1 3 0 2 1 0 0



 ohne Taschenrechner die Potenz A¹⁰⁰.