Hausübungen ElementarepartielleDifferentialgleichungen5.ÜbungGruppenübungen A TECHNISCHEUNIVERSITÄTDARMSTADT

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. R. Farwig

Karoline Götze

A ^TECHNISCHE UNIVERSITÄT

DARMSTADT

5. Mai 2008

Elementare partielle Differentialgleichungen 5. Übung

Gruppenübungen

G 1 Lösen Sie die folgende Wellengleichung imR³:







utt−∆u = e^−t, u(0) = x1,

ut(0) = x2x3.

G 2 Zeigen Sie, dass die Lösung der homogenen3D-Wellengleichung für Anfangswerte mit kompaktem Träger, also suppu0∪suppu1⊂Br(0), für beliebigesxund großet >0der folgenden Abschätzung genügt:

|u(t, x)| ≤ M

t²(tku1k_∞+ku0k_∞+ctk∇u0k_∞),

wobei M durch Cr² beschränkt ist. Unterscheiden Sie für die Abschätzung von M die Fälle x∈ B_r(0) und x /∈B_r(0)zu verschiedenen Zeitpunkten.

G 3 Es seiA= (aij)eine symmetrische, positiv definiten×n- Matrix. Transformieren Sie die Gleichung

−Σⁿ_i,j=1aij∂i∂ju= 0 in eine Laplace-Gleichung.

Hausübungen

H 1 (5 Punkte)

Finden Sie alle radialsymmetrischen Lösungen der Gleichungen(−∆−λ)u= 0imR³\{0}. (Ansatz: u(r) = ^v(r)_r ).

H 2 (5 Punkte)

Beweisen Sie die Lösungsformel

u(t, x) = 1 4πc²t²

Z

∂B_ct(x)

(tu₁(y) +u₀(y) + (y−x)· ∇u0(y)) do_y

für die3D-Wellengleichung.

H 3 (5 Punkte)

Geben Sie Lösungen der Poisson-Gleichung

−∆u(x, y) =p(x, y) imR² für alle Polynomepvom Grad2 oder niedriger an.