Fachbereich Mathematik Prof. Dr. R. Farwig
Karoline Götze
A TECHNISCHE UNIVERSITÄT
DARMSTADT
8. Mai 2008
Elementare partielle Differentialgleichungen 6. Übung
Gruppenübungen
G 1 1. Überprüfen Sie die Gültigkeit des starken Maximum-Prinzips für die harmonische Funktion
u(x, y) = 1−x2−y2 1−2x+x2+y2 auf der KreisscheibeB1(0).
2. Lösen Sie für0< a < bund KonstantenA, B die3D-Laplace-Gleichung
−∆u = 0 inBb(0)\Ba(0), u = A auf ∂Ba(0), u = B auf ∂Bb(0).
G 2 Lösen Sie für0< a < bdas2D-Poisson-Problem
−∆u = 1 in Bb(0)\Ba(0),
u = 0 auf ∂Bb(0) und∂Ba(0).
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die radialsymmetrischen Lösungen der Poisson-Gleichung.
G 3 Zeigen Sie, dass die Lösungen der biharmonischen Gleichung ∆2u = ∆(∆u) = 0 keinem Minimum- oder Maximumprinzip genügen.
Hausübungen
H 1 (3+2 Punkte) Zeigen Sie:
1. SeiΩ⊂R3 ein beschränktes Gebiet und u∈C2(Ω) eine Lösung der Gleichung(−∆−λ)u= 0 in Ωmit λ <0. Dann gilt
max
Ω
|u|= max
∂Ω |u|. Insbesondere folgt ausu= 0auf∂Ωsogaru≡0.
2. Für geeigneteλ >0(Eigenwerte) gibt es nichttriviale Lösungen (Eigenfunktionen) der Gleichung
−∆u=λu in B1(0)⊂R3, u= 0 auf ∂B1(0).
Hinweis: Übung 5, (H1) H 2 (4 Punkte)
Lösen Sie für0< a < bdas3D-Problem
−∆u = 1 in Bb(0)\Ba(0), u = 0 auf ∂Ba(0), ur = 0 auf ∂Bb(0).
H 3 (3+3 Punkte)
1. Beweisen Sie den Einschließungssatz:
Für Datenf ∈C0(Ω), g∈C0(∂Ω)und Funktionen v, w∈C2(Ω)∩C0(Ω) gelte
−∆v≤f ≤ −∆w in Ω, v≤g≤w auf ∂Ω.
Dann genügt jede Lösungu∈C2(Ω)∩C0(Ω)des Randwertproblems
−∆u=f in Ω, u=g in ∂Ω
der Ungleichung
v≤u≤w in Ω.
Hinweis: Beweisen Sie zuerst den Vergleichssatz:
Für Funktionenv, w∈C2(Ω)∩C0(Ω) gelte
−∆v≤ −∆w in Ω, v≤w auf ∂Ω.
Dann giltv≤w inΩ.
2. Beweisen Sie den Eindeutigkeitssatz:
Die Poisson-Gleichung−∆u=f inΩmit Robin-Randbedingungen
∂u
∂N +αu=g
besitzt für f ∈ C0(Ω), g ∈ C0(Ω) und für α ≤ 0 ∈ C0(∂Ω) höchstens eine Lösung. Mit Neumann- Randbedingungen,α= 0,
∂u
∂N =g ist die Lösung bis auf Konstanten eindeutig bestimmt.
