und die Integrationen J und f sich auf die äussere vesp. die

2 0 0 T h e i l . Viertes Kapitel. § 3 1 .

und die Integrationen J und f sich auf die äussere vesp. die

a i

innere Begrenzung beziehen. Aehnliche Gleichungen erhält man oifenbar für die Darstellung von f durch obige Reihen, die nach Cosinus der Vielfachen von 6 oder den Differentialquotienten der- selben geordnet sind.

Man bemerke noch die Formeln des Herrn C a r l N e u m a n n :

Jf"'(z)Qn(Z)ch = 0 , (ji < v )

Zill

0* = "), 2 » + 1

wenn über die Peripherie einer Ellipse in positiver Richtung in- tegrirt wird; und

f r & p \ * ) d s = /bm(z)Q\z)dz = o ,

es mögen m und n gleiche oder ungleiche ganze positive Zahlen sein.

V i e r t e s K a p i t e l . Zugeordnete Functionen.

§ 46. Aus der Darstellung von P durch das Integral von L a p l a c e folgt unmittelbar, dass die Function P"(x) der Mittel- werth von

(x - f c o s <p.\!xl—\)'1

zwischen cp — 0 und cp — rc sei, d. i. das von cp unabhängige Glied in der Entwickelung jener Potenz nach Cosinus der Vielfachen von r p. In Folge von (5, ä) auf S. 36 muss dasselbe, w e n n x p o s i t i v u n d z u g l e i c h n i c h t r e i n i m a g i n ä r ist, auch für die Function

(x + cosrf. 1)

gelten. Während wir bisher nur über das von <p unabhängige Glied handelten, werden jetzt die übrigen Glieder der Entwicke- lung und zwar als z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n e r s t e r A r t ein- geführt.

Die Entwickelung der positiven »

,pn

Potenz des Binoms in eine trigonometrische Reihe finde ich *) mit Hülfe der Transfor-

*) Dissertatio i n a u g u r a l i s 1842; § 8.

§46, 32.

Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n .

201 mation

x + c o s ^ . y V - l = ^ ' i t

^{1 5}

* = e ' f . i ^ - l .

Entwickelt man vermittelst des T a y l o r ' s e h e n Lehrsatzes nach Potenzen von z, setzt auch zur Abkürzung {x

^>

—\)

ⁿ

= u, so entsteht

2-(*+cos <p.yx--iy =

^{m I l v}

. , ;

^{m n}

+ + ^

+ n(u—\) dx' ^{r i} " "' + 77(0)

Bei den untereinander stehenden v"'

n

Gliedern (0 < v w), welche, wenn man für s seinen Werth einsetzt, sind

t><r<P-l / . _ . . p — irip±l C n(n + v) n ( n — v) f / x » - " '

müssen der Factor von cosi^-f^si

¹¹

'""/' im ersten und cosj'y—¿sinv^

im zweiten einander gleich werden, damit nicht der Cosinusreihe auf der Rechten noch eine Sinusreihe hinzutrete, welche mit tp ihr Zeichen ändert, während die linke Seite bei dieser Vertauschung ungeändert bleibt. Man hat also einen neuen Beweis der J a c o b i - schen Gleichung ( f ) auf S. 105

1 d"-' ( x ' - i y _ (x~—l)

¹

' d" 1)»

77(m— v) dx'- ' ¡ [ { I I ; rl dx' ' und ausserdem d i e g e s u c h t e F o r m e l

(32) ... 2 - ' ( * + c o s , , . , , ' 1)' = ¿ ' ^ ^ * ' 2 t

in d e r u n t e r d e m S u m m e n z e i c h e n v a u c h mit —v v e r t a u s c h t w e r d e n k a n n .

Eine zweite Form findet man durch Einführung von P" durch (3) auf der rechten Seite, nämlich

- - " 11 i V ,1' />' i ri

(32, a) . . . (s + cosy. i - V - 1 ) « = ,- •• ^ ¡ F cos vcp.

77

(m -f-

v) dx

¹

Endlich kann man auch die ganze Function des § 32 ein- führen. Dann nimmt die rechte Seite von (32) die beiden folgen- den Formen an

(32, c) . . . 2 - 7 7

*) D u r c h bezeichne ich im F o l g e n d e n eine S u m m e n a c h y, in der von i ' « 0 a n s u m m i r t , das Glied, welches i> = 0 e n t s p r i c h t , a b e r h a l b g e n o m m e n wird.

202

I. Theil. Viertes Kapitel.

§ 47, 32.

Die Formeln, welche den Zusammenhang der hier vorkommenden Stüeke gelben, sind

n(n + v) rf—"(a;'-1)"

2

_ JT(«-y) d"+

y

(a?'-l)»

U

"' Il(2n) dx»-"

^;

JT(2m) d®»+»' ' (c) • • • = #">(.) = ^ , - , l-n,

(d)... (x-~i)-i> = (x'—iy

Die Formel (a) setzt ein positives v voraus, welches aber von be- liebiger Grösse, a u c h g r ö s s e r a l s n sein kann; in (6), (c), (d) darf v positiv oder negativ genommen werden, nicht aber n über- schreiten.

§ 47. Es bleibt noch die Aufgabe übrig, welche J a c o b i ge- löst hat*), die — (w-f-l)

,e

Potenz des Binoms in eine trigonometri- sche Eeihe zu entwickeln. Statt einer solchen Potenz behandeln wir zunächst den Fall, dass der Exponent, der dann mit a be- zeichnet werden soll, weder eine positive noch negative g a n z e Zahl vorstellt, übrigens beliebig ist. Die Modificationen, welche eintreten, wenn man schliesslich für a eine negative ganze Zahl setzt, werden zum Schluss betrachtet. Der letzte Fall allein ist für die Theorie der Kugelfunctionen von Wichtigkeit, während der erste bei anderen Untersuchungen, z. B. über elliptische Integrale, wo a = — j , Interesse darbietet.

Bei d i e s e r U n t e r s u c h u n g b e z e i c h n e t cp eine r e e l l e G r ö s s e , x e i n e G r ö s s e mit p o s i t i v e m r e e l l e n T h e i l e .

Wie oben wird auch hier % eingeführt, und man erhält

(a) ... (x ^{+ cos} cp . 1)" = (2s)-" [(x + ^1]», (z = ^e*> . j /ä^I).

Dieser Ausdruck lässt sich in eine nach auf- und absteigenden ganzen Potenzen von a geordnete Eeihe entwickeln.

Den Arbeiten von C a u c h y verdankt man man den Satz von fundamen- taler Wichtigkeit, nach welchem jede Function einer Grösse z, welche synektisch (d. h. continuirlich, monodrom und monogen) in einem Kreise bleibt, der mit dem Radius a um den Anfangspunkt 3 = 0 beschrieben ist, sich für alle Punkte im Kreise in eine nach Potenzen von z aufsteigende Reihe entwickeln lässt. Bleibt ferner eine Function von s synektisch, so lange <M(z) ^> b, ^so kann man sie in eine nacli Potenzen von z absteigende Reihe entwickeln für

*) G r e l l e , Journal f. M. Bd. 26: Ueber die Entwickelung etc. S. 83.

§ 4 7 , 3 2 . Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n . 2 0 3 alle Punkte z, die ausserhalb dieses Kreises liegen. Bleibt endlich die Function synektisch, so lange zwischen a und b liegt, so lässt sie sich in diesem Falle nach auf- und absteigenden Potenzen von z entwickeln.

Eine Entwickelung nach auf- oder absteigenden ganzen Potenzen von 3 kann bekanntlich nur auf eine Art geschehen. Dasselbe ist noch der Fall, wenn die Reihe auf- und absteigende Potenzen von z enthält. Denn eine der- artige Reihe ist nur dann Null für alle VVerthe von z, deren Modulus zwischen a und 6 liegt, wenn alle Coefficienten Null sind. Setzt man zum Beweise

z = Q(C.OScp + ¿ s i n g ) ) , (A < Q < B), so wird angenommen, dass von cp = 0 bis cp = 2n sei

0 = 2(CyQV + Xy Q~") COS VCp + ()" Xy ^ " ^ S i l l J> ( f , also für jedes ganze v

CyQ" - { - X , = 0, CyQ" XyQ-'' = Oj hieraus folgt c^v = 0, x^y = 0.

Ilm diese Sätze auf das vorliegende Binom anzuwenden, zerlegt man dasselbe in

0 (-3 + 1 ) 0 + 3 — l ) . ; -1.

Dieses wird im Endlichen unendlich für z = 0 , und verschwindet für 3 = 1 — x und s = — 1 — x. Da cp hier einen reellen Winkel bezeichnet, so wird ^c f l z — ⁱ K \ x 'ⁱ— 1 und liegt zwischen den Moduln ^t { ¿ ( x — 1) und

t/(C(x-{-\), von denen nach unserer Festsetzung über das Zeichen von x, der erstere der kleinere ist. Die Function, welche entwickelt werden soll, die al e Potenz der obigen rationalen Function von 3, kann demnach zwischen zwei Kreisen mit den Radien a = ⁽ /¿(x — 1), b = ^c /¿T(o; + 1 ) nicht verschwinden, ist auch monodrom, obgleich der Zähler und der Nenner im Kreise mit dem Radius a je einmal verschwinden, da a l o g ( . c + 3 — 1) und — a l o g j bei einer Umkreisung des Nullpunktes im Kreisringe, um 2ani resp. —l a n i wachsen.

Man kann demnach setzen:

(b) . . . l ( s + s )a- l ] " = ( 2 a ) ° 1 V - - - a

Dividirt man (6) durch z" und setzt für z seinen Werth aus (a), so müssen die Glieder auf der Rechten, welche Sinus der Viel- fachen von (p enthalten, fortfallen, woraus sich ergiebt

(c)

. . . C_„ = (x~

1

y cy.

Ferner ist c

⁰

offenbar das von cp unabhängige Glied in der Ent- wickelung der a

^,e

" Potenz von x + c o s < j p . 1 . Bezeichnet man dasselbe mit P"(x), so h a t m a n z u n ä c h s t

(d) . . . c

⁰

= P

^a

(x) =

¹

j ' \ x + cos cp. -ff—1)- dcp.

u

Die Methode von J a c o b i zur Bestimmung der c

^y

, welche Con-

stante in Bezug auf 3 aber Functionen von x sind, beruht darauf,

204

I. Theil. Viertes Kapitel.

§47, 32.

dass der Ausdruck auf der Linken, also auch auf der Rechten von (6) eine Function von x-\-z ist, daher v mal nach x differen- tiirt dasselbe giebt wie vmal nach a differentiirt. Setzt man darauf in den rechten Seiten, welche so entstanden sind, die Faktoren der a

l e

" Potenz von z einander gleich, so findet man für ein positives v

( e )

- " ^ = (« + ! ) ( « + 2 ) - - . (« + ")",.

Es sind also die Coefficienten c der Reihe (b) bekannt u n d m a n e r h ä l t d i e G l e i c h u n g (32, d)

( x - f -

cosijd.

¡ V — 1 ) "

= 2 / / ( « ) i ' cos**.

Diese Gleichung, welche (32, a) vollkommen entspricht, lässt sich auch auf eine Form wie (32, i>) bringen, wo P" eine hyper- geometrische Reihe ist, wie auf S. 202 unter (c), vorausgesetzt, dass

c

/ ^ ( a ; ) > 1. Es besteht auch eine solche Beziehung zwischen

und wie in (d) auf S. 202, was aus der Bemerkung ein- leuchten wird, die S. 155 über den Zusammenhang der dort ge- gebenen Gleichungen mit einer allgemeinen von E u l e r herrühren- den gemacht wurde.

Die Differentialquotienten von P" in (32, d) lassen sich in ähn- licher Art durch Integrale von P

^a

ausdrücken, wie es in (32, c) für a = n geschah. Da nämlich in den oben durch Differentiation nach x und z gefundenen Ausdrücken auch die Coefficienten von

einander gleich sind, so wird

( / • ) . . . « ( a - 1 ) . . . ( a - H - l X = und dies giebt

(g) .. . ll(a — = TlaJp

^{

"\x)dx

¹

', i

womit man noch (c) zu verbinden hat. Jede Integration muss von x = 1 an ausgeführt werden, weil c_i, c , etc. für x = 1 ver- schwinden. M a n e r h ä l t d e m n a c h

(32,e)... (^ f cosy.yV—1)« = 2 . / / « ! ' f

p

c « , ^ ^ il(ct •— v) J

Durch Verbindung von (g) mit (e) entsteht

w

• • • H(a + v) dx> n(a—,') J

{ x ) ax

•

Wir gehen nun auf den Anfang dieses Paragraphen zurück,

§ 47, 32.

Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n .

205 zu dem Falle, d a s s a e i n e n e g a t i v e g a n z e Z a h l — n—1 vor- s t e l l t . Dann wird nach (d)

(d>)

. . . c

0

= P » = P » .

Die Formel (c) behält ihre Gültigkeit, jedoch (e) und daher auch ( A ) nur so lange als v i- n. Die letzteren waren nämlich unter der Voraussetzung entwickelt, dass die v fache Differentiation von z

a

+

y

auf s

a

führt; dies geschieht aber nicht mehr, wenn ct-f v eine ganze positive Zahl wird, die unter v liegt, was in unserem Falle, wo a = — n — 1, eintritt, sobald v>n. Dagegen bleiben die Formeln (0? (#)

u n (

t e) noch bestehen, wenn man in dieselben statt der II mit negativem Argument die mit positivem einführt oder wenn mau — n— 1 sogleich in ( f ) statt a setzt, wodurch die linke Seite sich in

( - l ) ' . ( » + l ) ( n 4 - 2 ) . . . ( « - | - f ) c1 1

verwandelt. Man h a t a l s o in d e n b e i d e n H a u p t f ä l l e n , d a s s a e i n e g a n z e p o s i t i v e Z a h l n o d e r e i n e g a n z e n e g a t i v e Z a h l — n — 1 i s t , d i e G l e i c h u n g (32, c) a u f S. 201 r e s p .

(32, f ) ... Tln.(x + cos ( f . j / x ' - 1 ) —

1

= "2 j£' (-\/x''-\)->' cosvq>. Il(n + v) j ¥n\ x ) d xr.

\

Die verschiedenen Gleichungen ( 3 2 ) enthalten eine Anzahl von Formeln, deren Zusammenhang aus § § 3 1 — 3 3 bekannt ist, für die Cocfficienten von cosrqp in der Entwickelung der nw" und —(m-J-I)""" Potenz des Binoms.

Die soeben liervorgehohenen Ilauptfornieln ( 3 2 , c) und (32, /") zeigen, dass beide Reihen, abgesehen von Constanten, gleiche Coefficienten besitzen so lange v t ; sobald v > 11, verschwinden die Coefficienten der ersten Reihe, wäh- rend die der zweiten dieselbe Form wie die vorhergehenden bewahren.

Die Gleichungen (e) und Qi) kann man in dem Falle a = — n — 1 durch andere ersetzen, welche da gelten, wo die ersteren aufhören zu bestellen, nämlich wenn v > n. Zunächst entnimmt man der Gleich. (/•) in diesem Falle, für v = — n — 1,

1

Aus (c) gewinnt man darauf c ,^{i + 1}. Durch v fache Differentiation von (6), einmal nach x und das andere Mal nach z, erhält man

= n^v.c^n+r+l =

n.v. (x

5

—

m->

' . c_„_

y

_i.

Diese Gleichling, mit (<7) verbunden, giebt die Formel, welche (h) entspricht;

sie ist keine andere als die Gleichung (g) auf S. 1 5 5 .

20G

i . T h e i l . V i e r t e s K a p i t e l .

§ 47, 33.

Die im Vorhergehenden auftretenden Verbindungen von den Functionen mit Potenzen von )'x

2

—1 kommen im Folgenden häufig vor. W i r s e t z e n d e s h a l b

(33) . . . ( i / ^ - l ) - " ^ ® ) - ( l ^ - T y ' ^ O i O - F i ' \ x ) = P ^ l i x ) u n d n e n n e n P"(x) e i n e z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e r s t e r A r t . Wenn diese Einführung hier zunächst aus einem Grunde der Zweckmässigkeit erfolgt, so zeigt sich später, dass sie eine sach- gemässe sei, indem verwandte Functionen, in welchen wir dieselben Eigenschaften wiederfinden und die wir als Verallgemeinerung der hier auftretenden ansehen (m. vergl. den III. Theil), wenn man sie specialisirt, sich gerade in das P r o d u k t der Function und der Potenz von ]/a;

2

—1 verwandeln. Die Quadratwurzel kann mit dem Zeichen von x genommen werden, wenn in einem speciellen Falle nicht anders bestimmt wird. J e d e Willkür bei der Bestimmung des Zeichens lässt sich ausschliessen, wenn man die eingeführten Functionen nicht von x , sondern von § abhängig macht, wo wiederum £ -f- s~

1

= 2a: , etc. Nach Einführung des Zugeordneten verwandeln sich die Gleichungen 32, c und f in die folgenden

(33,a) . . . 2 « - ' ( . * + c o s y . j V - 1 ) » = n ^ ^ n - v f ^ (33,b)... 2" 'JiwiZwCr+cosy.v';?—l)-'

1

-

,

=7I(2«)l;'(-l)

,

'fv

0

(^)c<'SJ'y,

Vorstehender Ausdruck für P* ist für jeden ganzen positiven Werth von v und v = 0 gültig; für negative ganze v wird diese Function durch (33) bestimmt. Aus dem II. und IV. Satze im § 31 und 32 ist ersichtlich, dass man in Folge der Wahl der Constanten t a t

x~

n

.Py(x) — 1 f ü r x = oc.

Man vergl. die Zusammenstellung der Formeln a — d. am Schlüsse des § 46.

Aus den Gleichungen (33) erhält man den Ausdruck der Zu-

geordneten durch Integrale, welche dem Integrale von L a p l a c e

entsprechen, indem man den Satz über die Bestimmung der Coeffi-

cienten in trigonometrischen Reihen anwendet. M a n e r h ä l t d a -

d u r c h (33, d)

§ 4 7 , 3 3 . Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n . 2 0 7

tt/>*(«) = -2» - f j j - ^ y J (x + cosqp. | V - l)''cosx<pify>

,,( .-1)"'«

^11,111,1

/'' COSVfdcp so l a n g e d i e g a n z e Z a h l >-£/( u n d a; e i n e n p o s i t i v e n r e e l l e n T k e i l besitzt. Ist v>n, so gilt z w a r n i c h t m e h r d i e D o p p e l g l e i c h u n g , a b e r d a s e r s t e G l i e d b l e i b t gleich dem d r i t t e n . Ist x beliebig und v ^Ln, so wird das erste Glied noch gleich dem zweiten.

S p e c i e l l e F ä l l e . Setzt man x = l , so wird

Die letzte Formel leitet man mit Hülfe der Gleichung ( a ~ ß)

j cos aq> cos ßcpdq) = rii(a + ß)II{( na

^a

-ß)

ab, indem man das dritte, eventuell zweite Glied von (33, d) nach dem binomischen Lehrsatze entwickelt und in dem Gliede, welches (x*—1)"i

^y

zum Faktor hat, x gleich 1 setzt. Ferner findet man fU r ->' = ü, n v leicht aus (33, rf), erstens, wenn u — v gerade ist,

P-^-i« l-3...(w + v 1). 1. 3 .. .(n v 1) und Null, wenn n — v ungerade ist. Dann wird zugleich

x

^v

' 1.3.0...(2n— 1)

S o b a l d a b e r v>n, verschwindet die Zugeordnete nicht mehr für x = Ü; man hat vielmehr

gleichviel ob » + " gerade oder ungerade ist. Man findet dieses unmittelbar aus dem Ausdruck von auf S. 152, welcher dort den II. Satz schliesst.

Für die Zugeordnete habe ich den Buchstaben P mit zwei Indices nach G a u s s * ) g e w ä h l t , der ihn für den hei ihm einzig vorkommenden Fall g e -

*) Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1838, Leipzig 1839 : Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus § 18, oder G a u s s Werke, Bd. V.

208

I. Theil. Viertes Kapitel.

§ 48, 33.

braucht bat, dass v ^ L n . Um zur Abkürzung in geeigneten Fällen den einen oder anderen Index fortlassen zu können, erlaubte ich m i r , sie nicht n e b e n - einander zu setzen, w i e es ursprünglich nach G a u s s g e s c h a h , sondern den einen zun) obern, den andern zum untern Index zu machen. Da x hier nicht allein, w i e bei G a u s s , solche W e r t h e annimmt, die reell und kleiner als 1 sind, so w a r es mit Rücksicht auf das Vorzeichen von ] / x1— 1 in diesem Zusammen- hange geboten, hier P",_ zu nennen, w a s bei G a u s s ( + ¿)"'P"'"' sein w ü r d e . Herr F. N e u m a n n (Königsberg) b e d i e n t sich im 3 7 . Bande des C r e l l e ' s c h e n Journals gleichfalls des Buchstaben P, nennt aber P„v w a s bei uns

sein w ü r d e .

§ 48. In den Gleichungen 32 — 32, c oder 33, a, welche sich auf den positiven Exponenten n beziehen, ist es ohne Zweifel ge- stattet, eine imaginäre Substitution in der Art vorzunehmen, dass sie ungeändert bleiben, wenn auch <p irgend eine complexe Grösse vorstellt. Anders verhält es sich, wie ich jetzt zeige, mit (3*2, d—f) und (33,6), die sich auf einen Exponenten a oder auf — n — 1 be- ziehen.

Die E n t w i c k l u n g von (b) im § 47, S. 203, nach aufsteigenden und absteigenden ganzen Potenzen von z, bleibt bestehen, so lange jüz zwischen Ji{.r-fl) und dl{x — 1) liegt. Um diese Bedingung besser auszudrücken setze man für s seinen Werth, zugleich aber q>+iu statt (f>, wenn cp und u nunmehr reelle Grössen bezeichnen.

Des kürzeren Ausdrucks wegen sollen u und die complexe Zahl x positiv sein. Dann erhält man als Bedingung dafür, dass (£») noch besteht wenn

Hieraus folgt, dass, wie im vorigen Paragraphen, x e i n e n p o s i - t i v e n r e e l l e n T h e i l b e s i t z e n m u s s . Wäre es rein imaginär, so würde nämlich J l ( x — 1 ) nicht kleiner, sondern gleich dl(x-\-1) sein. Die vorige Ungleichheit, in die Form gebracht

Z — 1 .e'^i'"), die folgende Ungleichheit:

(X — 1) < e+«J/

/

ix"--A < JC{X-1-1).

giebt die Bedingung

§ 4«, 34.

Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n .

209 Wir erhalten also den

I. S a t z . D i e u n t e r 32, d — f u n d 33, b a n g e g e b e n e n G l e i c h u n g e n b l e i b e n b e s t e h e n , w e n n m a n in d e n s e l b e n cp mit cp + iu v e r t a u s c h t , so l a u g e x p o s i t i v i s t u n d u u n t e r A log, // * ' ' liegt,

x — 1

Ueberschreitet n diese Grenze, so lässt sich die linke Seite von (b) auf S. 203, für « = - ( « + 1), als - ( n + l)

^,B

Potenz von

(,r + . s )

²

- l

⁼

( x -

^{h 5}

+ l)(® + s—1),

bei dem oberen Zeichen von u in s nach aufsteigenden, bei dem unteren nach absteigenden Potenzen von s entwickeln. Man findet also statt (b), indem man sich des T a y l o r ' s c h e u Lehrsatzes be- dient, bei Anwendung des oberen Zeichens

( x + c o s o + v O . y p - i y - ' = (2*)»+>l •

Transformirt man die rechte Seite mit Hülfe von (13) auf S. 81, so erhält man als Ergänzung des 1. Satzes

x -1-1

[ I . S a t z . I s t a b e r n ~> i log <;!(.

1

, u n d sind x und n

" .V —

1 p o s i t i v , so h a t man

(34) . . . ( 1)

^{! 1}

(.r + cos(in - cp). i)-» -

¹

•2 * d"Q\x)

^g

-

^Hu+i(p)

11 n , „ i-i Tl(v—?i—1) dx

^v

Diese Gleichung lässt sich mit Hülfe der Ausdrücke in den

§§ 31 — 33 in ähnlicher Art umformen, wie es für die P geschah.

Solche Beziehungen, wie dort abgeleitet w u r d e n , findet man auch durch die Methode des vorigen l'aragraphen. Hätte man nämlich, statt nach dem Ta y I oi 'sclieii Lehrsatz zu entwickeln, die unteren Zeichen genommen,

und daher gesetzt

s = ]'x"—\ .e'f +",

darauf nach absteigenden Potenzen von 3 entwickelt, so wäre entstanden

12.; (x + ]\>r 1 . cos(cp - iu)) =[(.r + z)

2

-i]-"

Die Diflftrentiation zeigt, dass

( - i)".(2n + 2) (2m + 3)... (2n + v + l)fc„ = ^ •

Da ferner diese Entwickelung noch gellen muss, wenn x = 0, so hat man für

x —

⁰

Hi'iiiL

¹

, Tlieoru' dor Kuiri'lfuiu'tioiieti '¿. AuH. 1A

2 1 0 I- Theil. Viertes Kapitel. § 4 8 , ?>4.

(s* _ t ) - — i = k09 ~i—1+ Ä , a -?» -J + - ,

2 — r ' 1 . 2

t , = A.-3 = ••• = 0 .

H i e r a u s folgt, dass kv eine g a n z e F u n c t i o n v'1"" Grades von d e r F o r m

k ^v — ax"-\-a ¹ x'' + a ⁴ .-r''~ ⁴ +•••

ist, d e r e n vl e r, v — 2^{, e r}, v—4^lpr, etc. Dilierentialquotient nach x sich f ü r x = 0 in (— 1)'' J T ( 2 n - f - v - f 1 ) innltiplicirt r e s p . m i t

1 yt + 1 1 (M + 1)(W + 2 ) 1 _ J 7 ( 2 w + 1 ) ' 1 ' / 7 ( 2 m - ) - 3 ) ' f . 2

' lU'lii • ->\'

v e r w a n d e l t , dass also ky selbst die g a n z e F u n c t i o n w i r d

,

n.(1n

4 - v + 1 ) 1 — V 1 \

Die so e n t s t e h e n d e E u t w i c k c l u n g

(x + - » « ) ) - " - ' = 2 » + ' £ 1 ) - ^ * - ' • ( « + < » r = » M

m u s s m i t ( 3 4 ) ü b e r e i n s t i m m e n , u n d m a n e r h ä l t d a h e r z w i s c h e n der g a n z e n F u n c t i o n ky u n d den D i f l e r e n t i a l q u o t i e n t e n vou Q die B e z i e h u n g , auf w e l c h e o b e n h i n g e d e u t e t w u r d e

d"+ ^y + ¹ Q"(x) _ , 2" flu Tlv dx ^u +"+ ^l ^(T^i^p^ ¹

Die g a n z e F u n c t i o n ky ist n ä m l i c h w e s e n t l i c h , d h. bis a u f einen coiistanten F a c t o r , das w a s im § 3 1 , I. Satz m i t + bezeichnet w u r d e , w ä h l e n d die l i n k e Seite nach § 3 2 , III. Salz, w e s e n t l i c h mit _ „ _ i ü b e r e i n s t i m m t . Die g e f u n d e n e G l e i c h u n g ist d a h e r k e i n e a n d e r e als ( o ) im § 3 3 , n ä m l i c h

Q1(x) = (ar—1 )"£)".,(*).

Um die Resultate, welche in (33, b), dem I. und II. Satze dieses Paragraphen, entwickelt sind, zusammenzufassen, führe ich eine Function Ql(x) ein, welche Z u g e o r d n e t e z w e i t e r Art ge- nannt werden soll. Man hatte S. 153 und 151 gesetzt

S V M - ( I V l - 3 . 5 . . . ( 2 » + l )

d'Q"(x)

C , ( * ) - < - l ) .

I [ { n

, ^

i l y !

,

a'{ ) = n{n-v) J 0 ( x ) ' ( v w ) '

I

2

.„/n + l—v n + 2—v

2 « 4 - 3 1 \ ,

= x ^v ~ ⁿ F

— , % - , — j (v > « ) ,

und setzt ferner

(*'—l)-t" £>!!(*) = (i'-l)!^'...^) = Q';.(x) = <J'L ^r {x).

D a n n w i r d f ü r e i n ( r e e l l e s ) n i c h t n e g a t i v e s m, w e l c h e s

« 4 - 1

u n t e r £logjfi — l i e g t , v o r a u s g e s e t z t d a s s x p o s i t i v sei

ij 4 9 , 3 5 . Zugeordnete Functionen. 2 1 1

( 3 4 , a) . . . (x f c o s (<p ± iu). f x ? -1 ) 1

I19n »

=

2"~' 7Zw77n 2 ' ( - W ( x ) . ™

S

v ( < p ± i u ) ,

x -i-1

w e n n a b e r n — j - u n d x n i c h t n e g a t i v i s t

( 3 4 , b) . . . (x + cos(<f

_ ( - 2 ) ' - ' « n(v + n) „

" J7(2n+T)"

1 J

i I ( » - » - l )

y

"

( i B ) e

• Für u = 0 verwandelt (34, «) sich in die speciellere Gleich. (33, 6) und giebt dann nichts neues.

§ 4 9 . Die beiden Gleichungen 34, a — 6 liefern zugleich das R e s u l t a t e i n e r i m a g i n ä r e n S u b s t i t u t i o n in den Integralen (33, rf), deren Grenzen vorher von 0 und n auf 0 und 2n gebracht werden. Das erste Integral, welches das Integral einer ganzen Function von

comp

ist, erlaubt selbstverständlich, dass man

y

durch rp + \p -f iu ersetzt, ohne dass die Grenzen ü und 2n der Integration nach 7 zu ändern wären. Aus den Gleichungen 33 ,a—b und 34, a—b erhält man, wenn man setzt

(35) . . .

r — x-\-

cos(qo —

ip'-fiu).

j/a:

5 —

1.

f o l g e n d e s S y s t e m von G l e i c h u n g e n 35, a— e:

•InJ rn™*»9*<r = U ( n + v m n - v ) C"^»);

1 f "1 n(2n)

2nJ r n ^ f d g > = /-/(?r-f-v)~II(n—v) 'P" ^ •s i n v "'), C"^»);

(—1)'' r-^wsvcp. 2-*n(2n) „,v , . . .

2n J •_II d(r llit lln »').

( - - 1 ) ' ' S"nsmvq> 2-»Il(2ii) n„, . . , , , . . 2n J 7«\ ' '

11

Ur = 7 7« n » /' ( r > , U , ( , / ,-: iM)'

1 / ' -/ I C O S J ' ® , . I

/*

2jr

sinj/qo , / .. \

2nJ r 1 IrrJ ** ( " > * l o S ^ l T = I >

= f_lV'+>'+i 2"77(« + ») n"(

a !

)

e

-v(

K

+,»

1 ' I I ( 2 n + l ) I I ( v - n - \ )V y ( X ) e

= ü, w e n n v n.

14 *

212

L T h e i l

- Viertes Kapitel. § 49, 35.

In den Fällen 35, c—d ist x positiv zu n e h m e n , im Falle (35, e) nicht negativ.

Diese Gleichungen geben zum Theil den Inhalt des IV. Satzes im § 8 und die daran geknüpften Folgerungen wieder, zum Theil vervollständigen sie ihn. Dies geschieht durch den Theil der Gleichung (35, e), welcher die Function Q auf der Rechten enthält.

Man hat hier nämlich nicht nur die Reduction auf die einfacheren Integrale, sondern auch den ausgeführten W e r t h der letzteren.

Das System der Gleichungen (35) gestattet auch, die Integrale zu ermitteln, in welchen statt des Ausdrucks r die Grösse

R — A—2?cos</> — Csinijp

auftritt, und dadurch die Untersuchungen auf S. 35 im § 8, dessen Bezeichnungen wir hier beibehalten, weiter zu führen. Wir stellen das Resultat der Uebertragung von r auf ß , zugleich mit den Fest- setzungen, zu folgender Tabelle zusammen.

A— B cos (f—Csint/ v positiv und ganz.

¿ = « + «,1, B = ß + iß

^u

C = y + i

^ri

.

ßy> ~~ }'ßi = —— - = r; :r nicht negativ. A VA

²

— B'

¹

— C-

( - 1 ) " / '

^{3 7 1}

2—" II (2M) .

I. r / Ii (cosi'Oi+isinva-.)Ar= — — •inj > Il(n+v)ri(n-v) (BziC)*

^{A l}

i)

II. Wenn («/5, — ct,ß)-+ («y, - a

^l7

y > (ß

^Yl

— ß,

^y

y, J_ f~

ⁿ

cosvy tisini-y ^ _ 2-»n(2n) (VA

¹

— B- -

'

²ⁿ

J R 0

^n+l

' ~ um in />• . ,<:•• ' '' III. Wenn (aß, — ß«,)'

^d

+(.«yi-r«i)

^a

< (ßy, — yß,)\

1 /'Si cosvif , f

^lTl

Sin V!)

^aj I F H R

N

+

C<L

= ( _

³

) -

⁺

.

I I { n + v )

- q " (,).

V

' U(2n+l)n(v—n—1) (/I^TZ.W—C-)''+"

⁺¹

'

q (x) = (—iy — — — ^ — — i

1 ;

1 . 2 . 3 . . . ( n + v ) dxy

P

^nr

{x) = C * ' - ! ) *

¹

" ^ » = F% (*); Qy(x) = (**-!) + = Q".

^r

(r).

W e n n (aß

^t

— ßaj'-l- (ay,- a,y)

²

= (ßy. — yßj~, so h a b e n die

Integrale unter II. und III. keinen W e r t h , mit Ausnahme des Falles

§ 50, 35.

Zugeordnete Functionen.

213 class A, B, C sich zu einander wie drei reelle Zahlen verhalten, und zugleich Ji{B

i

-f-C

2

) unter , /¿A

!

liegt. Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt noch die Gleichung unter II. Die Resultate im spe- ciellen Falle n — 0 wurden bereits im III. Satz des § 8 angegeben.

§ 50. Die Formel (33, d) auf S. 207, welche den Zusammen- hang der beiden Integrale zeigt, die P" vorstellen, rührt in dieser Form von J a c o b i her, ist aber schon*) in einer von E u l e r ge- fundenen Gleichung enthalten. Der Zusammenhang der beiden In- tegrale, welche diese Gleichung verbindet, hat E u l e r an verschie- denen Stellen beschäftigt. Er behandelt im 6. Kapitel der Insti- tutiones calculi integralis, Sectio I., Vol. I., No. 290 zunächst die Beziehung zwischen den von </> freien Gliedern in der Entwicke- lung der beiden Ausdrücke (1 -f- ncos(p)

v

und (l-f-7icos<p)~"

_l

nach trigonometrischen Reihen. Diese fallen allerdings nicht so einfach aus wie bei der hier behandelten Form, in der l + wcos^p durch x-\- cos<p.ya;

2

—1 ersetzt wurde, da die Symmetrie in Bezug auf x und z, welche oben in der Form (^-(-z)

2

—1 sich zeigte, die Unter- suchung wesentlich vereinfacht. Indem E u 1er die von q> freien Glieder betrachtet, beweist er unsere Formel (33, d) für den Fall, dass in derselben v - 0 gesetzt wird, also die Gleichung (6). Im vierten Supplement zum fünften Kapitel, im 4. Bande der Integral- rechnung, § 2 1 — § 112, giebt er das von ihm errathene Theorema maxime memorabile circa formulam integralem

/ ' cos X(pdq> r a rp = 0 "1 lad (p = 180°J' nach welchem dies Integral einfach mit dem Integrale

J"* (1 + a

z

— 2acosq>ycosltpdcp (i

verbunden ist; erst im § 83 geht er an den Beweis dieses theore- matis insignis per conjecturam eruti. Dass dies Integral sich nur unwesentlich von unserer Form P l unterscheidet, lehrt der Augen- schein. L e g e n d r e beweist den Satz in den Exercices, T. I., p. 376;

m. vergi, auch T. II, p. 274 und Traité des fonctions elliptiques T . I I , Appendice, Section première. Endlich hat J a c o b i in der schon erwähnten Abhandlung Formula transformationis etc., im

*) C r e l l e , Journal f. Math. Bd. 26, § 2 , S. 85. M. vergl. die Bemerkung unter dein T e x t der S. 36.

2 1 4 I- T h e i l . Viertes Kapitel. § 5 0 , 3 5 .

15. Bande des Crelle'schen Journals S. 9, einen sehr einfachen Beweis der Euler'sehen und damit auch unserer Gleichung (33, d) geliefert, der zum Zwecke einer späteren Uebertragung auf die Functionen zweiter Art hier im wesentlichen reproducirt werden soll.

Die Entwickelung der w

ten

Potenz von x -f cosqo. fa

2

— I , wie sie in (32) und den folgenden Formeln vorliegt, findet sich, wie schon bemerkt wurde, in meiner Inaugural-Dissertation (Berlin, 30. April 1842); die Entwickelung der —(«-)-l)

^,en

Potenz, also die Gleichung (32, f) ist von J a c o b i gefunden, dessen Arbeit im 26. Bande des Cr eile'sehen Journal das Datum 29. Mai 1843 trägt.

Indem ich die Daten der Publikation zusammenstelle, bemerke ich, dass diese Abhandlung von J a c o b i , welche die Entwickelung der n

,en

Potenz gleichfalls enthält, ursprünglich einen Theil eines älteren, ziemlich umfangreichen und inhaltreichen Manuscripts bildete, in welchem u. a. auch das Integral von Herrn F. N e u m a n n , § 28, Gleichung (21) vorkommt. Auf der Grundlage dieses Manuscripts ist die Abhandlung über die hypergeometrische Reihe entstanden, welche aus J a c o b i ' s Nachlass herausgegeben wurde*). Die Ent- wickelung der —(w+l)

^,e

" Potenz für den Fall eines imaginären <p, welche in den Formeln (34) enthalten ist, und die daraus gezogenen Resultate kommen zuerst im Handbuche vor. Die Resultate, welche in der Tafel auf S. 212 unter II. und III. zusammengestellt wurden, hat J a c o b i für n = 0 gefunden, und, meist indem er a, = 0 setzte, im 32. Bande des Crelle'sehen Journals S. 8—13 mitgetheilt.

Wir kommen nun zum vorerwähnten, einem direkten Beweise der Formel (33, d) von J a c o b i . Es sei a wiederum eine beliebige Zahl, v eine ganze positive; ist im speciellen Falle auch « eine ganze Zahl, so muss im Folgenden v ^ J C a genommen werden.

Wiederum ist für x eine positive und nicht rein imaginäre Zahl zu nehmen.

J a c o b i ersetzt sinwjp durch einen Differentialquotienten vermittelst der Formel (3, a) auf S. 21, wodurch man erhält, wenn cosqp -— z gesetzt wird

( - i v <i> (i-z,y-i . cosr y = r . 3 . . . ( 2 , - i ) — —

Man hat demnach die Gleichung

*) B o r c h a r d t , Journal f. Math. Bd. 56, S. 149 — 165.

§ 5 0 , 3 f ) . Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n . 2 1 5

j" (x-\- cos tp. ix*—1)°c,osv<p d<p

integrirt man auf der Rechten v mal durch Theile, so verwandelt sie sich in

Setzt man wieder cosy statt s zurück, so findet man daher ( 3 5 , / ' ) . . . j * (x -f cosg>. yV—1)°cos^qp d(p

o

= ° ^ " 4 T ^ " 0 ' ® * - 1 y f \* + cos g>. 1)" " sin^q>d<f.

Nach § 10, S. 41 lässt das Integral auf der rechten Seite, wenn wie hiev x einen positiven reellen Theil besitzt, sich durch die Substitution

•rcosop + ix*— 1 COS77 = - - p = -

x + cosqp. ix

1

— 1 transforniiren. Aus der so entstehenden Gleichung

(35, y) ... J' (x-\-coscp. ix*—\)

a

e,o$vq>dq>

a ( « - ! ) . . . ( « — * + l) f

n

sin

7v

t]dri r

1.3...(2v- -1) J ( a ; c o s » ; . ix*—1)°

erhält man durch Anwendung von (35, f ) , wenn man dort « mit

— « — 1 vertauscht,

(3o, h) . . . - — ' „ - L I (x-|-cosqp. j V — l)"cosvqprfqp lH^cc) «/ 0

IIa IIa f •xlla r

n

coBvfpdtp

n

m i - v f

n ( 2 a ) ' J (¡c + cosy.]/®'—l)""

H

' e i n e G l e i c h u n g , d i e f ü r a — n mit (33, d) ü b e r e i n s t i m m t , und zwar ist jede der beiden Seiten gleich = n2~

n

Pl(x).

Setzt man — n — l statt a in (35, f ) ein, so erhält man durch Vermittelung von (33, d) f ü r j e d e n g a n z e n p o s i t i v e n W e r t h v o n » u n d e i n x mit p o s i t i v e m r e e l l e n T h e . i l e

(35 i) _ « » ( ^ _ nnllvll(n+v) f » an"g>dq>

216

I. Thcil. Drittes Kapitel.

§ 5 1 , 3 6 .

Dieselbe Methode lässl sich offenbar auf Integrale anwenden, die zwischen beliebigen Grenzen, nicht zwischen 0 und n , genommen werden. Man findet z. B., dass die linke und rechte Seite von ( 3 5 , f ~ ) , wenn man die obere Grenze n mit einer beliebigen <p vertauscht, sich nur um Grössen unter- scheiden , die vor das Integral treten und keine höhere Transcendente als trigonometrische Ausdrücke enthalten. Aebnlieh verhält es sicli mit den Glei- chungen, welche nach Einführung von r¡ statt rp entstanden sind, mau hat aber darauf zu achten, dass aus x-\-cos(p. ^x""—1 bei dieser Einführung x — cosJy.]/«2—1 entsteht; oben, wo die Grenzen O lind n sind, konnte

— cos r¡ sofort mit cos 77 vertauscht werden.

§ 51. Die Differentialgleichung, welcher die Zugeordneten P"

und Ql genügen, trat schon am Schlüsse des § 30 auf; sie ist

(36) . . . ( 1 — x y d2y —2 x ( l —x * ) d y d x + Kw+l)(l— v!\ydx' = 0,

und ihr allgemeines Integral

y = aPXx) + bQXx).

Man wurde d o r t auf sie geführt, indem man von den Integralen zweier Differentialgleichungen zu i h n e n h i n a u f s t i e g , nämlich von (23) für und (23, a) für s

v

. Die allgemeinen Integrale derselben, nämlich

af> = oSpL»?. + 6£iL"i

geben, das erste mit (x'—l)«»' multiplicirt, das zweite dadurch divi- dirt, das allgemeine Integral y.

U r s p r ü n g l i c h führten aber physikalische Untersuchungen über die Kugel g a n z d i r e k t zu d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g für «/, die bei L a p l a c e erscheint, und von der ein Integral, unser P", für ein solches Argument x auftritt, welches reell und kleiner als 1 ist, während die zweite Lösung, Q

ny

bei dem Potential des Eotationsellipsoides, daher zuerst in meiner Arbeit im 26. Bande des C r e i l e ' s e h e n Journals vorkommt.

Wie die Gleichung (8) im § 12, so kommt auch (36) mehrfach in anderen Formen vor, die durch Einführung neuer Veränder- lichen entstehen. Setzt man x = cos 0, so geht (36) über in

(o) . . . d''y -(- cotang 0. dy dO -j- ( ' ' ( « + 1 ) - ^ )y

d0

' = durch die Substitution q = ]fx'

¡

—1 in

(6) . . . (1

+ Q

^ y + ^ ± ^ - d y d

Q

- ( n ( n + i ) + ^ ) y d

e

-

2

= 0.

Ferner stellen wir die Gleich, für zW und z

v

auf S. 148 mit denen

zusammen, welche aus ihnen entstehen, wenn man für x einführt

§ 51, 36.

Zugeordnete Functionen.

217

£ = cos0, $ — —1, e = £ ( l — e n d l i c h £ durch die Sub- stitution

§=x- y ' ^ - i , 2x = §-'-j- S, 2 | x~- 1 = f

1

- 1 . Diese Gleichungen sind

(«) ... (l—x')dX + 2(v — l)xdz

^r

dx-\-(n-{-vXn-v + l)z

^y

dx''=0, Q?) . . . d*z

y

- ( 2 i > - l ) c o t g ö dz

y

dO + (m + " + l)-»«^

3

= 0,

+ 0 + «) ( » - « + 1 ) dg' = 0, ( d ). . . e(l— v)d:

2

z

y

-(v-l)(l-2v)dzydv -f (»4-j/)(n—v-|-l)3

>

.rfo

i

= 0.

(e) ... ?(l-Z

ⁱ

)<r*

^y

+ 2§(v + (v-l)?)dzd£

~ (» - * + 1 ) (» + 0 (1 - §*) z

^y

d§' = 0.

Das System der Gleichungen für z ^ entsteht aus diesen durch Vertauschung von v mit —v, so dass z. B. aus («) die Gleichung erhalten wird

(1—x

²

)c/V"> - 2(v+l)xd^hlx + (m - vX>t v + 1 = 0.

Nach der Methode des § 2(5 findet man aus einem partikulären Integrale dieser Gleichungen ein zweites; so erhält man aus der Lösung z

v

=

v o u

(°0

e

i

n e

zweite

"

i y

dx.

J

'

woran sich ähnliche Schlüsse über den Gang dieser Function knüpfen, wie im § 26. Diese Ausführungen übergehen wir, und handeln von der Integration der vorstehenden Gleichungen durch Reihen, wobei nur solche Reihen ausgewählt werden, die bisher bei einer Untersuchung Anwendung fanden.

1) E n t w i c k e l u n g n a c h P o t e n z e n v o n x. Man findet, wenn v ^ n.

und für jedes v

Wenn v ^ i n, so wird, wie man aus dem II. Satze des § 8 1 ersieht, ty" nicht mehr die erstere Reihe sondern eine lineare Verbindung beider. So lange r ^ «, convergirt die zweite Reihe nur unter der Voraussetzung J l x 1, so dass hier über den Werth von £}

im Querschnitt besondere Festsetzungen nicht erforderlich sind;

T. T h e i ] . V i e r t e s K a p i t e l . § ¡ " ' 1 , B f i .

wenn aber v > m , so ist G eine ganze Function von x, welches also in den Querschnitt treten kann, ohne dass diese ganze Function

£} melmvei'thig wird. W a s hier über die Werthe von für ein solches v gesagt wurde, welches grösser als n ist, gilt auch für das Folgende. Es wird dort also nicht jedes Mal wiederholt werden.

Durch Vertauschung von v mit — v erhält man die Reihen, welche gleich (x) und S}

n

-

y

(x) sind und der Differentialgleichung für z

y

genügen.

Nach aufsteigenden Potenzen von x lässt sich, so lange die Function $ umsetzen und SD wie S. 147 entwickeln; für v~>n sind die beiden obigen Reihen ganze Functionen von x , also sowohl nach absteigenden als auch nach aufsteigenden Potenzen zu ordnen.

2) E n t w i c k l u n g n a c h P o t e n z e n v o n q. Man erhält durch Integration von (7) folgende nach a b s t e i g e n d e n Potenzen

von ç geordneten Reihen:

» w - K - v . v - • V , - , ••>

« » ( * ) =

H i

t

V

' - i * ' - * - 0 - lieber die Vertauschung von v mit — v gilt dasselbe wie unter No. 1.

Während P

n

(x) selbst und damit bei L e g e n d r e und L a p l a c e in der Form einer Reihe, die nach Potenzen von x ge- ordnet ist, nämlich in der Form (2) auftritt, so kommt die Zu- geordnete P", wo v > 0, bei L a p l a c e * ) zunächst als Reihe, die nach Potenzen von q geordnet ist, vor. Erst bei L e g e n d r e * * ) wird sie als Produkt von (y®

3

—l)

v

in eine nach x geordnete Reihe dargestellt. Dort erwähnt L e g e n d r e S. 432 auch einen Irrthum von L a p l a c e , der nicht alle Zugeordneten erster Art in die Be- trachtung gezogen habe, sondern nur die, für welche n — r gerade ist. — Das was sich auf die Q bezieht habe ich hier hinzugefügt.

Nach a u f s t e i g e n d e n Potenzen von g k a n n man, so l a n g e ç

=

//, nur «p, nicht aber £} entwickeln, weil diese Function für q = 0 logarithmisch unendlich wird. Die erste von den beiden

*) M e m o i r e n der Pariser A k a d e m i e von 1 7 8 2 , S. 141.

**) M e m o i r e n von 1 7 8 9 : S u i t e des recherches sur la figure des planètes.

§ 5 1 , 36.

Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n .

Lösungen, nämlich 5J>|!, giebt für ein gerades n — v, eine ganze Function, k a n n also nicht nur nach absteigenden sondern auch n a c h a u f s t e i g e n d e n P o t e n z e n von q geordnet werden. Für ein ungerades n — v würde man eine nicht geschlossene Potenzreihe erhalten. Da aber durch die schon erwähnte E u l e r ' s e h e Trans- formationsformel für die hypergeometrischen Reihen

F(a, ß, y, x) = (1 - x)r-"-ß F(y - a , y - ß, y, x)

die erste Lösung die Form annimmt

„., . u , _/ n-\-v—1 n—v — L 'in — 1

= Q'+'yi+e'F^- \2 , - - T - , - • e • / •

so hat man auch in dem Falle eines ungeraden n — v diesen ge- s c h l o s s e n e n A u s d r u c k , der sich daher sowohl nach absteigen- den als nach aufsteigenden Potenzen von q und zwar, abgesehen von dem Faktor )'l + p

2

, in eine geschlossene Potenzreihe ent- wickeln lässt.

I s t so sind d i e b e i d e n L ö s u n g e n , von denen die erstere allerdings dann nicht ist (s. <>.), ganze Functionen, oder doch, nämlich wie im vorigen Falle, abgesehen von dem Faktor

+ ganze Functionen von q. Nach demselben Satze wie die erste lässt sich nämlich auch die zweite umgestalten, so dass man hat (für jede Grösse von v)

D; ( X) <:• ]/!+?< " , V , f :1 , - rO"

Hier zeigt sich ein wesentlicher U n t e r s c h i e d z w i s c h e n d e n F u n c t i o n e n />"., die, wie mau aus (33) weiss, aus durch Division mit q

v

entstehen, w e n n v ^ n v o n d e n e n , b e i w e l - c h e n v > n. Die ersteren werden nämlich für q = 0 Null oder bleiben wenigstens endlich, die letzteren aber werden, ebenso wie die Q'i, für q = 0 unendlich. M. vergl. § 7 7 .

3) E n t w i c k e l u n g n a c h P o t e n z e n v o n Die Integration von («) giebt für z-

H

die beiden Lösungen

(2Ö-C+") F Q - v , - n - v , - n + 4, !-•),

( 2f ) n+l - , . +

Die erste von ihnen ist gleich so lange v

=

n\ die zweite

wird gleich D " ^ )

z u

setzen sein, so lange , ^ # £ < 1 . Wenn J i l — 1,

convergiren diese Keihen noch. F ü r £l(x) h a t m a n i m Q u e r -

s c h n i t t a b e r zu s e t z e n

220

I. Thcil. Viertes Kapitel.

§ 51, 36.

2 £ t f ( « ) = + 0 . t ) + Q ' X x - 0 . 0 ,

e i n e B e s t i m m u n g , d i e a l l e r d i n g s f ü r d e n F a l l v > n über- f l ü s s i g i s t , da in diesem Falle die zweite Lösung offenbar nach

§ eine Reihe giebt, welche sich durch Vertauschung von £ mit ¿r

1

nicht ändert, was man auch erwarten musste, da nach dem I. Satze im § 31 eine ganze Function von x ist.

Für x — cos 6 entsteht die Reihe, welche man mit (a) auf S. 17 vergleichen mag,

2"+" % (cos 0) = cos (» + v) 0 + cos (« +

y

- -2) Ö + ...

i .

l )

die Reihe so weit fortgesetzt, bis sie von selbst abbricht*).

Da die Vertauschimg von v mit — v in den Reihen für ^ und die Functionen und £}_,, giebt, so erhält man z. B.

und eine ähnliche Gleichheit für -Q.

Fiir den Fall "eines geraden n — v hat H a n s e n * * ) diese Reihe, welche nach Cosinus der Vielfachen fortschreitet, angegeben; man wird bemerken, dass hei ihm ^{n, /.i), w e n n B mit {n—0 vertauscht und 2jtt = « — v gesetzt ist, his auf einen constanten Faktor mit unserer Reihe übereinstimmt. Die Coefiicienlen von den Cosinus der Vielfachen des Bogens 6 mochten hier eine elwas einfachere Form besitzen als an jener Stelle.

Die obigen Festsetzungen über £} im Querschnitt stimmen durchaus mit den früheren überein. Im § 3 2 , III. Salz ist £} für jede Grösse von j», also auch wenn v n, aus Q'1 so definirt, dass man dasselbe differentiiren muss, selbstverständlich nach der Richtung des Querschnitts, wenn x im Querschnitte liegt, für den Q schon früher als \ Q (x ().«)-{- '2Q(X — 0 . i) definirt w a r . An derselben Stelle und im § 3 1 , 1. Salz, sowie im § 4 8 kommt £} mir vor e n t w e d e r als nach absteigenden Potenzen von x geordnete Reihe, die nur Be- deutung hat, w e n n x > 1, d. h. nicht im Querschnitt oder w e n n v > n, d. h. in dem Falle, in dem ^ ( a j - j - O . j ) und £ } ( x — O . i ) einander gleich sind.

*) Während des Druckes erscheint das glänzende Resultat der Forschungen des Herrn H e r m i t e über L a m e ' s Differentialgleich, im 85. Bde der Comptes rendus.

Der Anfang der Arbeit, No. 16 v. 15. October, welcher eine Uebersicht des Inhalts giebt, den allein ich bis jetzt in Händen habe, lässt mich lebhaft ihr spites Er- scheinen bedauern, welches mir unmöglich macht, sie für diese „Theorie der Kugel- funetionen" ganz zu verwerthen; ich werde auf dieselbe bei den „Anwendungen"

zurückkommen. Mit Bezug auf die Arbeit des Herrn H e r m i t e sei hier lemerkt, dass die obigen Reihen auch für beliebige Werthe von v noch Lösungen dir Diffe- rentialgleichung geben, diese aber aufhören, p e r i o d i s c h e F u n c t i o n e n von 0 zu sein.

**) Abhandlungen der K. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Bd. IV.: E n t w i c k l u n g der negativen und ungraden Potenzen der Quadratwurzel der Function >•-—f-r'-—2?t'(cos i/cos £ " + sin i/sin

U'cosJ),

S. 345, No. 41,

§ 51, 36.

Zugeordnete Functionen. •221

4) E n t w i e k e l u n g n a c h P o t e n z e n v o n v. Entwickelt man z

y

nach aufsteigenden Potenzen von v, so findet man die partiku- läre Lösung

F(— n — v,n

+ 1 —j», 1 —

v, v),

welche aber für solche ganze positive v, die n nicht überschreiten, nicht anwendbar ist, weil die Nenner in der hypergeometrischen Reihe Null werden. Daneben erhält man noch eine zweite, die

wird, wenn man die Coustante gehörig bestimmt, nämlich

Diese Darstellung von zeichnet sich vor den früheren dadurch aus, dass sie nicht nur für jedes x sondern auch für jedes ganze positive v, also a u c h n o c h w e n n vl~>n, die Function darstellt.

In der That hat man, in Uebereinstimmung mit (b) im § 5, für v - 0 P\x) = F ( - « , « 4 - l , 1, jj).

Hieraus bildet man %', nach § •!!, II. Satz, indem man P" nach dx von 1 au oder nach — 2dr von Null an im ganzen i'inal integrirt und mit 77(w-|-i'):1.3...(2n—1) lnultiplicirt, so dass mau in der That den obigen Ausdruck für -^"(cr) erhält, wenn 2r = 1 - ge- setzt wird.

Um zu erhalten, kann man in der ersten Lösung v mit —v vertauschen, wodurch entsteht

2"(1 l F(v-n,u + v+\, H - v . r).

An diese Reihen lassen sich die Formeln knüpfen, welche L e g e n d r e zur Entwiekelung von

cos vcfdrf (1 | </•'• 2acosf/;)" •'

benutzte. Dividirt man in dem Integrale Zähler und Nenner durch (1—a'

²

)"-

¹¹

und setzt

1 f

ⁿ

nJ (

1-f-a2 2a •

1— a

²

' 1 — a

²

— L

so findet man nach (35, c) für jenes Integral

Tritt für sein Werth aus der obigen Formel ein, so wird für

das Integral

222 I. Theil. Viertes Kapitel. § 52, 87.

JI(n -) • v) a' _,/ . a² \

"IfnÜv" (1 -«')»••'

^a

0

gefunden. Dies ist L e g e n d r e ' s Formel*), welche J a c o b i durch Anwendung des Ausdrucks (3, «) für sinvö ableitet. E u l e r hat eiue andere Reihe**) für dasselbe Integral benutzt (§ 50, S. 213),

a

V®

2

]

die nach Potenzen von -—• --,- = fortschreitet, d. h.

1,+ ffl" x

wenn man x = cosö setzt, nach Potenzen von tangö, während die unsrige nach Potenzen von sin

2

4 0. Diese Entwickelungen, von welchen man für v = 0 bereits im § 5 Proben hatte, verfolgen wir nicht und übergehen ähnliche, die sich als ganz besondere Fälle der allgemeinen von Herrn K u m m e r * * * ) betrachteten Umformung der hypergeometrischen Reihe erweisen.

§ 52. Bisher war Q"

t

, nur in dem Falle durch ein bestimmtes Integral dargestellt, dass nämlich durch (35, e). Um das Gleiche zu erreichen, wenn v < n -)-l, verfahren wir wie im §24, setzen nämlich die Reihen des § 51, No. 3 im Integrale um. Mit Hülfe der Gleichung (b) des § 24 findet man zunächst

wenn man darauf weiter wie im § 24 transformirt

und s c h l i e s s l i c h d e n g e s u c h t e n A u s d r u c k

< d" ( ^

=

( -

1

) " l-3.5...(2«+l) f" sin

2

''iudu

= ( a r - 1 y^0"^v(x) = (Jt£ < 1), (v < » + 1).

Im Querschnitt .r = cos0 ist für O das arithmetische Mittel aus den beiden Werthen am Uferrande zu nehmen, also für das vorstehende bestimmte Integral die Hälfte von

i37 1 ( sin'] iu du /"" sin2riudu

' (cosö+isinöcosiM)"

4

''

+

•/ (cosö—¿sin0cosiw)'

,+v+1

zu setzen. Um festzustellen, wie -D sich beim Ueberschreiten des Querschnittes ändert, beweist mau, am bequemsten nach der Me-

*) Exercices T. Il (no. 25), § 172.

**) Institiitiones Calculi integralis Vol. IV. Suppl. ad T. 1, Cap V, § 98.

***) Creile, Journ. f. Math. Iìd. XV. : L'ebei- die hypergeometrisclie Reihe etc.

§ 5 2 3 8 . Z u g e o r d n e t « F u n c t i o n e n . 2 2 : 1

thode der 2. Anmerk. zu § 38, die Formel, welche hier der Glei- chung (19, d) entspricht, dass nämlich für eine beliebige Grösse des Modulus von x = a+bi, unter den daselbst angegebenen Be- dingungen über die Zeichen, sei

^ /

r

sin

5

" iu du / ' sin

2,

'iudu ' ' " ' (x+cosiH.yaT

2

—1)"

U + 1

« ' (x—cosiM.]/.®

2

—1)"

+>

'

1

sin

2v

cpd(p

J (x — eos q>. }'x'— 1

1

Die rechte Seite lässt sich nach (35, i) unmittelbar durch $ aus- drücken und giebt

_ . ( 1 . 3 . . . (2M —1)). ( 1 . 3 . . . (2r 1), 1 . 2 . 3 . . . ( » + 0

F ü r den Querschnitt erhält man demnach (x = cos0, 0 < ff < \n) (37, c) ... ( - 1 V Ö " ,.(cosÖ4-0.i)— ( - l ) " Ö i , . ( c o s 0 )

- Yin(n+l)

(1

-

;5

-

5

"-i

2w

r-

1

)

)

:r (

T

)

4 7 1 1 , 1 2 j

n(n + v)n(n-v)

45 h

Das Integral auf der rechten Seite von (37) formt man weiter um, indem man dasselbe, mit Einschluss der y

1

"' Potenz von —1, in

(:•' 1)' i</;

/ / ( n + v) . / da" (® + 3 >

/

i ' - i j » + ' verwandelt. Durch die Gleichung (3, a) von J a c o b i entsteht aus (37) d i e n e u e G l e i c h u n g

(38) 0"(r) — + / ^ eosm; du

° ~ ~n(tt + v)n(n - v ) J (a,

+

cosMiTl/x

2

--!)«'

1

' w e n n v < m - { - \ . Für ein x im Querschnitt versteht man unter Q

nv

(x) das Produkt («sin 0)»-£i" (x), wo 0 < 0 < In. Der Werth am negativen Ufer übertrifft den am positiven um

( - 1 ) " ( 2 « - 1 - I ) f r i p;:(cos0).

Die Form (37) hat vor (38) den Vorzug, der Differentialgl. (23) S. 148 selbst dann zu genügen, w e n n v n i c h t m e h r e i n e g a n z e Z a h l v o r s t e l l t , also bei einer Verallgemeinerung der Kugel- funetionen auf den Fall eines gebrochenen oder imaginären Iudex v

seine Brauchbarkeit nicht zu verlieren.

Durch ein Verfahren wie im § 50 ergiebt sich für die Q e i n e

•224

I. T h e i l . Viertes Kapitel.

§ 52, 38.

D o p p e l g l e i c h u n g , welche ähnlich der Doppelgleichung (33, d) auf S. 207 ist, sowohl was die Form als auch was deu Bereich der Gültigkeit in Betreff der Zahl v anbelangt. Führt man in dem Integral der rechten Seite von (37) statt w, durch die Substitution der S. 159 unter 2, die Veränderliche v ein, so geht dieses nach der Bezeichnung von S. 160 in

y (.c — cosw. V-r"—1)'

^H

' sin-' M'i/r n

über und man findet:

I. Satz. U n t e r den V o r a u s s e t z u n g e n des I. S a t z e » au'f S. 160 ist

(38, a) . . . £>!.,.(*)

"

v

. ,, ' / ( x - cos.r. } V - 1 ) ' H . sin-' i»> dr.

ll(n — v) 1.3... (2f — 1) J

Durch Gleichsetzung der rechten Seiten von (37) und (38, d) erhält man eine Gleichung, die wir hier übergehen, die aber vor der folgenden den Vorzug hat auch für solche v gültig zu bleiben, die nicht ganze positive Zahlen sind. Indem ich in derselben die Potenz von sinw nach J a c o b i ' s Formel durch den Cosinus des Vielfachen ersetze, erhalte ich den

II. Satz. U n t e r d e n V o r a u s s e t z u n g e n des I. S a t z e s S. 160 b e s t e h t d i e D o p p e l g l e i c h u n g

(38,6) . . . -2" — f \

x~ cosiv. l)"cos»'w dv JhiJln /, x

cos ivadu

~ fl(if + v)ll(n — v)J (x cosiw. l x'- \)"+'

Die Ableitung setzt voraus, dass v _ n; wenn v > n, so verliert das dritte Glied die Bedeutung, während, w i e im § 5 3 b e w i e s e n w i r d , das e r s t e n o c h g l e i c h d e m z w e i t e n b l e i b t .

In den speciellen Fällen, welche im § 36 unter 1, 3 und 4 behandelt wurden, vereinfacht sich (38, b)\ z. B. verwandelt sich für x — iy nach S. 159 ihr zweites Glied in

/

'arccotgw.

+ 1 . cos* - y)

n

cos v% d

x.

ii

Wird x reell und > 1 oder endlich < 1 , so verwendet mau die

Ausdrücke von r

0

uuter 3 und 4.

§ 53, 38.

Z u g e o r d n e t e F u n c t i o n e n .

225

§ 53. In diesem Paragraphen zeige ich durch eine Methode, welche in meiner Inauguraldissertation § 9 angewandt wurde, dass die Integrale

y / /—2—7x„ . r cos vadw

— cosqo.j^ — l)"cosv<jP(/9>, ,

^r

„ (J.•—cos<p.yx°—l)

ⁿ

l-

^,

zwischen geeigneten Grenzen genommen, der Differentialgl. (36) für die Zugeordneten genügen und fülle die oben erwähnte Lücke aus, welche im Beweise von (38, b) für den Fall v > n ge- blieben ist.

Zum Zwecke dieser Untersuchung mache man x—cos 7;. |.'

, J

- 1 = >', u>, — (—VyJ'r" coKfffrfqp,

ii

indem man unter <p eine reelle oder imaginäre Veränderliche ver- steht, unter a und v vorläufig irgend welche reelle oder imaginäre Constante, so dass die nächsten Resultate sich auf sehr allgemeine Integrale beziehen. Man erhält dann durch Differentiation, wenn man für die obere Grenze q> in w zunächst einen von x unab-

hängigen Werth setzt

,-y- . dir, dx

= a ( — \ y ^ r " 'ly^

¹

—1.siu(f +1)^P — irsinvqp]sin90cfqp.

I I

Dieser Ausdruck ist die Summe zweier Integrale; das erste und dann das zweite geben nach einer Integration durch Theile resp.

v{i cc vx

(-I)»r«sin(v + I)g> + ( H - I ) « v i „ ( - 1 ) " , ,

⁽

*mvq> • w

^y

,

\x —1 \x —1

und eine Zusammenstellung der Resultate verschafft die Gleichung (a) . . . ~[(x*-l)-iyw

v

]=(a + v + l ) ( x

t

— i y ' ~ T ~ i o

r + 1

- / x \

-f (— l)"r«(a:'

¹

-l) - f s m ( » + l ) y + s i n r y ) •

yx

2

—1 '

Man erkennt hieraus, dass durch fortgesetzte Differentiation des Gliedes auf der linken Seite sein Index v, er mag ganz oder ge- brochen, positiv oder negativ sein, fortwährend erhöht wird, und dass w

y +

„

n

wenn m i r g e n d e i n e p o s i t i v e g a n z e Z a h l be- zeichet, durch Differentiation von w

^y

gewonnen wird, indem nur noch Glieder hinzutreten, die frei von der Integration sind, die

Heine, Theorie der Kugelfuiictionen. 'J. Aull.

226 I. Theil. Viertes Kapitel. § 53, 88.

nämlich trigonometrische Functionen von <p, algebraische von x enthalten. So erhält man z. B., indem man « = — v — O setzt, als Resultat, dass das elliptische Integral

/ ' cos mcpdcp

O ix— COS(jp."/iC

2

—1

durch m fache Differentiation nach x aus dem Integrale erster Gattung entsteht.

Die Resultate modificiren und vereinfachen sich, wenn a und v so beschaffen sind, dass a 4- v m für irgend eine positive ganze Zahl m verschwindet; d a n n wird der m

te

D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t der l i n k e n S e i t e v o n (a) N u l l , also der m—l

te

constant, und eine neue Differentiation erhöht den Index v ^ m — l von w nicht mehr.

Da w

y

= w-

r

, so wird für ein ganzes positives v durch 2v fache Differentiation aus

dieselbe Function dividirt durch (a;

2

—1)" erzeugt, — abgesehen von Gliedern, die vor dem Integrale stehen, also nur die Grenzen ent- halten. Es wird also z. B. das vorstehende elliptische Integral, welches m enthält, durch 2m fache Differentiation aus sich selbst erzeugt.

Nimmt man die Integrale w in geeigneten Grenzen, so kann man die erwähnten Glieder vor, dem Integrale zum Fortfall bringen und erhält demnach lineare Beziehungen zwischen „ganzen" Inte- gralen, wie man sie nennen kann, indem man den bekannten Aus- druck von den elliptischen Integralen entlehnt. Jeder von solchen Beziehungen zwischen den ganzen Integralen würde eine zwischen Integrale mit beliebigen Grenzen entsprechen, die wir nunmehr verlassen.

Die Gleichung (a) reducirt sich auf

( 6 )

K ® - = ( « + » ' -

1

) " " ^ » h - I L

wenn <p so gewählt wird, dass

(c) . . . r°(sin(i'-j-l)<)P + ^ ^ ^ sin = 0.

Dies geschieht e r s t e n s f ü r q> = n, vorausgesetzt dass v eine

ganze Zahl oder Null ist — und wir beschränken uns jetzt auf

diesen Fall; z w e i t e n s wenn a negativ ist und man setzt qp = iu,