Kapitel 22
Rotation und so
Hat man ein VektorfeldA~ und eine geschlossene Kurve , nennt man das Integral U =
I A~·d~s (22.1)
die Zirkualation von A~ l¨angs . Die Zirkulation misst soetwas wie die Wirbeligkeit eines Vektorfeldes.1
SeiF"ein Rechteckfl¨ache mit Mittelpunkt in~x, Orientierung~n, Seitenl¨angen "a,"b,
entsprechendem Fl¨acheninhalt F" = "2ab. Die Rotation eine Vektorfeldes A~ im Punkt~x= (x, y, z)T ist dann erkl¨art
~
n·rotA(x, y, z) := lim~
"!0
1
F"
I
@F"
A~·d~s , (22.2)
1In der Elektrodynamik heißt die Zirkulation des elektrischen Feldes seineRingspannung.
278 Rotation und so wobei mit @F" die Randkurve von F" gemeint ist. Das sieht kompliziert aus, aber wir zeigen gleich
rotA~ = 0 BB BB B@
@A3
@z
@A2
@A1 @y
@z
@A3
@A2 @x
@x
@A1
@y 1 CC CC CA
. (22.3)
Per Konstruktion ist rotA~ ein Vektorfeld, genannt das Wirbelfeld vonA, der Wert~ in einem bestimmten Punkt genannt die Wirbelst¨arke vonA~ in diesem Punkt.
Wir legen F" parallel zurXY-Ebene auf H¨ohez, d.h.~n=~e3, und also Berechnung von (rotA)~ 3 ⌘~e3·rotA. Das Konturintegral () ist dann Summe von gew¨ohnlichen~ Integralen,
I
@F"
A~·d~s=
Z "a2
"a2
A1(x+⇠, y "b 2, z)d⇠
Z "a2
"a2
A1(x+⇠, y+"b 2, z)d⇠
+
Z "a2
"a2
A2(x "a
2, y+⌘, z)d⌘
Z "a2
"a2
A2(x+"a
2, y+⌘, z)d⌘
= "b
Z "a2
"a2
@A1(x+⇠, y, z)
@y d⇠+"a
Z "a2
"a2
@A2(x, y+⌘, z)
@x d⌘+O("2)
= "2ab@A1(x, y, z)
@y +"2ab@A2(x, y, z)
@x +O("3). (22.4) Nach Division durch den Fl¨acheninhalt, im Limes "!0
(rotA)~ 3= @A2
@x
@(A1
@y , (22.5)
wie versprochen. Das kann auf die verbleibenden Richtungen leicht ¨ubertragen wer- den, womit () bewiesen w¨are.
Rechenregeln
rot⇣
A~+B~⌘
= rotA~+ rotB ,~ (22.6)
rotcA~ = crotA~ (22.7)
rot⇣ A~⌘
= rotA~+ (grad )⇥A~ (22.8) N¨utzliche Merks¨atze, die man durch Nachrechnen leicht beweist, sind:
• Gradientenfelder sind wirbelfrei,
rot (grad ) = 0 (22.9)
• Wirbelfelder sind quellfrei,
div⇣ rotA~⌘
= 0 (22.10)
Ebenso n¨utzlich die Konsequenzen
• istA~wirbelfrei, rotA~ = 0, dann istA~Gradientenfeld, d.h. es gibt ein Skalarfeld , so dassA~ = grad .
• istB~ quellfrei, divB~ = 0, dann istB~ Wirbelfeld, d.h. es gibt ein VektorfeldA~ so dassB~ = rotA.~
Im Kontext der Elektrodynamk, beispielsweise, ist das elektrostatische Feld E~ wir- belfrei, und das Skalarfeld inE~ = grad (Vorzeichen ist Konvention) ist das sog.
Potential. F¨urderhin ist das Magnetfeld B~ quellfrei, divB~ = 0, und das Vektorfeld inB~ = rotA~ ist das sog.Vektorpotential.
280 Rotation und so
22.1 Div Grad Rot und der Vektordi↵erential- operator r ~
Im Zusammenhang mit Gleichung () wurde schon herausgeareitet, dass die partiellen Ableitungen nach kartesischen Koordinaten sich unter Drehungen des Koordinaten- systems wie die Koordinaten eines Vektors transformieren.
Auf den Spuren Maxwells f¨uhrt man einen vektor-wertigen Di↵erentialoperator ein, r~ =~eX
@
@x +~eY
@
@y +~eZ
@
@z (22.11)
von William Robertson Smith getauft Nabla, nach der Bezechnung f¨ur eine antike Harfe.
Unter Verwendung der ¨ublichen Regeln der Vektorrechdnung das Skalar- und Kreuz- produkt betre↵end, lassen sich Gradient, Divergenz und Rotation notieren
r~ ⌘ grad Vektor
r~ ·A~ ⌘ divA~ Skalar r ⇥~ A~ ⌘ rotA~ Vektor
(22.12) Nabla ist einerseits Vektor, andererseits Di↵erentialoperator – also “Hungry for so- mething to di↵erentiate” (James Jeans). Man kann alos Nabla wie einen Vektor behandeln – aber nur fast. Insbesonder ist r ⇥~ r~ nicht Null, wie es f¨ur gew¨ohnliche Vektoren der Fall w¨are, sonderen
r ⇥~ ⇣
r ⇥~ A~⌘
=r~ ⇣ r~ ·A~⌘
A~ (22.13)
worin
⌘r~2 = @2
@x2 + @2
@y2 + @2
@z2 (22.14)
der sog. Laplaceoperator.
22.2 Aufgaben
. Aufgabe 22-1
Gegeben zwei VektorfelderA(x, y, z) =~ x~eX +y~eY und B(x, y, z) =~ y~eX+x~eY. (a) Skizzieren Sie die beiden Vektorfelder.
(b) Bestimmen Sie die Quellen- und Wirbelfelder der beiden Vektorfelder, und machen Sie sich davon jeweils ein Bild.
(c) Gegeben eine ebene geschlossene Kurve deren Spur in derXY-Ebene gelegen ein Quadrat mit Mittelpunkt im Ursprung und Seitenl¨ange a. Berechnen Sie jeweils die Zirkulation der beiden Vektorfelder. Was erhalten Sie im Falle einer kreisf¨ormigen Spur (Mittelpunkt im Ursprung, Radius a)?
. Aufgabe 22-2
Sei~afester Vektor. Skizzieren Sie das Vektorfeld A(x, y, z) =~ ~a⇥~x, berechnen Sie sein Wirbelfeld rotA~ und machen sich davon ein Bild. Kombinieren Sie Ihre L¨osung mit der L¨osung aus Aufgabe 21-4.
. Aufgabe 22-3
Sei~afester Vektor undr =p
x2+y2+z2. Skizzieren Sie das VektorfeldA(x, y, z) =~ r~a, berechnen Sie sein Wirbelfeld rotA~ und machen sich davon ein Bild. Kombinieren Sie Ihre L¨osung mit der L¨osung aus Aufgabe 21-5.
. Aufgabe 22-4
282 Rotation und so F¨ur das Vektorfeld A(x, y, z) =~ ~x zeigen man die Wirbelfreiheit, rotA~ = 0. Wir- belfreiheit bedeutet, dass A~ eine Darstellung als Gradientenfeld gestattet, A~ = . Konstruieren Sie .
. Aufgabe 22-5
Beweisen Sie die Identit¨at r ⇥~ ⇣
r ⇥~ A~⌘
=r~ ⇣ r~ ·A~⌘
A.~
. Aufgabe 22-6
Berechenen Sie das Quellenfeld und das Wirbelfeld des Vektorfeldes A~ =⇣ r~ ⌘
⇣ ⇥ r~ ⌘
.
. Aufgabe 22-7
Seien A~ und B~ quellen- und wirbelfreie Vektorfelder. Welche Quellen und welche Wirbel hat das Vektorfeld A~⇥B?~
