DES FACHBEREICHS
WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT
DER FREIEN UNIVERSITÄT BERLIN
Nr. 1996/1
Betriebswirtschaftliche Reihe
Arrow/DebreuPreise
Dorothea Schäfer, Mike Schwake und Lutz Kruschwitz
ISBN 3931258394
Dorothea Schäfer, Mike Schwake und Lutz Kruschwitz
Arrow/DebreuPreise 1 Einführung
Arrow/DebreuTitel (pure securities) sind Wertpapiere mit einem bedingten Rückuÿ von genau 1 DM. Nur unter der Voraussetzung, daÿ ein bestimmter Zeitpunkt und/oder ein bestimmter Zustand eintritt, kommt es zur Auszah- lung. In allen anderen Zeitpunkten und/oder Zuständen wirft ein solcher Ti- tel keinerlei Rückuÿ ab. Die groÿe Bedeutung von reinen Wertpapieren für die neoklassische Finanzierungstheorie erklärt sich aus der Tatsache, daÿ die Bewertung nanzieller Ansprüche mit Arrow/DebreuPreisen sehr einfach zu handhaben ist. In bezug auf die CashowCharakteristik des zu bewertenden Investitionsprojekts müssen keinerlei einschränkende Annahmen gemacht wer- den. Mehrperiodige und unsichere Cashows sind genauso leicht zu bewerten wie Cashows, die mehrperiodig und sicher beziehungsweise einperiodig und unsicher sind.
Die allgemeine Verwendbarkeit ergibt sich unmittelbar aus der theoretischen Fundierung der Arrow/DebreuPreise. Um dies zu belegen, ziehen wir zwei al- ternative Modelle heran, das Time State Preference Model (TSPM) und die Arbitragetheorie. Wie sich zeigen wird, erlauben es beide, Mehrperioden und Einperiodenfall in einem einheitlichen Modellrahmen zu behandeln. Verglichen mit der CAPMPreisgleichung müssen hier weder einschränkende Annahmen über die Nutzenfunktion der Individuen gemacht werden, noch sind bei mehrpe- riodigen Bewertungsproblemen zusätzliche Stationaritätsannahmen hinsichtlich der Modellvariablen notwendig.
Die deutschsprachige Literatur beschränkt sich bei der Herleitung der Arrow/DebreuPreise in der Regel entweder auf ein ZweiZeitpunktmodell oder unterstellt Sicherheit. Unsere Analyse benötigt in bezug auf Zustände und Zeit- punkte nur die Annahme, daÿ diese diskret sein müssen. Im ersten Kapitel stellen wir das TSPM dar. Hier setzen wir uns insbesondere mit der Frage auseinander, welchen Anforderungen der repräsentative Investor genügen muÿ, damit ein System von gleichgewichtigen Preisen reiner Wertpapiere entsteht.
Das zweite Kapitel ist der Arbitragetheorie gewidmet. Zunächst referieren wir kurz die wichtigsten Resultate der zur Zeit unter dem Stichwort Markt- zinsmodell intensiv diskutierten Arbitragetheorie unter Sicherheit. Anschlie- ÿend wenden wir uns den unsicheren Cashows zu. Im Einperiodenfall stehen zur Ermittlung der arbitragefreien Arrow/DebreuPreise zwei gleichberechtigte Grundkonzepte zur Verfügung. Bei der direkten Methode werden Marktwert- papiere als Portfolios von reinen Wertpapieren aufgefaÿt. Für die indirekte Be- rechnung muÿ der Arrow/DebreuStrukturvektor mit Hilfe eines Portfolios aus Marktwertpapieren dupliziert werden.
Mit Ausnahme der Bewertungskonzepte von Breeden/Litzenberger und Banz/Miller ist die Arbitragetheorie unter Unsicherheit bislang kaum auf den Mehrperiodenkontext angewendet worden. Deshalb konzentrieren wir uns auf
Dr. Dorothea Schäfer, Dipl.Kfm.Mike Schwake und Prof. Dr. Lutz Kruschwitz, Freie Universität Berlin, Institut für Bank und Finanzwirtschaft.
zwei Fragestellungen. Wir untersuchen erstens, wie die beiden einperiodigen Grundkonzepte auf den Mehrperiodenfall übertragen werden können und zwei- tens, ob die Ansätze von Breeden/Litzenberger und Banz/Miller den, nunmehr mehrperiodigen Grundkonzepten zugeordnet werden können.
2 Time State Preference Model
2.1 Annahmen
Das ZeitZustandsPräferenzModell beruht auf einer Reihe von Annahmen, die insgesamt schwächer sind als die Annahmen, welche im Rahmen des CAPM benutzt werden:1
1. Es gibt S Grundzustände und T zukünftige Zeitpunkte. Die Anzahl der möglichen Zustände intbeträgtSt.
2. Die Nutzenfunktionen der Marktteilnehmer sind zeit und zustandsunab- hängig. Es wird unterstellt, daÿ die Akteure ungesättigt sind und der Grenznutzen mit zunehmendem Wohlstand abnimmt. Entscheidungen werden auf der Grundlage des Erwartungsnutzens getroen. Die Erwar- tungsnutzenfunktion ist sowohl über alle Zeitpunkte als auch über alle Zustände additiv.
3. Das Gesamtvermögen der Volkswirtschaft besteht aus Konsumgütern und realen Finanztiteln. Die Titel werfen zeit und zustandsabhängige Cash ows in Form von Konsumgütern ab. Die Erstausstattung des einzelnen Entscheidungsträgers besteht ausk(k) Anteilen an den Finanztiteln (an den Konsumgütern). Der Preis der Konsumgüter ist auf eins normiert.
4. Nicht verbrauchte Güter werden in Finanztitel investiert. Alle Marktteil- nehmer haben von den Rücküssen der Finanztitel und den Eintrittswahr- scheinlichkeiten der Zustände die gleichen Vorstellungen.
5. Konsumgüter und Finanztitelmarkt sind atomistisch und perfekt. Leer- verkäufe sind zugelassen.
2.2 Das individuelle Optimierungsproblem
Ein Individuum will seinen intertemporalen Konsumplan in einer Welt mit T Perioden und St Zuständen pro Periodet optimieren. Die Entscheidung wird auf der Grundlage der Nutzenfunktion
U =U(C
0 )+
T
X
t=1 S
t
X
s=1 q
ts U(C
ts )
getroen. Als Laundizes verwenden wir t 2 [1;T] und s 2 [1;St]. Mit C0 bezeichnen wir den sicheren Konsum im Zeitpunktt=0, mitCts den zeit und zustandsabhängigen Konsum in späteren Perioden. Die Wahrscheinlichkeit, daÿ
1Hirshleifer, J. (1965), S. 509536, Hirshleifer, J.(1966), S. 252277 und Myers, S.C.
(1968), S. 133.
der Zustandsim Zeitpunktteintritt, nennen wir qts. Bei der Suche nach dem besten Konsumplan ist die Budgetrestriktion
W
0
=
0 C
0 +
T
X
t=1 S
t
X
s=1
ts C
ts
zu beachten. Dabei repräsentiert W0 die Erstausstattung des Entscheidungs- trägers mit Finanztiteln und Konsumgütern. Das Symbol ts steht für den Arrow/DebreuPreis eines Finanztitels, der 1 DM abwirft, wenn im Zeitpunkt
t der Zustand s eintritt. Mit 0 bezeichnen wir den Preis für 1 DM, die wir im Zeitpunkt t =0(also sofort) mit Sicherheit erhalten. Deshalb können wir natürlich auch
W
0
=C
0 +
T
X
t=1 S
t
X
s=1
ts C
ts
schreiben. Unter Verwendung der Lagrangefunktion
L=U(C
0 )+
T
X
t=1 S
t
X
s=1 q
ts U(C
ts )+
0
@
W
0
;C
0
; T
X
t=1 S
t
X
s=1
ts C
ts 1
A
erhalten wir als Bedingungen erster Ordnung
@L
@C
0
= U
0
(C
0
);=0 (1)
@L
@C
ts
= q
ts U
0
(C
ts
);
ts
=0 (2)
@L
@
= W
0
;C
0
; T
X
t=1 S
t
X
s=1
ts C
ts
=0: (3)
Summieren wir Bedingung (2) über alle Zustände eines Zeitpunktes t, ergeben sich
S t
X
s=1 q
ts U
0
(C
ts
) =
S t
X
s=1
ts
E[U0(Ct)] = (1+r0t);t: (4) In der letzten Gleichung stehtr0tfür den sicheren Kassazinssatz übertPerioden.
Wer im Zeitpunkt t mit Sicherheit 1 DM erhalten will, muÿ Arrow/Debreu Papiere für jeden dann relevanten Zustand kaufen. Die Summe der Preise ent- spricht daher dem Diskontfaktor auf der Basis des risikolosen Kassazinssatzes.
Auösen von (4) nach und Einsetzen in (2) ergibt nach elementarer Umfor- mung
ts
=q
ts
1
(1+r
0t )
t
U 0
(C
ts )
E[U0(Ct)]: (5)
Gleichung (5) liefert keine Aussage über Gleichgewichtspreise. Sie zeigt ledig- lich, von welchen Einzeleinüssen die individuelle Bewertung zustandsabhängi- ger Ansprüche abhängt.
2.3 Gleichgewichtsanalyse
Um von der individuellen Betrachtung zum Gleichgewichtsmodell zu gelangen, müssen wir über alle Marktteilnehmer aggregieren. Die Generierung eines in- terpretierbaren Ausdrucks setzt voraus, daÿ alle modellierten Entscheidungs- träger dieselbe Nutzenfunktion besitzen. Den einzelnen Marktteilnehmer be- zeichnen wir unter dieser Bedingung in der Volkswirtschaft gibt es praktisch nur noch eine Nutzenfunktion als repräsentativen Investor. Ob zur Ableitung von Gleichgewichtspreisen noch zusätzliche Anforderungen an die Homogeni- tät der Investoren notwendig sind, wollen wir im folgenden in einer einfachen ZweiZeitpunktZweiZustandsBetrachtung erörtern. Der Markt bestehe aus
K Investoren. Für jeden Investor k gelten die Bedingungen (1) bis (3). Wir greifen unter Verzicht auf den Zeitindex t (1) und (2) heraus und bilden die Grenzraten der Substitution. Der individuelle Konsumplan wird gemäÿ
U 0
(C k
0 )
q
s U
0
(C k
s )
= 1
s
und q1U0(C1k)
q
2 U
0
(C k
2 )
=
1
2
optimiert. Im Gleichgewicht müssen die individuellen Grenzraten der Substitu- tion mit dem jeweiligen Preisverhältnis übereinstimmen, ein Standardergebnis der Mikroökonomie. Wir bezeichnen mitC1undC2die möglichen Realisationen des Volksvermögens im Zeitpunkt t = 1sowie den Anteil des kten Investors an der Nachfrage nach Finanztiteln mit k . Damit gilt hinsichtlich der beiden Zustände für zwei beliebige Investoreniundj
q
1 U
0
(
i
C
1 )
q
2 U
0
(
i
C
2 )
= q
1 U
0
(
j
C
1 )
q
2 U
0
(
j
C
2 )
=
1
2
8 i6=j: (6)
Benennen wir die jeweiligen Anteile der individuellen Investoren an der Nach- frage nach Konsumgütern mit k, so muÿ für jeden Zustandsentsprechend
U 0
(
i
C
0 )
q
s U
0
(
i
C
s )
= 1
s
= U
0
(
j
C
0 )
q
s U
0
(
j
C
s )
(7) erfüllt sein. Auÿerdem sind im Gleichgewicht alle Budgetbeschränkungen bin- dend, und zwar sowohl individuell als auch im Aggregat. Mit kCs als Be- zeichnung für die durch Finanztitel verbriefte Erstausstattung an künftigen zu- standsabhängigen Gütern undkals Anteil an den gegenwärtig konsumierbaren GüternC0 bedeutet das
(
1
;
1 )
C
0 +(
1
;
1 )(
C
1
1 +
C
2
2
) = 0
... = ...
(
K
;
K )
C
0 +(
K
;
K )(
C
1
1 +
C
2
2
) = 0
K
X
k =1
k
; K
X
k =1
k
!
C
0 +
K
X
k =1
k
; K
X
k =1
k
!
;
C
1
1 +
C
2
2
= 0:
Wir fragen uns, unter welchen Anforderungen an die Homogenität der Investoren die Gleichungen (6) und (7) gelten und die Märkte geräumt werden. Zwei Fälle sind zu unterscheiden.
1. Betrachten wir zunächst allgemeine Nutzenfunktionen. Die Identität der Grenzraten der Substitution (6) und (7) wird nur miti =j = und
i
=
j
=hergestellt. Die aggregierte Budgetbeschränkung erhält unter Berücksichtigung vonPKk =1k =1undPKk =1k =1die Form
(1;K)
C
0
+(1;K)(
C
1
1 +
C
2
2 )=0:
Markträumung setzt = = K1 voraus. Die individuellen Nachfragen sind unter diesen Umständen gleich. Alle Marktteilnehmer müssen dann wertmäÿig dieselbe Erstausstattung besitzen. Es gilt für jedes beliebige Investorenpaar
i
C
0 +
i
C
1
1 +
i
C
2
2
=
j
C
0 +
j
C
1
1 +
j
C
2
2
8 i6=j
und damit
(
i
;
j )=;
(
i
;
j )(
C
1
1 +
C
2
2 )
C
0
:
Da i = j und i = j nur eine von vielen möglichen Lösungen ist, existieren Gleichgewichtspreise auch dann, wenn die Erstausstattungen der Investoren voneinander abweichen.
Im Spezialfall einer sicheren Welt ist das Volksvermögen in beiden zu- künftigen Zuständen gleich groÿ: C1 =C2. Bedingte Ansprüche werden daher int=0zum einheitlichen Gleichgewichtspreis1=(1+r)gehandelt.
Alle Marktteilnehmer entfalten gemäÿ (6) und (7) die gleiche Nachfrage:
i
=
jundi=j. Für die gleichgewichtige Grenzrate der Substitution zwischen zwei Zuständen muÿ unabhängig von den Eintrittswahrschein- lichkeiten
U 0
(
i
C
1 )
U 0
(
i
C
2 )
= U
0
(
j
C
1 )
U 0
(
j
C
2 )
= 1
1+r
1
1+r
(8) gelten. Setzen wir nun (8) in (6) ein, so zeigt sich, daÿ jeder Arrow/Debreu Preis ein Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit und zustandsbezogenem Diskontfaktor ist.
2. Betrachten wir nun Nutzenfunktionen, die vermögensunabhängige Grenz- raten der Substitution generieren. In diesem Fall sind (6) und (7) auch mit der schwächeren Bedingungi =i undj =j erfüllt, so daÿ wir die aggregierte Budgetbeschränkung zu
1; K
X
k =1
k
(
C
0 +
C
1
1 +
C
2
2 )=0
vereinfachen können. Markträumung verlangtPKk =1k =1. Eine nähere Spezikation der Investoren ist nicht nötig. Auch wenn die Nachfragen und die Erstausstattungsquoten unterschiedlich sind, bildet sich ein einheitli- ches System von Arrow/DebreuPreisen heraus, das sowohl die aggregierte als auch die individuelle Budgetbeschränkung erfüllt.
Wir kehren jetzt zu Gleichung (5) zurück und diskutieren sie vor dem Hin- tergrund des repräsentativen Investors. Der Preis wird von drei Einuÿgröÿen
bestimmt, der Eintrittswahrscheinlichkeit des betreenden Zustandes, dem si- cheren Kassazinssatz und dem Grenznutzen des zeit und zustandsabhängigen Konsums. Um zu klären, ob wir mit (5) die Gleichgewichtspreise gefunden haben, können wir uns auf den Quotienten U0(Cts)=E[U0(Ct)] konzentrieren, denn die Eintrittswahrscheinlichkeiten sind exogen, und der Kassazinssatz muÿ für alle Investoren im Gleichgewicht identisch sein, vgl. (4). Für allgemeine Nutzenfunktionen und die daraus resultierende Identität der Nachfragen ist der Quotient oensichtlich investorunabhängig. Doch auch wenn die Nachfragen der Investoren dierieren, existiert ein System von gleichgewichtigen Preisen reiner Wertpapiere. Voraussetzung dafür ist jedoch, daÿ die Grenzraten der Substitution vermögensunabhängig sind. Wie sich am Beispiel der logarithmi- schen Nutzenfunktion leicht zeigen läÿt, vereinfacht sich für diese Klasse von Nutzenfunktionen der Quotient zu
U 0
(C
ts )
E[U0(Ct)] =
1=
i
C
ts
1=
iE[Ct] =
1=
C
ts
1=E[Ct]:
3 Arbitragetheorie
Wollen wir den Preis eines Arrow/DebreuTitels mit Hilfe des TSPM bestim- men, so müssen wir Informationen über die Eintrittswahrscheinlichkeit des be- treenden Zustandes, die sicheren Kassazinssätze und die Nutzenfunktion des repräsentativen Investors besitzen. Diese Informationsanforderungen sind nicht gering. Mit Hilfe der Arbitragetheorie können wir sie unter gewissen Voraus- setzungen wesentlich reduzieren. Um uns das klarzumachen, benutzen wir den Trennungssatz von Minkowski/Farkas2. In allgemeiner Form lautet dieser: Ent- weder es existiert ein Vektor mit0, so daÿ
X=p (9)
ist, oder es existiert ein Vektorn, so daÿ sowohl
p 0
n<0 (10)
als auch
X 0
n0 (11)
erfüllt ist. MitX bezeichnen wir die Matrix der Cashows von Marktwertpa- pieren. Das Symbolp steht für den Vektor der Preise dieser Titel. Marktwert- papiere lassen sich als Portfolios aus reinen Wertpapieren interpretieren. Mit
n ist ein Vektor von reellen Zahlen gemeint. Im Falle von (9) ist der Markt arbitragefrei. Der Preis eines Marktwertpapiers ist dann eine Linearkombina- tion der Cashows. Die Gleichungen (10) und (11) kennzeichnen hingegen eine Arbitragegelegenheit. Betrachten wir Gleichung (9). Unter der speziel- len Voraussetzung, daÿ die Inverse der MatrixX existiert, ist das System der Arrow/DebreuPreise mit
=X
;1
p (12)
2Farkas, J.(1901), S. 127.
eindeutig bestimmt. Einen solchen Markt nennen wir vollständig.3 Das Kon- zept der Arbitragetheorie hat damit die angenehme Eigenschaft, die expliziten Informationsvoraussetzungen des TSPM überüssig werden zu lassen. Natürlich müssen wir uns darüber klar sein, daÿ alle diese Informationen in den Preisen der Marktwertpapiere verborgen sind. Im folgenden betrachten wir verschiedene Anwendungen der Arbitragetheorie.
3.1 Arbitragetheorie unter Sicherheit
Wir beginnen mit der arbitragefreien Bewertung unter Sicherheit, die in der deutschsprachigen Literatur neuerdings unter dem Stichwort Marktzinsmodell diskutiert wird. Ein reines Wertpapier ist hier ein Finanztitel, dessen Inhaber im ZeitpunkttAnspruch auf 1 DM hat. Unter der Voraussetzung daÿT Markt- wertpapiere mit linear unabhängigen Cashows gehandelt werden, erhalten wir als Vektor der Arrow/DebreuPreise
0
B
@
...1
T 1
C
A
= 0
B
@ X
1
1
X
1
... ... ...T X
1
T
X
T
T 1
C
A
;1 0
B
@ p
1
...
p T
1
C
A :
Zu beachten ist, daÿ die Matrix der Cashows nur die Eigenschaft der Nicht Singularität erfüllen muÿ. Eine stärkere Spezikation der Matrix, wie sie Ver- treter der Marktzinsmethode regelmäÿig durch das Postulat der Dreiecksmatrix vornehmen, ist nicht erforderlich.4 Der Preisvektor enthält alle notwendigen In- formationen, um sämtliche Kassa und Terminzinssätze bestimmen zu können.
Die Kassazinssätze ergeben sich aus
r
0t
= t r
1
t
;1:
Für den Terminzinssatz zwischen zwei zukünftigen Zeitpunkten t1 und t2 gilt unter Arbitragefreiheitsbedingungen
r
t1t2
= t
1
;t
2 r
t1
t
2
;1:
Die Arrow/DebreuTerminpreise schlieÿlich lassen sich aus der Beziehung
(1+r
0t2 )
t
2
=(1+r
0t1 )
t
1
(1+r
t1t2 )
(t
2
;t
1 )
ableiten. Umstellen nach dem Terminzinssatz und Einsetzen der Kassa und Terminpreise führt nach einigen Umformungen zu
t
1 t
2
=
t
2
t1 :
3Die Inverse existiert auch, wenn auf dem Markt nur die Anzahl an Finanztiteln mit linear unabhängigen Cashows gehandelt wird, die nötig ist, um die Zahlungsreihe der zu bewertenden Investition zu duplizieren. Diese Zahl kann geringer sein als die Gesamtzahl aller möglichen Zustände. Der Markt wird unter diesen Umständen nicht als vollständig, sondern als spanning bezeichnet. Die SpanningAnnahme ist folglich schwächer als die Annahme der Vollständigkeit. Vgl.Wilhelm, J.(1983), S. 516534.
4Kruschwitz, L./Röhrs, M.(1994), S. 655665.
3.2 Arbitragetheorie unter Unsicherheit
Bisher haben wir uns auf die Bewertung im eindimensionalen Zustandsraum (S=1) beschränkt. Unter dieser Voraussetzung benötigten wir
S 1
+S 2
++S T
=1+1 2
++1 T
=T
Marktwertpapiere, um die ArrowDebreuKassapreise ableiten zu können. Wir erweitern nun unseren Analyserahmen aufStZustände für jeden Zeitpunktt2
[1;T]. Der Markt ist vollständig, wenn die Anzahl der Kontrakte der Zahl der Zustände entspricht, so daÿ
S 1
+S 2
++S T
=S S
T
;1
S;1
(13) Titel mit linear unabhängigen Cashows gehandelt werden müssen. Die Preise reiner Wertpapiere können direkt oder indirekt ermittelt werden. Der direkte Weg nutzt die Überlegung, daÿ Marktwertpapiere Portfolios reiner Wertpapie- re sind, der indirekte Weg bedient sich der Idee des äquivalenten Portfolios.
Besonders einfach ist die Berechnung der Preise, wenn die Vollständigkeit des Marktes auf dem Handel mit Derivaten beruht. Wir werden verwenden zwei Arten von Derivaten. Für den direkten Weg greifen wir auf zustandsabhängig wirksam werdende Futures zurück. Die indirekte Berechnung führen wir mit Hilfe von Kaufoptionen durch.
3.2.1 DirekteBerechnungder Arrow/DebreuKassapreise
Um das Prinzip der Ermittlung der ArrowDebreuKassapreise,ts, zu zeigen, beginnen wir zunächst mitS=2Zuständen und T=2Perioden.5 In unserem vereinfachten Modell erfordert die Vollständigkeit des Marktes gemäÿ Gleichung (13) sechs Kontrakte. Wir benutzen im folgenden den Begri Basistitel für Marktwertpapiere, die keine Derivate sind. Unter Verwendung der Symbolepj für den Preis desjten Basistitels im Zeitpunktt=0undXtsj für den Kurs des
jten Basistitels im Zeitpunktt, wenn der Zustandseintritt, veranschaulichen wir unsere Vorgehensweise mit Hilfe eines Zustandsbaums, vgl. Abbildung 1. Im Zeitpunktt=0werden zwei Basistitel gehandelt, über deren zustandsabhängige zukünftige Marktwerte sich alle Marktteilnehmer einig sind. Unter Marktwert wird die Gesamtheit aller Cashows verstanden, die aus dem Titel erwachsen.
Bei einer während des Betrachtungszeitraums dividendenlosen Aktie oder einem Zerobond, entspricht der Marktwert dem Aktien bzw. Rentenkurs. Handelt es sich um eine Kuponanleihe (Aktie mit Dividende), verstehen wir darunter die Summe aus Kuponzahlung und Kurs der Anleihe (aus Dividende und Aktien- kurs). Der Einfachheit halber beziehen wir uns im weiteren auf dividendenlose Aktien und Zerobonds. Die Verträge, auf die wir uns konzentrieren wollen, sind
1. zwei Kassakontrakte und
2. vier zustandsabhängig wirksam werdende Terminkontrakte
5Dieser Spezialfall der dichotomen Entwicklung von Wertpapierkursen hat die nützliche Eigenschaft, eine unmittelbare Verbindung zum Binomialmodell der Optionspreistheorie her- stellen zu können. Vgl.Kruschwitz, L./Schöbel, R.(1984), S. 6872, S. 116121 und S. 171
mit einer Laufzeit von jeweils genau einer Periode. Ein zustandsabhängig wirk- sam werdender Terminkontrakt ist ein Geschäft, für das der Erwerber heute nichts und im Zeitpunkt t=1den Betrag X1sj zahlt, allerdings nur wenn Zu- stands eintritt. Dieser Kontrakt verspricht int=2zustandsabhängige Rück- üsseX2sj .
. .
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........ ......
........ ....
p 1
,p 2
X 1
11 ,X
2
11
X 1
12 ,X
2
12
X 1
21 ,X
2
21
X 1
22 ,X
2
22
X 1
23 ,X
2
23
X 1
24 ,X
2
24
t=0 t=1 t=2
Abbildung 1: Kursentwicklung der Basistitel
Jeweils drei unmittelbar zusammenhängende Knoten des Zustandsbaums re- präsentieren somit ein Kontraktpaar. Das Paar der Kassakontrakte wird durch den Ursprungs und die zut =1gehörenden Knoten dargestellt. Letztere bil- den auch die Ursprungsknoten für die vier bedingten Terminkontrakte. Der Rahmen im oberen Bereich der Abbildung 1 gibt das Terminkontraktpaar wie- der, das nur im Zustands=1ausgeführt wird. Ausübungspreise sindX111 und
X 2
11. Die entsprechenden Rücküsse in t = 2 betragen X211 und X212 im Zu- stands=1sowieX221 undX222 im Zustands=2. Wir stellen nun ein lineares Gleichungssystem für alle Arrow/DebreuKassapreise auf,
0
B
B
B
B
B
@ X
1
11 X
1
12
0 0 0 0
X 2
11 X
2
12
0 0 0 0
;X 1
11
0 X
1
21 X
1
22
0 0
;X 2
11
0 X
2
21 X
2
22
0 0
0 ;X
1
12
0 0 X
1
23 X
1
24
0 ;X
2
12
0 0 X
2
23 X
2
24 1
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
@ 11
12
21
22
23
24 1
C
C
C
C
C
A
= 0
B
B
B
B
B
@ p
1
p 2
0
0
0
0 1
C
C
C
C
C
A
: (14)
Das System hat die angenehme Eigenschaft, sukzessive in (ST ;1)=(S;1) Subsysteme zerlegbar zu sein.6 Mit jedem Subgleichungssystem werdenS Un- bekannte bestimmt. Für unseren Spezialfall erhalten wir
X 1
11 X
1
12
X 2
11 X
2
12
11
12
=
p 1
p 2
;
6Es ist leicht zu sehen, daÿ der Fall der Sicherheit und die arbitragefreie Bewertung unter Unsicherheit bei zwei Zeitpunkten und zwei Zuständen in der obigen Darstellung implizit enthalten sind.
