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b) Eine Lie-Algebra g ist genau dann aufl¨osbar, wenn g1 im Radikal der Killingform enthalten ist

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Academic year: 2022

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Lie-Algebren WiSe 2015/16

5. ¨Ubungsblatt Dr. Thorsten Weist

Abgabe bis Montag, 30.11.2015 Dr. Magdalena Boos (in Vorlesung oder ¨Ubung)

Aufgabe 1. (6 Punkte) Zeigen Sie:

a) Ist geine nilpotente Lie-Algebra, dann ist ihre Killingform die Nullab- bildung ist.

b) Eine Lie-Algebra g ist genau dann aufl¨osbar, wenn g1 im Radikal der Killingform enthalten ist.

Aufgabe 2. (6 Punkte) Berechnen Sie die Determinante der Killingform von sl3(C) bez¨uglich der Standardbasis. Welche Primzahlen teilen sie?

Aufgabe 3. (6 Punkte)

a) Ist die Killingform von gl2(C) ausgeartet?

b) Zeigen Sie, dass die Killingform von gln(C) durch

κ(a, b) = 2·n·Spur(ab)−2·Spur(a)·Spur(b) gegeben ist.

Aufgabe 4. (6 Punkte) Es sei g eine aufl¨osbare Lie-Algebra.

Zeigen Sie, dass Spur(adx◦ady) = 0 f¨ur alle x∈gund y∈g1 gilt.

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