Diskrete Mathematik und Geometrie

INSTITUT FÜR DISKRETE MATHEMATIK UND GEOMETRIE FORSCHUNGSGRUPPE GEOMETRIC MODELLING AND INDUSTRIAL DESIGN

DIPLOMARBEIT

Geometrisch Mathematische Kuriositäten

Ausgeführt am Institut für

Diskrete Mathematik und Geometrie

der Technischen Universität Wien unter der Anleitung von

Univ.Doz. Mag. Dr. Martin PETERNELL

durch

Gerald SCHEFBERGER

Fabriksgasse 65, 7022 Schattendorf 05. Mai 2011

Die approbierte Originalversion dieser Diplom-/Masterarbeit ist an der Hauptbibliothek der Technischen Universität Wien aufgestellt (http://www.ub.tuwien.ac.at).

The approved original version of this diploma or master thesis is available at the main library of the Vienna University of Technology

(http://www.ub.tuwien.ac.at/englweb/).

DANKSAGUNG

An dieser Stelle möchte ich mich herzlich bei meinem Betreuer Univ. Doz. Mag. Dr. Martin PETERNELL für die kompetente fachliche und persönliche Unterstützung bedanken.

Mein besonderer Dank gilt aber auch allen übrigen Professoren und Assistenten, welche mir während meiner Studienzeit an der TU Wien unterstützend zur Seite standen.

Ebenso möchte ich meiner Familie, vor allem aber meinen Eltern Gerhard und Anna Schefberger, welche mir dieses Studium überhaupt erst ermöglicht haben und meinem Bruder Christoph danken. Sie haben in schwierigen Zeiten immer aufmunternde Worte für mich gefunden.

Weiters möchte ich auch meinen ganzen Studienkollegen und meinen Freunden für ihre Geduld danken, die sie in den vergangenen Jahren sicher oftmals mit mir haben mussten.

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit werden einige klassische Probleme und Aufgaben der Geometrie, welche manchmal zu erstaunlich überraschenden Ergebnissen führen, genauer betrachtet und es wird versucht diese „Kuriositäten“ mit Hilfe neuester Geometrieprogramme zu veranschaulichen um somit einen neuen Einblick zu erhalten.

Anhand einer großen Anzahl von Abbildungen wird versucht, die geometrischen Inhalte und Problemstellungen möglichst verständlich und „schülerfreundlich“ zu gestalten. Computeranimationen zu den wesentlichen Inhalten dieser Arbeit sollen weiters eine Brücke zwischen altbekannter Theorie und den modernen Medien, welche mittlerweile ein wichtiges Hilfsmittel der Darstellenden Geometrie einnehmen, darstellen.

Die Arbeit ist in drei Kapitel gegliedert,

Im ersten Kapitel meiner Arbeit wird die Thematik des Messens von Längen und Flächen aufgegriffen.

„Gegeben sei eine Kurve oder Fläche im Raum“

Diesen Satz werde ich auf den folgenden Seiten für meine Ausführungen öfters verwenden. Ausgehend von dem Verfahren der Berechnung der Länge einer Kurve durch Polygonapproximation, möchte ich zeigen, dass man die Länge einerseits über eingeschriebene Polygone und andererseits über tangential umschriebene Polygone ermitteln kann.

Jedoch, wie berechnet man den Inhalt einer Fläche im Raum?

Sicherlich bietet die Integralrechnung in der Beziehung zahlreiche Lösungsmöglichkeiten, doch soll in meiner Darlegungen diese Form der Lösung weitgehend vernachlässigt werden und nur wenn nötig als Vergleichsmöglichkeit dienen. So werde ich mich ausführlicher dem Verfahren widmen, welches eine gegebene Fläche in Dreiecke zerlegt und dadurch mit Summation der Flächen aller Teildreiecke eine Näherung für deren Inhalt liefert.

Weiterhin wird diese Arbeit Aufschluss darüber liefern, ob dieses Verfahren zwangsläufig zu einem brauchbaren Ergebnis führt?

Wir werden sehen, dass es Beispielsweise bei der Approximation des

„Schwarz’schen Zylinders“ (auch Schwarz’sche Laterne genannt, nach Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)) zu überraschenden Ergebnissen kommen kann und wird.

Im zweiten Kapitel meiner Arbeit beschäftige ich mich mit dem Kuriosum der Abwickelbarkeit der Sierpinski Pyramide in die Ebene.

Üblicherweise ist die Differenzierbarkeit eine Voraussetzung bei der Abwicklung. Aufbauend von der ebenen Fraktalen Geometrie wird der Begriff der Fraktalen Dimension erörtert. Dieser Dimensionsbegriff ermöglicht es erst, Fraktale nach gewissen Kriterien zu klassifizieren.

Weitere verblüffende Zusammenhänge der Mathematik und der fraktalen Geometrie werden durch das Pascal’sche Dreieck gezeigt.

Anschließend wird dieses Dreieck um die dritte Dimension zur Pascal’schen Pyramide erweitert und gezeigt, dass auch im Raum diese Zusammenhänge noch immer vorhanden sind.

Im dritten Kapitel geht es im Wesentlichen um das Würfelproblem von Prinz Ruprecht von der Pfalz. Das Kuriosum liegt hierbei darin, einen Würfel durch einen ebensogroßen Würfel durchzustoßen, ohne das der

Ausgangswürfel in mehrere Einzelteile zerfällt. Um dieses Problem überhaupt lösen zu können, gehe ich den Umweg über das Problem der Dido, welches sich mit der ebenen isoperimetrischen Aufgabe beschäftigt. In Folge wird dieses Problem dann auf den Raum, zu der isoperimetrischen Aufgabe über Dreikante erweitert. Mit Hilfe der Heron’schen Flächenformel und deren Erweiterung, der Formel des Brahmagupta, kommt man nun schlussendlich zur Lösung des ursprünglichen Problems der beiden gleichgroßen Würfel von Prinz Ruprecht von der Pfalz.

Die Animationen sowie die gesamte Diplomarbeit sind auf der beigelegten CD vorhanden.

Inhaltsverzeichnis:

1. MESSEN AUF KURVEN UND FLÄCHEN – ES ZÄHLEN NICHT

IMMER NUR DIE INNEREN WERTE ... 1

1.1. Definition einer Kurve ... 1

1.2. Definition der Länge... 1

1.2.1. Definition der Länge einer Kurve ...1

1.3. Messen auf Kurven ... 2

1.3.1. „innere“ Approximation ...2

1.3.2. „äußere“ Approximation ...4

1.4. Definition der Fläche ... 6

1.5. Definition des Oberflächeninhalts ... 7

1.6. Das Oberflächenintegral ... 7

1.7. Das Oberflächenelement ... 8

1.8. Messen auf Flächen ... 11

1.8.1. „äußere“ Approximation ... 11

1.8.2. Triangulierung von Flächen (Bsp. Kegelstumpf) ... 12

1.8.3. „innere“ Approximation (Der Schwarzsche Zylinder) ... 15

2. FRAKTALE GEOMETRIE ... 25

2.1. Was sind Fraktale?... 25

2.2. Merkmale ... 27

2.2.1. Iteration ... 27

2.2.2. Selbstähnlichkeit ... 28

2.2.3. Fraktale Dimension ... 29

2.2.3.1. Dimensionen und Topologie ... 29

2.2.3.2. Dimensionen der Fraktale ... 31

2.3. Klassische Fraktale der Ebene ... 34

2.3.1. Die Koch Kurve ... 34

2.3.2. Sierpinski Dreieck ... 36

2.3.2.1. Fläche des Sierpinski Dreiecks ... 37

2.3.2.2. Länge des Randes des Sierpinski – Dreiecks ... 38

2.3.2.3. Dimension des Sierpinski – Dreiecks ... 39

2.3.2.4. Andere Kuriose Zusammenhänge ... 39

2.4. Räumliche Fraktale ... 41

2.4.1. Die Sierpinski – Pyramide (Tetraeder) ... 41

2.4.1.1. Volumen der Sierpinski – Pyramide ... 42

2.4.1.2. Rand der Sierpinski – Pyramide ... 44

2.4.1.3. Oberfläche der Sierpinski – Pyramide ... 45

2.4.1.4. Bastelvorlage für Sierpinski - Pyramide ... 46

2.4.1.5. Andere Kuriose Zusammenhänge ... 47

3. WÜRFELAUFGABE VON RUPRECHT VON DER PFALZ ... 48

3.1. Historisches ... 48

3.2. Die Würfelaufgabe ... 49

3.2.1. Das Isoperimetrische Problem ... 49

3.2.1.1. Geometrischer Beweis ... 50

3.2.2. Die Heron’sche Flächenformel ... 52

3.2.2.1. Geschichte ... 52

3.2.2.2. Beweis ... 53

3.2.3. Isoperimetrische Aufgabe für Vierecke ... 55

3.2.3.1. Geschichte ... 55

3.2.3.2. Beweis ... 56

3.2.4. Isoperimetrische Aufgabe über Dreikante ... 61

3.3. Das ursprüngliche „Würfelproblem“ ... 64

3.3.1. Der Lösungsansatz ... 64

3.3.2. Erweiterte Aufgabe des Problems ... 66

4. QUELLENANGABE ... 68

1. Messen auf Kurven und Flächen –

Es zählen nicht immer nur die inneren Werte

1.1. Definition einer Kurve

Eine Kurve in der Ebene (oder im Raum) ist eine Abbildung

[ ]

a b

c , ^{2 ( 3)}, die stetig und stückweise (d.h. bis auf endlich viele Stellen) differenzierbar ist.

1.2. Definition der Länge

Eine der Eigenschaften welche nur den Wegen, Strecken und Kurven in der Mathematik zugeordnet werden kann, wird als Länge definiert. Die Länge einer Kurve wird auch als Bogenlänge oder Rektifikationslinie bezeichnet.

1.2.1. Definition der Länge einer Kurve

„Die zu einem Weg γ :

[ ]

a,b →X gehörende Bildmenge Γ =γ

( [ ]

a,b

)

wird als Kurve (auch Spur des Weges γ ) bezeichnet. Der Weg γ wird auch Parameterdarstellung oder Parametrisierung der Kurve Γ

dieselbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist nahe liegend, die Länge einer Kurve als die Länge eines dazugehörigen Weges zu definieren; das setzt aber voraus, dass die Länge für jede Parametrisierung denselben Wert liefert. Anschaulich ist das klar und es lässt sich tatsächlich für injektive Parametrisierungen zeigen. Insbesondere gilt:

Seien γ1:

[

a1,b1

]

^→ Rⁿ und γ2:

[

a2,b2

]

^→ Rⁿ zwei injektive Parametrisierungen derselben Kurve Γ, also γ₁

( [

a₁,b₁

] )

=γ₂

( [

a₂,b₂

] )

=Γ. Dann gilt: L

( ) ( ) ( )

γ₁ ⁼Lγ₂ ⁼L ^Γ .“ (do Carmo, 1998)

Satz 1: Die Länge einer Raumkurve C wird bestimmt, indem man eine Folge von Polygonzügen {Pn} angibt, so dass die Endpunkte der Strecken jedes Polygonzugs Pn auf C liegen und das Maximum ihrer Längen gegen Null strebt. Die Länge von C ist dann das Supremum der Längen der Pn.

1.3. Messen auf Kurven

1.3.1. „innere“ Approximation

Um später ganze Flächen im R³ berechnen zu können, soll zuerst einmal, die Länge einer Raumkurve bestimmt werden. Hierzu rufen wir uns wieder den „Satz 1“ in Erinnerung.

Im Folgenden wird gezeigt, wie zu einem gegebenen Halbkreis eine Näherungsformel herzuleiten ist.

Als Beispiel für die Anwendung der Polygonzugapproximation sei ein Halbkreis parallel zur xy-Ebene gegeben, der wie folgt definiert ist:

[ ]

{ }

Dieser Halbkreis hat den Radius 2 und seinen Mittelpunkt im Punkt [0, 0, 1].

Da er parallel zur xy-Ebene liegt, kann man die im R³ definierte Punktmenge problemlos auch als Punktmenge des R²betrachten, ohne das dies irgendwelche Auswirkungen auf die Länge der Kurve hat:

{ [ ]

^{, | 2, 0}

}

~ = x y ∈R2 x2+ y2 = y≥ C_K

Wir beginnen damit, den Kreisbogen durch zwei gleich lange Sehnen anzunähern, die sich wie in der Skizze ersichtlich im Punkt

[ ]

^{0, 2} schneiden.

Der Winkel α(Abb. 1.1) beträgt in diesem Fall

4 π . Also gilt für die Länge der Sehne2s=2 2sinα .

Wenn man für die Zahl der Sehnen eine Variable n

definiert, so ergibt sich für die erste Näherung des Kreisbogens die Formel:

( )

4 2sin 4

sin 4 2

2 π ₌ π

= n P L _n

Verdoppelt man jetzt wie im Bild ersichtlich die Zahl der gleich langen Sehnen, um damit eine bessere Näherung zu erzielen, so halbiert sich der Winkel α mit jeder weiteren Näherung.

Der Winkel ergibt sich also durch ⁿ 2n α = π

.

Die Länge des Polygonzugs beträgt dann in Abhängigkeit von n

( )

^π

Abb. 1.1: Approximation Kreisbogen

Die Länge des Kreisbogens ergibt sich dann aus dem Grenzwert

( ) ( )

_n

K n L P

C

L =lim→∞ . Da nun π ₌π

∞

→ n n

n sin

lim , ist 2

sin2 2 2

lim π ₌π

∞

→ n n

n .

Exakter Wert für die Länge der Kurve

Dieser Wert berechnet sich über die Hälfte des Umfangs eines Vollkreises u=2πrund beträgt damit ebenfalls π 2

Visualisierung am Beispiel Halbkreis:

1.3.2. „äußere“ Approximation

Bei dieser Form der Approximation wird im Gegensatz zur „inneren“

Annäherung ein Polygon umschrieben und nicht eingeschrieben. Dazu wird die zu untersuchende Kurve gleichmäßig unterteilt. In jedem dieser Unterteilungspunkte der Kurve wird nun die Tangente ermittelt. Diese

Abb. 1.2: Annäherung an einen Kreisbogen durch Polygonzugapproximation

vorangehenden Punktes geschnitten. Die Bogenlängenapproximation erfolgt dann durch das Aufsummieren der einzelnen Teilstrecken zwischen den Schnittpunkten der Tangenten. Interessant ist, dass dieses Verfahren bei jeglichen injektiven ebenen Kurven funktioniert.

Gegeben seien als Beispiele eine Ellipse und eine Spirale.

Visualisierung Beispiel Ellipse:

Visualisierung Beispiel Spirale:

Abb. 1.3: Annäherung an eine Ellipse durch „tangentiale“ Polygonzugapproximation

1.4. Definition der Fläche

„Der Flächeninhalt ist in der Geometrie ein Maß für die Größe einer Fläche. Eine Fläche ist ein zweidimensionales Gebiet (Figur/Objekt ohne Rauminhalt), welches eben oder gekrümmt sein kann. Sie kann einen dreidimensionalen Körper begrenzen, aber nicht füllen. Der Flächeninhalt wird jedoch oft kurz Fläche genannt, was jedoch nach der mathematischen Terminologie falsch ist.

Um den Flächeninhalt anzugeben, wird eine Reihe von Flächenmaßen verwendet. Das in Mathematik und Physik übliche Formelzeichen Α leitet sich vom lateinischen area (= Grundfläche) ab.“ (Fichtenholz, 1960)

Es wird nun noch zwischen regulären und topologischen Flächen unterschieden. Eine reguläre Fläche ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Mit Hilfe dieses Begriffs wird der allgemein gebräuchliche Begriff der Fläche im mathematischen Kontext präzise definiert. Die folgende Definition bedeutet anschaulich, dass man Stücke einer Ebene verformt und diese derart, dass keine Ecken oder Kanten entstehen, zusammenheftet, so dass man an jeder Stelle des entstandenen Gebildes eine Tangentialebene definieren kann.

Im Unterschied zur topologischen Fläche sichern reguläre Flächen die Möglichkeit zu differenzieren und zu integrieren.

Beispiele für bekannte Flächen in der Ebene und im Raum sind das Dreieck oder die Kreisscheibe, die Oberflächen von Vollkörpern wie etwa Kugel, Zylinder, Kegel oder das Möbiusband (nicht-orientierte Fläche) oder die Klein’sche Flasche (ist eine geschlossene Fläche, aber keine Oberfläche eines Vollkörpers und lässt sich noch nicht einmal ohne Selbstschnitte in den dreidimensionalen Raum einbetten).

1.5. Definition des Oberflächeninhalts

„Aus ebenen Teilflächen zusammengesetzte Flächen (z.B. Oberflächen von Polyedern) lassen sich aus den obigen Flächen zusammensetzen und dann wie in der Ebene behandeln. Die Oberfläche der Kugel mit Radius r ist zum Beispiel: A=4πr²

Für andere gekrümmte Flächen, die sich mit Hilfe differenzierbarer Funktionen beschreiben lassen, kann der Flächeninhalt mit den Mitteln der Elementaren Differentialgeometrie ermittelt werden. Diese Berechnung erfolgt dann über das Oberflächenintegral.“ (Fichtenholz, 1960)

1.6. Das Oberflächenintegral

Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung des Integralbegriffes auf ebene oder gekrümmte Flächen. Integrationsgebiet F ist also nicht ein eindimensionales Intervall, sondern ein zweidimensionales Gebiet. Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden und des so genannten Oberflächenelements. Sie lauten

∫∫

F

d

f σ mit skalarer Funktion f und skalarem Oberflächenelement dσ

sowie

∫∫

F

dσ

ν^{r r} mit vektorwertiger Funktion vr und vektoriellem Oberflächenelement dσ^r.

Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion

deren Rand keine doppelten Punkte enthält, stetig differenzierbar, nicht unendlich lang und ferner ϕ eine Abbildung von B in den R³ ist, so sagt man, ϕ ist Parametrisierung der Fläche F, wenn F =ϕ

( )

B ist.

Allgemein lässt sich eine Fläche im R³ mit zwei Parametern u und v in folgender Form darstellen:

→ B

ϕ: R³,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

v u z

v u y

v u x v u v

u

, , , ,

, _aϕ^r

Auf der Fläche ϕ^r

( )

u,v bilden die Kurvenscharen u=constbzw. v=const die Koordinatenlinien. Diese überziehen die Fläche mit einem Koordinatennetz, wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen. Somit hat jeder Punkt auf der Fläche eindeutige Koordinaten

(

u₀,v₀

)

. (Fichtenholz, 1960)

1.7. Das Oberflächenelement

Wenn im eindimensionalen Fall das dx die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes dσ zu ersetzen.

Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei Tangenten legen. Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man v konstant lässt und u minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen. Das heißt also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten

( )

Tangentenvektoren ausdrücken (sei ϕ^r

( )

u,v die parametrische Form der Fläche):

und

Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise für die partiellen Ableitungen verwendet:

und

Sind diese Tangentialvektoren ϕ^r_u und ϕ^r_v in keinem Punkt der Fläche parallel, so spricht man von einer regulären Parametrisierung. Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge ungleich Null ist.

Die beiden Tangentenvektoren liegen in der Tangentialebene der Fläche am betrachteten Punkt. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes.

Ist nun ϕ^r

( )

u,v eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:

• Skalares Oberflächenelement

• Vektorielles Oberflächenelement

mit dem Einheitsnormalenvektor des Flächenelements

Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des infinitesimalen Flächenstücks.

In der oben genannten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht wohldefiniert, da seine Richtung davon abhängt ob man ϕ^r_u ×ϕ^r_v oder ϕ^r_u ×ϕ^r_v =−

(

ϕ^r_u×ϕ^r_v

)

berechnet. Die beiden Möglichkeiten sind antiparallel zueinander. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende vektorielle Oberflächenelement zu verwenden ist.

Abb. 1.5: skalares (links) und vektorielles (rechts) Oberflächenelement

1.8. Messen auf Flächen

1.8.1. „äußere“ Approximation

Anhand des im Folgenden gezeigten Beispiels wird visualisiert, dass die Approximation mittels Tangentialebenen an eine Fläche genau das Analogon zu der Annäherung von Tangenten an eine Kurve ist. Um eine Fläche mittels Tangentialebenen annähern zu können, ist es zunächst notwendig das Parametergebiet in ein geeignetes Raster von Punkten auf den u- bzw. v-Linien zu unterteilen. Nun wird jede Parameterdarstellung nach u und nach v abgeleitet und mit Hilfe der dadurch erhaltenen Ableitungsvektoren werden die Tangentialebenen aufgestellt. Nun werden „benachbarte“ Ebenen miteinander geschnitten.

Der jeweilige Schnitt von 3 Ebenen ergibt einen gemeinsamen Schnittpunkt. Da die Approximation auf das Parametergebiet beschränkt sein soll, muss bei den Randpunkten der u- und v-Linien ein kleiner Trick zur exakten Bestimmung der Schnittpunke der Ebenen herangezogen werden. Zusätzliche vertikale Ebenen durch die Randkurven begrenzen das Parametergebiet und werden zur Berechnung herangezogen. Die Oberflächenberechnung der einzelnen Tangentialebenenstücken erfolgt dann durch Unterteilung der viereckigen Flächenstücke in je zwei Dreiecke und anschließendem Aufsummieren aller Teilflächen.

(anschaulich demonstriert auf der beigelegten CD:

„04_Tangentiale_Flächenapproximation_Elliptisches_Paraboloid“).

Wie schon bei der Bogenlängenberechnung von Kurven nähert sich die Approximation der Oberfläche immer besser an, je öfter und feiner das Parametergebiet am Anfang unterteilt wird, also je kleiner die einzelnen Tangentialflächen werden.

Beispiel Elliptisches Paraboloid:

1.8.2. Triangulierung von Flächen (Bsp. Kegelstumpf)

Gegeben seien zwei n-Ecke mit unterschiedlichen Radien r und R, welche genau um die Höhe H voneinander entfernt sind und deren Mittelpunkte genau übereinander liegen. Nun drehen wir eins der n- Ecke um

n

π und verbinden jede Ecke mit den Endpunkten der nun genau darunterliegenden n-Ecksseite des anderen n-Ecks zu Dreiecken.

Abb. 1.6: Tangentiale Flächenapproximation an ein elliptisches Paraboloid

Die Sehnen dieser n-Ecke haben dann die Längen

Rn n

S_R π

sin

=2

rn n

S_r π

sin

=2

Die in der Skizze verdeutlichte Strecke l, d.h., der maximale Abstand zwischen n-Ecksseite und ursprünglichem Kreisbogen beträgt dann

bei beiden n-Ecken:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= R R n

l_R π

cos

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= r r n

l_r π

cos

Nun haben zwei benachbarte Dreiecke unterschiedliche Höhen, die sich laut Pythagoras mit

( )

( )

^{2 2 2 2}

1 cos r H

R n H

R r l

h _R ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= +

− +

= π

( )

( )

^{2 2 2 2}

2 cos H

r n R H

r R l

h _r ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= +

− +

= π

berechnen lassen.

Somit kann man jetzt leicht die Flächeninhalte der benachbarten Dreiecke berechnen:

1

1 2

1S h

A = _{R 2 2}

2 1S h A = _r

Abb. 1.7: Triangulierung eines Kegelstumpfs

Abb. 1.8: Unterteilungsvorschrift für Triangulierung

Da nun der Kegelstumpf durch genau 2n Dreiecke angenähert wurde, lässt sich der gesamte Mantelinhalt mit

2 2 2

2 2

1 sin cos sin cos r H

R n nR n n H

r R nr n nA nA

A_i ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= +

= π π π π

errechnen.

Nach Herleitung dieser Formel zur Berechnung des Flächeninhalts einer durch Dreiecke angenäherten Mantelfläche eines Kegelstumpfes lässt sich daraus nun mühelos eine Formel entwickeln, mit der man die Oberfläche einer in Dreiecke zerlegten Oberfläche eines beliebigen Rotationskörpers einer stetigen Funktion berechnen kann.

Die Funktion, durch deren Rotation der Körper entsteht, wird durch einen Polygonzug entsprechend dem Kapitel 1.3.1 „innere Approximation“ angenähert, der aus k Teilstrecken besteht.

Diese Funktion wird dann in n Schritten rotiert, sodass dadurch mehrere übereinander liegende regelmäßige n-Ecke mit verschiedenen Radien entstehen.

Dreht man nun wie später im Kapitel 1.8.3. „innere“

Approximation beim Schwarzschen Zylinder jedes

zweite n-Eck um n

π , sodass dessen Ecke genau über der Mitte der Seite des darunterliegenden n-Eck liegt, und verbindet man die Ecken der benachbarten n-Ecke so, dass Dreiecke entstehen, so hat man auf diese Weise eine Triangulation der Oberfläche des gegebenen Rotationskörpers durchgeführt.

Abb. 1.9: Triangulierung eines Drehparaboloids

So können nämlich R und r aus der oben hergeleiteten Formel als benachbarte Radien der durch Rotation des Polygonzuges entstandenen n-Ecke aufgefasst werden:

(

b a

)

a k

r_i = i − + R=r_i−1

Wenn man a und b als die Grenzen des Intervalls annimmt, über dem die Funktion rotiert wird und das in k gleiche Abschnitte unterteilt wurde.

Die Höhe H läßt sich über die Funktionswerte beschreiben:

( ) ( )

− −1

= f r_i f r_i H

Damit erhält man durch Summation aller Dreiecke des gesamten Körpers die Formel:

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

(

₁

)

²

2 1

1 1

2 1 2

1 1

cos sin

cos sin

−

−

= −

−

= −

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑

∑

i i

i i

k

i i

i i

i i k

i i n

r f r f n r

r n r

n

r f r n f

r r n r

n F T

π π

π π

Trotz der Länge dieser Formel gibt sie doch die Möglichkeit, auf einfache Weise durch Festlegen der Variablen k und n eine Triangulation zu erstellen und deren Flächeninhalt zu berechnen. Für diese Berechnungen bietet sich der Computer an.

1.8.3. „innere“ Approximation (Der Schwarzsche Zylinder)

„Der Begriff des Flächeninhalts einer krummen Fläche weist eine

eines (nichtgeschlossenen) Bogens definierten wir als Grenzwert der Längen von einbeschriebenen Polygonzügen, für die die Länge aller Glieder gegen 0 strebt. Im Fall einer krummen Fläche (die ebenfalls nichtgeschlossen sein möge) wäre es natürlich, einbeschriebene Polyederflächen (Beispielsweise Dreiecke) zu betrachten und den Inhalt den Inhalt der krummen Fläche als Grenzwert des Inhalts solcher einbeschriebenen Polyederflächen zu definieren, für die der Durchmesser aller Seitenflächen gegen 0 strebt.“ (Fichtenholz, 1960, S.222)

Nun stellt sich jedoch die Frage, ob eine Unterteilung in Dreiecke immer zwangsläufig zum richtigen Ergebnis führt?

Um eine parametrisierte Fläche zu diskretisieren (damit sie etwa mit dem Computer visualisiert werden kann), wird die Fläche in der Regel trianguliert, d.h. durch Dreiecke angenähert. Gegen Ende des vorigen Jahunderts wurde festgestellt, dass diese zu Beginn dieses Kapitels erwähnte Definition unbrauchbar ist. Es kann zwar zu brauchbaren Ergebnissen kommen (siehe Abbildung (a)), muss es jedoch nicht, wie Hermann Amandus Schwarz, (1843-1921, deutscher Mathematiker) zeigte. Es kann vorkommen, dass der erwähnte Grenzwert sogar im einfachen Fall der Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders nicht existiert. (siehe Abb. 1.10 (rechts))

Abb. 1.10: diskretisierter Zylinder (links), Schwarz’sche Laterne (rechts)

Annäherung an diskretisierten Zylinder :

Abb. 1.11: Visualisierung einer diskreten Approximation eines Zylinders

Sehen wir uns diesen Umstand des Grenzwertproblems nun etwas genauer an.

„Wir unterteilen den Zylinder in m gleich hohe Schichten und nähern die Kreisgrundfläche des Zylinders durch

n-Ecke an. Nun verdrehen wir jedes zweite n-Eck um den Winkel

n π _{, so} dass immer die Ecke eines n-Ecks über der Mitte der Seite der benachbarten n-Ecke liegt. Dadurch beschreiben wir die Mantelfläche des Zylinders in angenäherter Form durch 2mn gleich große Dreiecke. Jetzt müssen wir nur noch den

Flächeninhalt eines dieser Dreiecke berechnen, um daraus den gesamten Flächeninhalt unserer Triangulation zu ermitteln.

Abb. 1.12: Schwarz’scher Zylinder

Definieren wir dazu, wie in der Skizze dargestellt die Seite eines n-Ecks als Grundseite des Dreiecks, dann hat diese die Länge 2rsinα =2AD mit

n α =π

α cos r OA=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

−

=

−

=OC OA r r r n

AC cosα 1 cosπ

m BC = h

Laut Pythagoras gilt somit für die Höhe des Dreiecks:

2 2

2 2

2 1 cos ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= +

= m

h r n

BC AC

AB π

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt daher:

2 2

2 1 cos

sin ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

m h r n

r πn π

Ist nun ein Zylinder Z =

{ [

x,y,z

]

∈R³ |x² +y² =1, 0≤z≤2

}

gegeben und wird F_n als Triangulation des Zylinders definiert, so folgt für die gesamte Fläche der Triangulation:

( )

=2 sin ²⎜⎛ −1 cos ⎟⎞² +⎜⎛h⎟⎞² r

r n m F

T π π

Abb. 1.13: Unterteilungsvorschrift für den Schwarz’schen Zylinder

Abb. 1.14: Zusatz zur Unterteilungsvorschrift von Abb. 1.13

Da der angenommene Zylinder Zden Radius r=1 und die Höhe h=2 hat, ergibt sich also Folgender Ausdruck:

( )

2 sin 1 cos ^{2 2}⎟²

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= mn n n m

F

T _n π π

Bildet man nun den Grenzwert

(

,

{ } )

lim

( )

_n :

n

n m T F

F Z T

∞

→→∞

=

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

∞

→→∞

∞

→→∞

∞

→→∞

4 cos

1 sin

2 lim

cos 2 1 sin 2 lim lim

2 2

2 2

m n n n

m n

n n m F

T

n m n n m n

m

π π

π π

Aus der Halbwinkelformel

2 cos 1

sinα2 = − α folgt, dass:

n n 2sin 2 cos

1 π_⎟= ² π

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − Also ist:

2 2

2 2

2

2

sin2 2 2

2 lim 1 sin 2

2 2 lim

sin 2 2 lim cos

1 lim

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⋅

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

∞

→→∞

∞

→→∞

∞

→→∞

∞

→→∞

n n n m n

n n m

m n m n

n m n

m

n m n

m

π π

π π

Wegen ²

2

sinπ_{⎟ =}π

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

n n gilt nun ² ₂

2

2 lim 2

sin2 2 2

lim n

m n n

n m

n m n

m ⎟ = ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

→→∞

∞

→→∞

π

π _.

Wenn wir definieren, dass m in gleicher Weise gegen Unendlich streben soll wie n, also m:=n, so gilt für den Grenzwert:

π π

π 4 4

sin 2 2 lim

2 ⎟⎟=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∞

→ n n n

n

Denselben Wert liefert uns die Formel zur Berechnung des ZylindermantelsA

( )

Z =2πrh=4π.

Wenn aber m und n unabhängig gegen Unendlich streben, so ist nicht in jedem Fall gewährleistet, dass der Ausdruck ₂

2

lim 2 n

m

n

m ⋅

∞

→→∞

π auch

wirklich konvergiert.

Wenn zum Beispiel m:=n³ist, so divergiert ₂ n

m und somit existiert auch

der Grenzwert nicht. Also muss ₂ n

m gegen Null konvergieren, damit der Grenzwert T

(

Z,

{ }

F_n

)

und der tatsächliche Inhalt A

( )

Z übereinstimmen.

Nun stellt sich noch die Frage, ob denn T

(

Z,

{ }

F_n

)

gegen jeden beliebigen Wert konvergieren kann, also ob für alle K >0eine Triangulation existiert, so dassT

(

Z,

{ }

F_n

)

=K⋅A

( )

Z .

Dazu muss man sich zwei verschiedene Fälle genauer ansehen:

, 1

0<K < K≥1

1) K <1: A

( )

Z >T

(

Z,

{ }

F_n

)

4 2 lim

2

4 2 lim

2 2 4

lim 2 4

2 2

2 2

2 2

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

>

⇔

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

= +

⋅

>

⇔

∞

→→∞

∞

→→∞

∞

→→∞

n m

n m n

m

n m

n m n

m

π

π π π π

π

Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, darf man sie quadrieren:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

> ⎛

⇔

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

>

⇔

∞

→→∞

∞

→→∞

2 2 2

lim 0

4 2 lim

4

n m

n m

n m

n m

π

Da jedochm,n∈N₁, kann der rechte Term der Ungleichung niemals kleiner als 0 werden. Also gilt in jedem FallT

(

Z,

{ }

F_n

)

≥ A

( )

Z .

2) K ≥1: Die Umformungen von Fall (1) werden mit umgekehrten Relationszeichen verwendet. Nun kommt man zu dem Schluss:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

≤ ⎛

∞

→→∞ 2

lim

0 n

m

n m

Da dies unbedingt der Fall ist, kann also für alle K ≥1eine Triangulation gefunden werden, so dass T

(

Z,

{ }

F_n

)

=K⋅A

( )

Z gilt.

Bemerkung: Zu K =1gehört nun genau die Triangulation, bei der 0

lim ₂⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

→→∞ n m

n

m ist, da dann nämlich

2 4 lim

2 ₂

2⋅ +

∞

→→∞ n m

n m

π π

genau gegen π

4 konvergiert.“ (Sarbak, Nickel: Praktikum Analysis I)

Hier sind nun 3 Graphiken die den eben geschilderten Sachverhalt verdeutlichen sollen:

Abb. 1.15: Schwarz’sche Laterne mit verschiedenen Parameterwerten für m und n

Wert für m = 3 Wert für n = 4

Wert für m = 7 Wert für n = 5

Wert für m = 16 Wert für n = 6 Tatsächlicher Inhalt = 12,566

Angenäherter Inhalt = 12,357

Tatsächlicher Inhalt = 12,566 Angenäherter Inhalt = 14,140

Tatsächlicher Inhalt = 12,566 Angenäherter Inhalt = 17,591

1.8.3.1. einige Beispiele für Approximationen:

1.8.3.1.1. Schwarzscher Zylinder:

Abb. 1.16: Approximation an Schwarz’sche Laterne

1.8.3.1.2. Zylinder mit versetzten Mittelpunkten :

1.8.3.1.3. Mischform zwischen (1.7.2.1.1) und (1.7.2.1.2)

Abb. 1.18: Mischform des originalen Schwarz’schen Zylinders mit seiner verdrehten Form

1.8.3.1.4. Möbiusband angenähert:

Abb. 1.19: Möbiusband diskret angenähert

1.8.3.1.5. Möbiusband Mischform:

Abb. 1.20: Möbiusband mit „schwarz’scher“ Triangulierungsvorschrift

2. Fraktale Geometrie

2.1. Was sind Fraktale?

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts befand sich die Mathematik in einer

„Krise“. Die Mathematiker hatten Schwierigkeiten sich ein Bild von manch komplexen Formeln und Theorien zu machen. Umgekehrt wurden Dinge entdeckt, die sie sehen konnten aber nicht glauben. Es entstand der Begriff der mathematischen Monster.

Viele der damaligen Forscher verpönten den Versuch der bildlichen Darstellung, der polnische Naturwissenschaftler Benoît Mandelbrot aber war der Meinung, dass in der Theorie der Fraktale "sehen heißt glauben" gelte. Grafiken liefern Inspirationen und die Illustrationen führen zur Theorie. Er glaubte, dass sich eine Formel nur auf einen Teilaspekt der Beziehung zwischen Modell und Realität beziehen kann, das Auge aber hingegen eine enorme Integrations- und Entscheidungskraft besitzt.

Zudem erfreut er sich über diesen neuen Zweig der Mathematik und schreibt im Vorwort seines Werkes 'Die fraktale Geometrie der Natur':

"Die fraktale Geometrie enthüllt außerdem ein bis jetzt verborgenes Antlitz des formalsten Kapitel der Mathematik: eine Welt voller Schönheit."

Der Begriff Fraktal (lat. fractus: gebrochen) beschreibt ein mathematisches Muster mit Wiederholungen einer Struktur. Hierbei wiederholt sich das Muster im kleineren Maßstab immer wieder, mit nur minimalen Abweichungen.

Es gründet sich aus einem Anfangszustand oder –bild, welcher/s stetig

Grundmuster zu erkennen. Gewisse geometrische Fraktale zeigen diese Entstehung sehr schön. Beispiele dafür sind unter anderem das Sierpinski-Dreieck oder die Koch-Kurve.

Mathematisch betrachtet beschreibt die fraktale Geometrie Wege und Spuren, die der Ablauf dynamischer Aktivität zurücklässt. Es sind Anzeichen eines ablaufenden dynamischen Geschehens oder anders gesagt Abbilder eines Prozesses. Bezogen auf die Chaostheorie, welche die Geschichte der ungewöhnlichen Dinge beschreibt, zeichnet die fraktale Geometrie die Bilder ihrer Bewegung im Raum. Dynamische Systeme laufen nach dem Prinzip von Fraktalen ab. Ihr Lehrmeister ist die Natur mit ihren Gesetzmäßigkeiten.

Ein Beispiel bei Pflanzen wäre der Blumenkohl. Auch bei Tieren ist dieses Prinzip zu finden, beispielsweise bei Schneckenhäusern.

Es war schon immer das Ziel der Naturwissenschaften, Ursache und Wirkung in Zusammenhang zu bringen. Es gibt viele Naturphänomene, bei denen das problemlos möglich ist (zum Beispiel lässt sich leicht voraussagen, dass ein Stein, den man fallen lässt nach unten fällt). Es gibt jedoch auch Phänomene, bei denen das nicht so einfach möglich ist. Als anschauliches Beispiel kann man das Wetter beobachten. Jeder weiß aus eigener Erfahrung, dass sich das Wetter des nächsten Tages nicht mit absoluter Sicherheit voraussagen lässt. Aber auch ein einfacheres Beispiel wie der Wurf eines Würfels reicht zur Demonstration eines zufälligen oder stochastischen Phänomens. Bis vor einiger Zeit ging man davon aus, dass sich solche Situationen zumindest prinzipiell berechnen lassen, wenn man nur genügend Daten sammelt und verarbeitet. Um beim Beispiel des Würfelns zu bleiben hier eine kurze Hypothese: Es dürfte durchaus möglich sein, mit großem technischen Aufwand den Wurf eines Würfels so zu organisieren, dass das Ergebnis mit Sicherheit zu berechnen ist. Dieser Standpunkt ist

immer mehr ins Wanken gekommen. Man entdeckte, dass selbst einfache deterministische Systeme aus nur wenigen Teilen ein stochastisches Verhalten erzeugen können. Dieses Zufallsverhalten ist prinzipieller Natur und lässt sich auch durch immer weiteres Sammeln von Informationen nicht berechnen. Man nennt dieses Zufallsverhalten, das zwar noch von einem Rest an Ordnung durchdrungen ist und nach festen Gesetzen entsteht, dessen Verlauf aber nicht vorhersagbar ist deterministisches Chaos.

In der Mathematik wird das Wesen dieser Vorgänge untersucht und man stellt fest, dass es sich durchwegs um Rückkopplungsvorgänge handelt. Untersucht man Modelle solcher Rückkopplungen anhand der Iteration von Funktionen, findet man selbst dort ein Chaos – ein Begriff, der in der Mathematik sonst eher ungewöhnlich ist.

Solche Prozesse sind schwierig zu beweisen und deren Entstehung zu erklären. Sie sind hoch komplex und dementsprechend auch sehr heikel. Ändert man nur minimal etwas daran, kann sich alles verändern.

2.2. Merkmale

2.2.1. Iteration

Fraktale sind durch rekursive Operationen erzeugte Gebilde. Mit Hilfe der Iteration kann man sich der Lösung eines Rechenproblems schrittweise annähern. Das erhaltene Resultat einer Funktion wird stets wieder in die Gleichung eingesetzt. Es ist eine Art Erzeugungsregel, mithilfe derer sich aus einfachen Formeln bereits nach wenigen Rekursionsschritten komplexe Muster ergeben. Unter dieser Vorschrift wird die Anfangsfigur verändert.

Beispiel einer Rekursion:

(

+

)

+ →

( (

+

)

+

)

+ →LL

→ +

→ x c x c c x c c c

x

2 2 2 2

2 2

2.2.2. Selbstähnlichkeit

Per Definition ist Selbstähnlichkeit jene Eigenschaft von Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten welche in einem größeren oder kleineren Maßstab dieselben oder ähnliche Strukturen aufweisen wie im Anfangszustand. Das Objekt besteht aus Kopien seiner selbst. Man spricht auch von Ähnlichkeitstransformation. Fraktale sind daher selbstähnlich.

Durch die Skalierung nach Potenzgesetzen entsteht eine Art hierarchische Symmetrie.

Es wird zwischen der strikten und der stochastischen Selbstähnlichkeit unterschieden. Bei strikter Selbstähnlichkeit erhalten wir auch nach unendlicher Vergrößerung und Verkleinerung des untersuchten Objekts stets die ursprüngliche Struktur, ohne jemals eine elementare Feinstruktur zu erlangen. Sie ist nur bei mathematisch erzeugten Objekten zu finden beispielsweise am Sierpinski-Dreieck, der Koch- Kurve, der Cantor-Menge oder trivialer bei einem Punkt oder einer Gerade.

Auch die Mandelbrotmenge und Julia-Mengen sind selbstähnlich, jedoch nicht strikt, das heißt es wird nicht exakt genau ein Urabbild wiederholt. Sie weisen eine selbstähnliche Struktur auf. In solchen Fällen redet man von stochastischer Ähnlichkeit, was auch für reale Beispiele wie Blumenkohl gilt. Dazu kommt, dass fraktale Formen in der Natur ihre Selbstähnlichkeit nicht bis ins Unendliche fortsetzen.

Es ist ein Irrtum zu glauben, dass jede selbstähnliche Struktur ein

2.2.3. Fraktale Dimension

2.2.3.1. Dimensionen und Topologie

Hört man von Dimensionen, fallen einem spontan eindimensionale Elemente, zweidimensionale Figuren und dreidimensionale Gegenstände ein;

Bsp.: Strecke, Quadrat, Würfel.

Dimensionalität braucht man, um Formen in ihrem Raum zu beschreiben, sie beschreibt die Anzahl der Ausdehnungen.

Mathematiker verstehen unter Dimension ein Konzept, das die Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.

Es ist schwierig, mit einem Konzept die Dimension für alle Situationen zu definieren. Darum existieren unterschiedliche Dimensionsbegriffe.

Unseren Maßeinheiten kennzeichnen die Dimensionalität mit Exponenten: cm, cm², cm³.

Der Exponent stimmt genau mit den Zahlen überein, die uns als (topologische) Dimension der Strecke, des Quadrates und des Würfels bekannt sind.

Wenn wir ein Quadrat in 5-fach verkleinerte Quadrate zerlegen, haben davon 25 im Ursprungsquadrat platz. Führen wir dieselbe Verkleinerung am Würfel durch, erhalten wir 125 Teilwürfel.

Die Dimension ist im Exponent zu finden. Bei der Verkleinerung wird um die Dimension erhoben, daraus erhält man die Anzahl der verkleinerten Formen.

Im Allgemeinen wird sie so beschrieben: Ein Gebilde wird im Maßstab 1:n verkleinert. In das ursprüngliche Gebilde passen nun k kleinere Gebilde. Dieses Prinzip entspricht der Selbstähnlichkeitsdimension D.

Es gilt:

n^D = k z.B. 5² = 25

In der Mathematik wird die Form der Topologie untersucht. Sie beschreibt die Geometrie der Lage und untersucht Verformung an geometrischen Körpern; vorausgesetzt, dass dabei keine Löcher entstehen oder alte geschlossen werden.

Topologisch betrachtet besitzen zum Beispiel alle Küstenlinien die gleiche Form, weil sie identisch sind mit einer Kreislinie, welche die Dimension 1 besitzt.

2.2.3.2. Dimensionen der Fraktale

Der nichttopologische Aspekt der Form wird fraktale Form genannt. Die Dimension eines Fraktals liegt zwischen den bis hierhin bekannten drei Dimensionen.

Denken wir an die Peano- Kurve (siehe folgende Skizze). Dieses Fraktal ist zu groß um eine Länge zu haben, aber wird es niemals eine Fläche vollständig ausfüllen.

Abb. 2.1: Peano-Kurve

Die fraktale Dimension wird immer mit D bezeichnet.

Der Verkleinerungsfaktor wird mit n abgekürzt. (Faktor um wie viel das Ausgangsobjekt verkleinert wird)

Die Anzahl der zerlegten Teile wird k genannt. (Anzahl wie oft das verkleinerte Objekt vollständig in das Ausgangsobjekt passt) Allgemein gilt daher:

n^D = k

D = log k / log n

Hier zwei Beispiele zur Berechnung der fraktalen Dimension:

Sierpinski-Dreieck:

1:2 → 3 Teile

D = log 3/log 2 ≈1.58496…

Abb. 2.2: Sierpinski- Dreieck

Koch Kurve:

1:3 → 4 Teile

D = log 4/log 3 ≈1.26185...

Abb. 2.3: Koch- Kurve

Ein Fraktal ist nach Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besicovitch- Dimension (D) die topologische Dimension (DT) übersteigt. DT besteht aus ganzen Zahlen, während D nicht immer eine ganze Zahl sein muss.

Für die euklidische Geometrie ist DT = D.

Das Wort Fraktal hat seinen Ursprung im Latein. Das Verb „frangere“

bedeutet ‚brechen/in Stücke zerlegen’. Die fraktale Dimension wird gebrochene Dimension genannt, weil sie nichtganzzahlige reelle Zahlen enthält.

Mandelbrot nennt D die fraktale Dimension und hat diese als erster Mensch erfolgreich zur Beschreibung der Natur gebraucht.

Ein interessantes und beliebtes Beispiel für die Dimensionsberechnung ist die Küstenlinie Englands.

Abb. 2.4: approximierte Küstenlinie Englands

Diese ist zwar nicht selbstähnlich, aber auch sehr zerklüftet. Hat sie also möglicherweise auch eine fraktale Dimensionszahl? Auf dem Weg zur Beantwortung dieser Frage, muss erst einmal die Länge der Küste Englands ermittelt werden. Hierbei macht man eine erstaunliche Entdeckung: die Küste Englands ist unendlich lang. Dieses Ergebnis erhält man, wenn man durch rein empirisches Vorgehen die Küste Englands abmisst. Dazu verwendet man einen Stechzirkel der Öffnungsweite r. Man approximiert die geschlängelte Küste also durch einen Polygonzug mit lauter gleich langen Seiten (siehe Abb. oben). Je kleiner man die Zirkelöffnung wählt, umso länger wird die Küste (das heißt, die Küste wird natürlich nicht länger, aber man erhält ein größeres Messergebnis), weil ja auch kleinere Buchten abgezirkelt werden. Wenn r die Länge einer Polygonseite angibt und N(r) ihre Anzahl, dann gilt für die Gesamtlänge des Polygonzuges L(r) = r N(r). Trägt man die Funktion L(r) in ein doppeltlogarithmisches Koordinatensystem ein und verbindet die Punkte durch ein Gerade, so kann man deren Steigung

angeben. Lewis F. RICHARDSON (1881-1953) ermittelte für die Küste Englands einen Wert von m≈−0.23.

Betrachtet man den Grenzwert der Funktion für r→0 so ergibt sich, dass:

−∞

→

= r

x ln und y=lnL

( )

r →+∞, also die Länge L→+∞.

Die Küste Englands (und natürlich jede andere Küste) ist also unendlich lang bzw. ihre Länge nicht messbar. Will man jetzt die Dimension berechnen, muss man sich etwas einfallen lassen. Zuerst geht man vom einfachsten Fall aus, nämlich einer Küstenlinie in Form einer Geraden.

m ist dann 0, weil bei Veränderung von r die Länge L konstant bleibt.

Die Dimension (nach dem klassischen Dimensionsbegriff) ist dann 1.

Die Definition, die jetzt festgelegt wurde setzt m=1−d. Die Küste Englands hat dann die Dimension d =1.23...

Diese Dimension ist eine gebrochene Zahl, also ist die Küste Englands ein Fraktal.

2.3. Klassische Fraktale der Ebene

2.3.1. Die Koch Kurve

Von Koch (1870-1924), ein Mathematiker aus Schweden, hat aus einer geraden Linie eine Kurve konstruiert. Die Gerade wird in 3 gleiche Teile geteilt. Nun wird der mittlere Teil durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt. Die Grundlinie wird entfernt. Die Linie hat eine Zacke und wenn man die Teile zählt, sind es 4 Linienstücke. Die Koch-Kurve entsteht dadurch, dass diese 4 Teile nach dem gleichen Prinzip weiterzerlegt werden.

Abb. 2.5: Konstruktionsschritt 1(Koch-Kurve)

Abb. 2.6: Konstruktionsschritt 2 Abb. 2.7 Konstruktionsschritt 3

Die Länge der Kurve nimmt pro Konstruktionsschritt um 4/3 zu. Nach zehn Schritten nimmt man die Vergrößerung kaum mehr wahr. Die Länge ließe sich berechnen. Da es sich aber um ein Fraktal handelt, besitzt die Koch-Kurve keine endliche Länge. Schließlich gibt es eine komplizierte, unendlich lange Kurve, die natürlichen Küstenlinien ähnlich ist.

Das Beispiel Koch-Kurve erklärt das Längenproblem von Küstenlinien sehr schön. Die Berührungslinie zwischen Meer und Land ist unendlich.

Nimmt man als Ausgangsform anstatt eine Gerade ein gleichseitiges Dreieck, quasi drei Geraden, erhält man eine Form, die einer natürlichen Schneeflocke sehr ähnlich ist.

Abb. 2.8: „Koch’sche Schneeflocke“

2.3.2. Sierpinski Dreieck

Der polnische Mathematiker Waclaw Sierpinski (1892-1969) entwickelte 1916 ein Fraktal am Dreieck. Das Sierpinski- Dreieck ist ein äußerst berühmtes Fraktal. Es stellt das Wesen eines Fraktals sehr schön dar.

Ein geschwärztes, gleichseitiges Dreieck wird in eine Dreiecksstruktur zerlegt.

Dazu werden die Seiten halbiert, die Mittelpunkte verbunden und im Innern erhält man 4 wiederum gleichseitige Dreiecke. Nun wird das Dreieck im Zentrum entfernt.

Die ersten 5 Konstruktionsschritte:

Abb. 2.9: Konstruktionsvorschrift für das Sierpinski- Dreieck

2.3.2.1. Fläche des Sierpinski Dreiecks

Bezeichnet man den Flächeninhalt der Ausgangsfläche mit A und die Flächeninhalte des Sierpinski- Dreiecks nach der i-ten Durchführung mit Fi, lässt sich der Flächeninhalt der “fertigen” Figur (also nach unendlich vielen Entfern-Vorgängen) berechnen:

F1 = A - δ2 (δ2 ist die Fläche, die entfernt wird, und damit 4 1A)

F1 = 4 3A

F2 = F1 – 3 · δ3 (δ3 = 4 1δ2)

F2 = F1 - 4

3δ2 = A A A

2

2 4

3 4

3 4

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

F3 = F2 – 3² · δ4 = A

3

4 3⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Allgemein gilt:

Fn = A

n 1

4

3 ⁻

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Betrachtet man die Fläche nach unendlich vielen Schritten ergibt sich ein erstaunliches Ergebnis:

4 0 lim 3 lim

1

=

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

∞

→

∞

→ F A

n n n

n

Es bleibt also keine Fläche übrig!

2.3.2.2. Länge des Randes des Sierpinski – Dreiecks

Wenn man keine Dreiecksseiten mehrfach zählt und von einem Ausgangsrand von R₀ =Uausgeht lässt sich der Rand nach nSchritten folgendermaßen berechnen:

R1 = ₀ 2

3R (weil die Seitenlängen immer halbiert werden)

1

2 2

3 3R R = ⋅

2

3 2

9 3R R = ⋅

3

4 2

27 3R R = ⋅

Daraus folgt allgemein:

1 1

2 3 ⁻ ⋅3 ₋

= ⁿ _n

n R

R

Betrachtet man auch hier den Grenzwert nach unendlich vielen Schritten darf man sich erneut wundern:

∞

→

⋅

= ⁻ ₋

∞

→

∞

→ 1

1

2 3 3 lim

lim ⁿ _n

n n

n R R

Der Rand wird also unbegrenzt immer länger!

2.3.2.3. Dimension des Sierpinski – Dreiecks

Wie in den beiden vorherigen Kapiteln gezeigt wurde, hat das Sierpinski-Dreieck keine Fläche, aber einen unendlich langen Rand.

Das heißt, es ist mehr als eindimensional, aber weniger als zweidimensional. Es hat also eine gebrochene (fraktale) Dimension.

Nach der Formel für die Selbstähnlichkeitsdimension (das Sierpinski- Dreieck ist selbstähnlich) berechnet sich die Dimension folgendermaßen:

Anzahl der Substitutionsabschnitte: N = 3 (aus einem Dreieck werden drei)

Skalierungsfaktor: k = 2 (die Seitenlängen sind dann halb so lang)

...

5849 . 2 1 ln

3 ln ln

ln = =

= k d N

2.3.2.4. Andere Kuriose Zusammenhänge

Das Sierpinski-Dreieck besitzt auch eine interessante Verbindung zum Pascal-Dreieck. Färbt man die geraden und ungeraden Zahlen des Pascal-Dreiecks unterschiedlich an, ist das Muster selbstähnlich und zeigt die Struktur des Sierpinski- Dreiecks auf.

Ähnliche Fraktale Strukturen ergeben sich auch dann wenn man die Zahlen des Pascal’schen Dreiecks modulo einer ganzen Zahl rechnet und jene Zahlen anfärbt welche als Rest der Division 0 haben.

Hier einige Beispiele für diese Zusammenhänge des Pascal’schen Dreiecks zum Sierpinski-Dreieck:

Modulo 2 Modulo 3

Modulo 4 Modulo 5

Abb. 2.10: Sierpinski Form aus Pascal’schem Dreick

Blaue Waben stellen die Sierpinski Form dar, gelbe Waben die „Löcher“

2.4. Räumliche Fraktale

2.4.1. Die Sierpinski – Pyramide (Tetraeder)

Abb. 2.11: Die ersten 5 Konstruktionsschritte der Sierpinski- Pyramide

Die Konstruktionsvorschrift ist ähnlich der des Sierpinski- Dreiecks:

Ausgangspunkt ist ein regulärer Tetraeder. Man wiederholt die folgenden Schritte:

1. die Mittelpunkte der Seiten geradlinig miteinander verbinden 2. den entstehenden Oktaeder entfernen

Dieses Verfahren wird bei jedem Schritt auf alle noch vorhandenen Tetraeder angewendet.

Das Ergebnis ist eine durchlöcherte Pyramide.

Berechnet man die Dimension der Sierpinski- Pyramide, macht man die erstaunliche Entdeckung, dass diese nicht fraktal ist, sondern ganzzahlig, wie sich aus folgender Rechnung ergibt:

Anzahl der Substitutionsabschnitte: N = 4 (aus Einem werden vier Tetraeder)

Skalierungsfaktor: k = 2 (die Seitenlängen sind dann halb so lang)

k d N

ln

= ln 2

2 ln

4

ln = Erstaunlicherweise ist die Sierpinski- Pyramide also zweidimensional. Stellt man nun einige Überlegungen zu Volumen, Oberfläche und Rand der Pyramide an, so ergeben sich auch hier einige interessante Erkenntnisse.

2.4.1.1. Volumen der Sierpinski – Pyramide

12 2 :

a3

V_Tetraeder (Volumen des Ausgangstetraeders mit Seitenlänge a)

Durch die Konstruktionsvorschrift ergibt sich, dass das entstehende Oktaeder, mit halb so langer Kantenlänge wie der Ausgangstetraeder entfernt wird.

3 2 a3

V_Oktaeder = (allgemein)

24 2

3 1 _

V_Oktaeder = a

(bei halb so langer Kantenlänge a wie vom Ausgangstetraeder)

1 _ 1 VTetraeder

V =

1 _ 1

2 V VOktaeder

V = − → 2

24

3 1 2

V a

V = − → 2

24

3 2

V = a

96 2

3 1 _

V_Tetraeder = a

192 2

3 2 _

V_Oktaeder = a

(bei viertel so langer Kantenlänge a wie beim Ausgangstetraeder)

2 _ 2

3 V 4 V_Oktaeder

V = − ⋅ → 2

4 192 24 2

3 3

3

a

V = a − ⋅ → 2 48

3 3

V = a

Daraus folgt allgemein:

1 1

2

1 V

V

n n

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

Betrachtet man auch hier den Grenzwert nach unendlich vielen Schritten, so ergibt sich:

2 0 lim 1

lim ₁

1

⎟ →

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

∞

→

∞

→ V V

n

n n n

Man sieht also, dass bei jedem Iterationsschritt das Volumen halbiert wird. Das Volumen geht daher gegen null, das heißt, die Dimension ist kleiner als 3.