Mathematik und Geometrie

Aufnahmetest BM 2008 Schule Willisau

Mathematik und Geometrie

Lösungen

1 2 1 10

) 3 ( 3 5

) 2 (

2 − = + − −

− x x x

x

4 3 6 8

5 5 9 3 8 4 10

10 5 5 10

) 9 3 ( 10

) 4 2 ( 2 10 10

=

=

+

− +

= +

−

− −

= +

− −

x x

x x

x x

x x

x x

2 a) 12x²y−20x² −3y+5=(3y−5)(4x² −1)=(3y−5)(2x+1)(2x−1) b) (2x– 3y)² = 4x²– 12xy + 9y²

3 ^70a−

{

[

] }

[ ]

{

}

70a− a− a− − a− a− − a+

{ }

16 56

20 25 1 9 16 3 9 5 70

20 25 1 9 16 3 9 5 70

+

+

−

−

− +

− +

−

− + + +

− +

−

− a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

2 3

100 16 56

=

= + a

a

4 x: 96%iger Alkohol y: 10%iger Alkohol 1. Gleichung: x + y = 750m y = 750 – x 2. Gleichung: 96x + 10y = 70 ^. 750

Auflösung:

26 . 86 523

45000

52500 7500

86

52500 )

750 ( 10 96

=

=

= +

=

− +

x x

x x

Es wird 523.26 ml 96%iger Alkohol mit 226.74ml 10%igem Alkohol gemischt.

5 Man nimmt an, dass der Teich insgesamt 1500l Wasser fassen kann.

1. Zufluss: 150l/h 2. Zufluss: 100l/h

Der Teich ist schon halb voll. Das heisst, es müssen noch 750l Wasser eingelassen werden.

Der erste Zufluss ist zuerst 2h alleine offen, 300l werden dabei in den Teich fließen.

Es sind also noch 450l Wasser ausstehend. Gemeinsam haben die Zuflüssen eine Füllleistung von 250l/h.

Berechnung: h

h l

Zeit l 1.8 /

250 450 =

=

Es dauert noch 1h 48min um den Teich vollständig zu füllen.

6 Kloten: x 112 Fans

Zug: 2x + 54 278 Fans

Ambri: x/2 + 36 92 Fans

Langnau: x/2 + 60 116 Fans

112

598 150 4

598 ) 2 60 ( ) 2 36 ( ) 54 2 (

=

= +

= + + + + + + x

x

x x x

x

7 Kapital 1: K₁ Kapital 2: 33750 – K₁

p = 3.5% = 0.035 p = 3% = 0.03

t = 360 Tage t= 255 Tage

360 t p Z = K⋅ ⋅

Beide Zinserträge sind gleich. Somit entsteht folgende Gleichung:

−

=

=

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

= −

⋅

⋅

= ⋅

⋅

. 12750

5 . 258187 25

. 20

65 . 7 5 . 258187 6

. 12

255 ) 03 . 0 5 . 1012 ( 035 . 0 360

360

255 03 . 0 ) 33750 035 (

. 0

360 255 03 . 035 0

. 0

1 1

1 1

1 1

1 1

2 1

K K

K K

K K

K K K K

Das erste Kapital beträgt 12750.-, das zweite 21000.- Franken.

8

Mit Pythagoras die Strecke y berechnen:

h = 3m; z = (15 – 10):2 = 2.5m m

z h

y= ² + ² =3.905

Mit Pythagoras die Strecke x berechnen:

y = 3.905m; w = (30 – 20):2 = 5m m

w y

x= ² + ² =6.34

b)

°

=

°

−

°

−

°

=

°

=

°

−

=

°

=

°

−

°

−

°

=

58 61 61 180

32 29

61 29 90 180 α

β γ β

y z

h y

w a)

9

Fläche:

Kleines Rechteck: 7 ^. 4 = 28cm

Grosses Rechteck: 11 ^. 4 = 44cm

Viertelkreis: A 38.48cm

4 7²

⋅ =

= π

Kleines Quadrat minus kleiner Viertelkreis: A 3.43cm 4

4 4

2

2 − ⋅ =

= π

2mal: 6.87cm

Summe aller Teilflächen: 117.56cm²

Umfang:

2mal a: 30cm

2mal kleiner Viertelkreisumfang: 12.57cm 4

4 2⋅2⋅ ⋅π =

Viertelkreisumfang: 10.995cm 4

7 2⋅ ⋅π =

Summe aller Teilumfänge: 53.56cm

10 a)

2 2

3

5 : 3 5

18 



 



−







− ab

c b a

2 2

2 2

3

2 2 2

3

10 9

25 5

18

25 : 9 5 18

bc a b

a c

b a

b a c

b a

−

=



 



⋅







−

=















−

=

b) T(x)=−x³ −2x² −5x+3=−(−4)³−2(−4)² −5(−4)+3=64−32+20+3=55

Zusatz

Zuerst berechnet man die Länge x mit Pythagoras:

m RC

SD

x= ² − ² = 42² −40² =12.81

CT = y TR = 40 + y Gleichung:

RS RC y CD

y = +

81 . 36

40 24

= y+

y

m y

y y

96 . 74

40 24 81 . 36

=

+

=

Der Abstand CT beträgt 74.96m.

x

y