Working Paper
DYNAMIC LINEAR PROGRAMMING
Anatoli Propoi
May 1979 WP-79-38
International Institute for Applied Systems Analysis
A-2361 Laxenburg, Austria
The p a p e r p r e s e n t s a s u r v e y o f dynamic l i n e a r programming ( D L P ) models and methods, i n c l u d i n g d i s c u s s i o n o f d i f f e r e n t f o r m a l i z a t i o n s of dynamic l i n e a r p r o g r a m s , models which c a n b e w r i t t e n iri s u c h a form, d u a l i t y r e l a t i o n s and o p t i m a l i t y con-
d i t i o n s f o r DLP, n u m e r i c a l methods - - b o t h f i n i t e - s t e p s and i t e r a t i v e .
D Y N A M I C L I N E A R PROGWL!ING*
A . P r o p o i * *
I N T R O D U C T I O N
Dynamic l i n e a r programming (DLP) c a n b e c o n s i d e r e d a s a n e x t s t a g e o f l i n e a r programming (LP) d e v e l o p m e n t [ I -31
.
Nowadaysi t becomes d i f f i c u l t , even s o m e t i m e s i m p o s s i b l e , t o make d e - c i s i o n s i n l a r g e s y s t e m s a n d n o t t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e con- s e q u e n c e s o f t h e d e c i s i o n o v e r some p e r i o d o f t i m e . T h u s , a l m o s t a l l p r o b l e m s o f o p t i m i z a t i o n become dynamic, m u l t i s t a g e o n e s . Examples a r e l o n g - r a n g e e n e r g y , w a t e r and o t h e r r e s o u r c e s s u p p l y m o d e l s , p r o b l e m s o f n a t i o n a l s e t t l e m e n t p l a n n i n g , l o n g - r a n g e a g r i c u l t u r e i n v e s t m e n t p r o j e c t s , manpower a n d e d u c a t i o n a l p l a n n i n g m o d e l s , r e s o u r c e s a l l o c a t i o n f o r h e a l t h c a r e , e t c .
N e w p r o b l e m s r e q u i r e new a p p r o a c h e s . W i t h i n DLP i t i s d i f f i c u l t t o e x p l o i t o n l y LP i d e a s a n d m e t h o d s . W h i l e f o r t h e s t a t i c LP t h e b a s i c q u e s t i o n c o n s i s t s of d e t e r m i n i n g t h e o p t i m a l p r o g r a v , t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s program ( r e l a t e d t o t h e q u e s t i o n o f t h e f e e d b a c k c o n t r o l o f s u c h a p r o g r a m , i t s s t a b i l i t y a n d s e n s i - t i v i t y , e t c . ) i s n o l e s s i m p o r t a n t f o r t h e dynamic p r o b l e m s . Hence, t h e DLP t h e o r y a n d methods s h o u l d b e b o t h b a s e d on t h e methods o f l i n e a r programming [ 1 , 2 ] and on t h e m e t h o d s o f c o n t r o l t h e o r y , P o n t r y a g i n ' s maximum p r i n c i p l e [ 4 ] and i t s d i s c r e t e
v e r s i o n [ 5 ] i n p a r t i c u l a r . DLP CANONICAL FORM
I n f o r m u l a t i n g DLP p r o b l e m s i t i s u s e f u l t o s i n g l e o u t [ 3 ] :
-
s t a t e e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m w i t h t h e s t a t e a n d c o n t r o l v a r i a b l e s ;-
c o n s t r a i n t s imposed on t h e s e v a r i a b l e s ;-
p l a n n i n g h o r i z o n T a n d t h e l e n g t h o f e a c h t i m e p e r i o d ;*On l e a v e f r o m t h e I n s t i t u t e f o r S y s t e m s S t u d i e s , MOSCOW, USSR.
**To a p p e a r i n " N u m e r i c a l O p t i m i z a t i o n o f Dynamic S y s t e m s "
( E d s . L.C.W. Dixon a n d G.P. S z e g 6 ) N o r t h - H o l l a n d .
-
o b j e c t i v e f u n c t i o n ( p e r f o r m a n c e i n d e x ) , w h i c h q u a n t i f i e s t h e q u a l i t y o f c o n t r o l .S t a t e e q u a t i o n s . S t a t e e q u a t i o n s h a v e t h e f o l l o w i n g form:
x ( t + l ) = A ( t ) x ( t )
+
B ( t ) u ( t )+
s ( t ) ( 1 ) where t h e v e c t o r x ( t ) = x t. . .
x n t1
d e f i n e s t h e s t a t e o ft h e s y s t e m a t s t a g e t i n t h e s t a t e s p a c e X , which i s s u p p o s e d t o b e t h e n - d i m e n s i o n a l e x c l i d e a n s p a c e E"; v e c t o r
u ( t ) = { u l (t)
, . . . ,
ur ( t )1
E E r s p e c i f i e s t h e c o n t r o l l i n g a c t i o n a t s t a g e t ; s ( t ) = s t. .
s n t1
i s a v e c t o r d e f i n i n g t h e e x t e r n a l e f f e c t o n t h e s y s t e m ( u n c o n t r o l l e d , b u t known a p r i o r i i n t h e d e t e r m i n i s t i c m o d e l ) .0
I t i s a l s o assumed t h a t t h e i n i t i a l s t a t e of t h e s y s t e m i s g i v e n :
P I a n n i n q h o r i z o n T i s s u p p o s e d t o b e f i x e d . Thus i n ( 1 ) : t = 0 , 1 , .
. .
,T-1. The l e n g t h o f e a c h t i m e p e r i o d may b e t h esame f o r t h e w h o l e p l a n n i n g h o r i z o n ( s a y , m o n t h , y e a r , 5 y e a r s ) , o r d i f f e r s f o r d i f f e r e n t p e r i o d s . F o r e x a m p l e , i n l o n g - r a n g e e n e r g y s u p p l y m o d e l s t h e p l a n n i n g h o r i z o n m i g h t b e 100 y e a r s , w h i c h f o r m s 1 0 - p e r i o d h o r i z o n w i t h f i v e p e r i o d s e q u a l 6 y e a r s , t h r e e p e r i o d s e q u a l 10 y e a r s and two p e r i d s e q u a l 2 0 y e a r s [ 6 ] . C o n s t r a i n t s . I n r a t h e r g e n e r a l f o r m c o n s t r a i n t s imposed on t h e s t a t e a n d c o n t r o l v a r i a b l e s may b e w r i t t e n a s
where f ( t ) = i f l ( t )
,. . .
, f m ( t )1
E E m ( t = 0 , 1 , --
= , T - I ) dO b j e c t i v e f u n c t i o n . ( P e r f o r m a n c e i n d e x ) , w h i c h i s t o b e maxi- mized f o r c e r t a i n t y , i s
I n v e c t o r p r o d u c t s t h e r i g h t vector i s a colum.? a n d t h e l e f t v e c t o r i s a row.
~ e - f i n i t t c n s . T h e v e c t o r s e q u e n c e u = ( u ( O ) ,
. . .
, u ( T - 1 )1
i s a n o n t r o l ( ~ r o g : ? a r n ) o f t h e s y s t e m . T h e v e c t o r s e q u e n c ex = ( x ( 0 ) , x ( 1 )
, . . .
, x ( T ) ), w h i c h c o r r e s p o n d s t o c o n t r o l u f r o m ( I ) , ( 2 ) , i s t h e s y s t e m ' s t r c , i e c t o r y . T h e p a i r { u , x ) , w h i c h s a t i s f i e s a l l +-he c o n s t r z i n t s o f t h e p r o b l e m ( e . g . ( 1 ) - ( 4 ) ) i s a f e a s i b l e p r s c e s s . A f e a s i b l e p r o c e s s { u * , x * > w h i c h m a x i m i z e s t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n ( 5 ) i s o p t i m a l .T h e DLP p r o b l e m i n i t s c a n o n i c a l f o r m i s f o r m u l a t e d a s f o l l o w s . ProbZen; I ? . F i n d a c o n t r o l u* a n d a t r a j e c t o r y x * , s a t i s f y i n g t h e s t a t e e q u a t i o n s w i t h t h e i n i t i a l s t a t e a n d t h e c o n - s t r a i n t s ( 3 ) a n d ( 4 )
, .
w h i c h m a x i m i z e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n ( 5 ) . I n P r o b l e m 1P v e c t o r s xO, s ( t ) , f ( t ) , a ( t ) , b ( t ) a n d m a t r i c e s~ ( t ) , ~ ( t ) , ~ ( t ) , D ( t ) a r e s u p p o s e d t o be known.
The c h o i c e o f t h e c a n o n i c a l form i s t o some e x t e n t a r b i t r a r y a n d t h e r e a r e v a r i o u s p o s s i b l e v e r s i o n s , a n d m o d i f i c a t i o n s of P r o b l e m 1P. I n p a r t i c u l a r , b o t h s t a t e a n d c o n t r o l v a r i a b l e s may be n o n - n e g a t i v e ; s t a t e e q u a t i o n s may i n c l u d e t i m e l a g s ; c o n - s t r a i n t s o n s t a t e a n d c o n t r o l v a r i a b l e s may b e s e p a r a t e , g i v e n a s e q u a l i t i e s o r i n e q u a l i t i e s ; t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n may b e d e f i n e d o n l y b y t h e t e r m i n a l s t a t e x ( T ) o f t h e s y s t e m , e t c .
[ 5 , 7 ]
.
I t s h o u l d be n o t e d , n o w e v e r , t h a t s u c h m o d i f i c a t i o n s c a n be e i t h e r r e d u c e d t o P r o b l e m 1P o r t h e r e s u l t s s t a t e d below f o r P r o b l e m 1P c a n be e a s i l y e x t e n d e d f o r t h e s e m o d i f i c a t i o n s .Note, t h a t i f T = 1 , t h e n P r o b l e m 1P b e c o m e s a c o n v e n t i o n a l LP p r o b l e m . P r o b l e m 1P i t s e l f c a n a l s o be c o n s i d e r e d a s a c e r t a i n s t r u c t u r e d LP p r o b l e m w i t h c o n s t r a i n t s ( 1 )
-
( 4 ) . I n t h i s case t h e o p t i m a l c o n t r o l P r o b l e m 1P t u r n s o u t t o b e a n LP p r o b l e m w i t h t h e s t a i r c a s e c o n s t r a i n t m a t r i x .S o n e t i m e s d y n a m i c LP p r o b l e m s are f o r m u l a t e d u s i n g o n l y LP l a n - g u a g e , a s f o r e x a m p l e , P r o b l e m 2 , [ 8 ]
-
[ I 01 :?~o.?Lern
. -
2 . F i n d v e c t o r s { x * ( 1 ), . . .
, x * ( T ) 1, w h i c h m a x i n i z es u b j e c t t o
One c a n a l s o e x p r e s s t h e s t a t e v a r i a b l e s x ( t ) i n P r o b l e m 1P a s an e x p l i c i t f u n c t i o n o f c o n t r o l . A s a r e s u l t , t h e f o l l o w i n g LP problem w i t h a b l o c k - t r i a n g u l a r m a t r i x i s o b t a i n e d .
P r o b l e m 3 . F i n d v e c t o r s {u* ( 0 )
, . . .
, u * (T-1 )1 ,
which maximizewhere t h e v e c t o r s h ( t )
,
w ( t ) and t h e m a t r i c e sw
( t , - r ) depend on t h e known p a r a m e t e r s o f P r o b l e m 1P.Problems 2 and 3 a r e t y p i c a l e x a m p l e s o f s t r u c t u r e d LP &,?d a d m i t v a r i o u s m o d i f i c a t i o n s i n t h e same way a s Problem 1P . ( e . g . a b l o c k d i a g o n a l s t r u c t u r e w i t h c o u p l i n g c o n s t r a i n t s a n d / o r v a r i a b l e s , e t e . ) . They h a v e b e e n s t u d i e d i n t e n s i v e l y (see, e . g . [1,2,8-101.
B u t u n l i k e c o n t r o l P r o b l e m 1P, s u c h f o r m a l i z a t i o n s o f d y n a m i c a l p r o b l e m s do n o t u s e e x p l i c i t l y t h e s t a t e e q u a t i o n s o f a s y s t e m . T h e r e f o r e t h i s a p p r o a c h makes i t d i f f i c u l t t o a t t r a c t t h e i d e a s and methods o f t h e c o n t r o l t h e o r y . The DLP p r o b l e m s i n t h e form o f Problem 1P w e r e i n t r o d u c e d i n [ 1 1 , 5 ] .
DLP MODELS
T h e r e i s a l a r g e a n d r a p i d l y e x p a n d i g g f i e l d o f a p p l i c a t i o n s o f dynamic l i n e a r p r o g r a m i n g . H e r e o n l y some o f them a r e mentioned.
Z??:alr;ic n t l Z t ? : - S P C t o r e c o n o m t c mode 2 s . T h e s e a r e b a s i c a l l y e x t e n - s i o n s of dynamic i n p u t - o u t p u t m o d e l s , when s u b s t i t u t i o n i s
a l l o w e d ( s e e f o r e x a n p l e [ 1 , 2 , 1 2 - 1 4 1 ) . A l o n g s i d e w i t h d i s c r e t e t i m e f o r m u l a t i o n c o n t i n u o u s t i m e economy m o d e l s h a v e a l s o b e e n d e v e l o p e d ( e . g . i n [ I 5 1 1 .
E n e r a ; n i o d e i s . F o r l o n g - r a n g e p l a n n i n g t h e p r o b l e m i s t h e f o l l o w i n g : f o r e x i s t i n g i n i t i a l s t r u c t u r e o f t h e s e c o n d a r y e n e r g y p r o d u c t i o n c a p a c i t i e s and u n d e r g i v e n p r i m a r y e n e r g y a n d n o n e n e r g y r e s o u r c e s s u p p l y c o n s t r a i n t s f i n d a t r a n s i t i o n t o s u c h a mix o f t h e e n e r g y p r o d u c t i o n o p t i o n s ( f o s s i l , n u c l e a r , e t c . ) , w h i c h s a t i s f i e d t h e p r o j e c t e d e n e r g y demand a n d m i n i m i z e s t h e
t o t a l c o s t o f s u c h t r a n s i t i o n . T h e s e e n e r g y s u p p l y m o d e l s h a v e b e e n s t u d y i n g i n t e n s i v e l y i n t h e r e c e n t y e a r s [ 6 , 1 6 - 1 8 1 . The n e x t s t a g e i n t h i s d i r e c t i o n i s t h e i n v e s t i g a t i o n o f e n e r g y - economy i n t e r a c t i o n . T h i s p r o b l e m c a n be a n a l y s e d e i t h e r a s a n i n t e g r a t e d DLP m o d e l o r i n some man-machine i t e r a t i v e mode [ 181
.
P r i m a r y r e s o u r c e s mode 2 s . T h e s e m o d e l s r e l a t e t o t h e p l a n n i n g o f p r i m a r y r e s o u r c e s e x t r a c t i o n a n d / o r e x p l o r a t i o n a c t i v i t i e s . The s u r v e y o f d i f f e r e n t DLP e n e r g y - r e s o u r c e s - e c o n o m y m o d e l s i s g i v e n i n [ I 81
.
Wa%er m o d e l s . The DLP m o d e l s f o r w a t e r s y s t e m s a r e t h e w a t e r s u p p l y m o d e l s ( w h i c h a r e c o n c e p t u a l y c l o s e t o e n e r g y s u p p l y m o d e l s )
,
t h e p r o b l e m s o f a l t e r n a t i v e s e v a l u a t i o n i n a r i v e r b a s i n , e t c . [ I 9-21].
Models .for e d u c a t i o ~ a Z a n d manpower ? l a n n i n ? . The s i m p l e edu- c a t i o n a l model a i m s t o f i n d s u c h e n r o l l m e n t s t o d i f f e r e n t edu- c a t i o n a l i n s t i t u t i o n s w h i c h a s w e l l a s s a t i s f y a l l t h e con- s t r a i n t s o f t h e s y s t e m s ( e . g . t e a c h e r s , b u i l d i n g s a n d o t h e r
e d u c a t i o n a l c a p a c i t i e s a v a i l a b i l i t y ) a n d b e a s c l o s e a s p o s s i b l e t o t h e p r o j e c t e d manpower demand. I n t h e manpower p l a n n i n g
n o d e l s c o n t r o l s a r e r e c r u i t m e n t s a n d / o r p r o m o t i o n s .
t
T h e r e a r e d i f f e r e n t m o d i f i c a t i o n s o f t h e s e m o d e l s , b o t h f o r n a - t i o n a l a n d i n s t i t u t i o n a l l e v e l s [ 2 2 ] .
., .
...:- - 3 s e ~ tt Z ~ ~ ~ e n t p l a n n i n g . T h e s e DLP m o d e l s r e l a t e t o f i n d - i n g a n o p t i m a l , i n some ' s e n s e , m i g r a t i o n f l o w s i n a r e g i o n O r a cou:1tr-y [ 231
.
3 e ~ Z t h c Q r e s g s t e m s . The p r o b l e m o f h e a l t h c a r e s y s t e m p l a n - n i n g may b e r e d u c e d t o a n a l l o c a t i o n f u n d s , h e a l t h manpower a n d o t h e r r e s o u r c e s o v e r t i m e among d i f f e r e n t d i s e a s e s t r e a t m e n t a c t i v i t i e s i n s u c h a way a s t o y i e l d t h e b e s t r e s u l t s i n terms o f r e d u c e d m o r t a l i t y , m o r b i l i t y and o t h e r l o s e s [ 2 4 ] .
A g r i c u Z t u r e m o d e is. S e ~ a r a t e DLP m o d e l s c o n c e r n p l a n n i n g p r o b - l e m s i n l i v e s t o c k b r e e d i n g , c r o p p r o d u c t i o n , r e s o u r c e s u t i l i z a - ' t i o n , e t c . The i n t e g r a t e d m o d e l s r e l a t e t o p l a n n i n g o f d i v e r s i -
f i e d a g r o - i n d u s t r i a l c o m p l e x e s a n d t h e p r o b l e m s o f f a r m g r o w t h [25-281
.
P r o d u c t i o n m o d e l s . T h e s e DLP m o d e l s a r e b a s i c a l l y a s s o c i a t e d w i t h t h e p r o d u c t i o n s c h e d u l i n g a n d i n v e n t o r y p r o b l e m s i n
i n d u s t r y [ 8 , 9 , 2 9 , 3 0 ] .
D y n a m i c t r a n s p o r t a t i o n p r o b l e m s . T r a n s h i p m e n t a n d o t h e r n e t - work p r o b l e m s a r e t h e i m p o r t a n t c l a s s o f L i n e a r programming.
Dynamical a s p e c t s o f t r a n s p o r t a t i o n p r o b l e m s a r e c o n s i d e r e d i n [ 3 , 3 1 , 3 2 ] .
M i s c e l l a n e o u s m o d e l s . I t i s w o r t h w h i l e t o m e n t i o n ' h e r e some
" i n d i v i d u a l " DLP a p p l i c a t i o n s : c o n g e s t e d u r b a n r o a d t r a f f i c c o n t r o l [ 3 3 ] , p l a n n i n g t h e a c q u i s i t i o n a n d d i s p o s a l o f e q u i p m e n t i n a t r a n s p o r t f l e e t [ 3 4 ] , m u l t i s t a g e s t r u c t u r a l d e s i g n p r o b l e m s
L3.51.
THEORY O F DCP
The t h e o r y o f DLP i s c o n n e c t e d w i t h d u a l i t y r e l a t i o n s a n d o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s 11 1 , 3 6 , 7 , 5 ]
.
P r o b l e m ID. To f i n d a d u a l c o n t r o l X = { A (T-1)
, . . .
, X ( O ) a n d a d u a l t r a j e c t o r y p = { p ( ~ ) ,. . .
, p ( O ) s a t i s f y i n g t h e c o - s t a t e( d u a l ) e q u a t i o n
C
w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n
s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t s
a n d m i n i m i z e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n
Here p ( t ) IZ En a n d A ( t ) IZ Ern are L a g r a n g e m u l t i p l i e r s f o r con- s t r a i n t s ( 1 ) - ( 4 )
.
The d u a l P r o b l e m I D i s a c o n t r o l - t y p e p r o b l e m as i s t h e p r i m a l o n e 1P. Here t h e v a r i a b l e A ( t ) i s a d u a l c o n t r o l a n d p ( t ) i s a c o - s t a t e o r a d u a l s t a t e a t s t a g e t . W e h a v e r e v e r s e d t i m e i n t h e d u a l P r o b l e m I D : t = T-1,
...,
1,O.T h e o r e m I . ( T h e DLP NGZobaZ" D u a l i t y T h e o r e m ) . The s o l v a b i l i t y o f e i t h e r o f t h e 1P o r I D p r o b l e m s i m p l i e s t h e s o l v a b i l i t y o f t h e o t h e r , w i t h J p ( u * ) = J D ( A
*
).
.L e t u s i n t r o d u c e H a m i l t o n f u n c t i o n s
f o r t h e p r i m a l a n d d u a l p r o b l e m s r e s p e c t i v e l y .
T h e o r e m 2 . ( T h e DLP " L o c a l u D u a l i t y T h e o r e m ) . The s o l u t i o n s of t h e p r i m a l { u * , x * ) a n d d u a l p r o b l e m s are o p t i m a l if a n d o n l y i f t h e v a l u e s o f H a m i l t o n i a n s c o i n c i d e :
T h u s , t h e s o l u t i o n o f t h e p a i r o f d y n a m i c d u a l p r o b l e m s c a n b e r e d u c e d t o a n a l y s i s o f a p a i r o f s t a t i c l i n e a r p r o g r a m s
max H p ( p ( t + l ) , u ( t )
( 1 0 ) G ( t ) x ( t )
+
D ( t ) u ( t ) = f ( t ) ; u ( t )-
> 0min H D ( x ( t ) , A ( t ) )
l i n k e d by t h e s t a t e ( I ) , ( 2 ) and c o - s t a t e ( 6 ) , ( 7 ) e q u a t i o n s . I n p a r t i c u l a r , i t can b e shown, t h a t maximum p r i n c i p Z e f o r d u a l Problem I P and minimum p r i n c i p l e f o r d u a l P r o b l e m I D a r e h o l d
[ 5 , 7 ] . An economic i n t e r p r e t a t i o n o f t h e DLP d u a l i t y r e l a t i o n s i s g i v e n i n [361
.
DLP METHODS
We s h a l l d i s t i n g u i s h f i n i t e and i t e r a t i v e methods f o r s o l v i n g DLP problem.
F i n i t e - s t e p s m e t h o d s . T h e s e methods are t h e e x t e n s i o n o f f i n i t e l a r g e - s c a l e LP methods f o r t h e dynamic p r o b l e m s . Two b a s i c
a p p r o a c h e s may b e s i n g l e d o u t h e r e : compact i n v e r s e a n d decom- p o s i t i o n methods [ 9 , 1 0 , 3 7 , 3 8 :
.
Compact i n v e r s e m e t h o d s . These methods are v a r i a n t s o f t h e
s i m p l e x method u s i n g b a s i s f a c t o r i z a t i o n w i t h v a r i o u s s t r a t e g i e s a s t o t h e v e c t o r p a i r t o e n t , e r a n d t o l e a v e t h e b a s i s . The
a p p r o a c h i s b e i n g d e v e l o p e d b o t h f o r s t r u c t u r e d a n d g e n e r a l LP ( i n t h e l a t t e r c a s e t h e s p a r s e n e s s o f c o n s t r a i n t m a t r i x i s
e x p l o i t e d ) ( s e e e . g . [ 9 , 1 0 , 3 7 , 3 8 , 3 9 , 4 0 ] ) . F o r s t a i r c a s e s t r u c t u r e (Problem 2 ) t h i s a p p r o a c h was u s e d i n [37,41-441
.
F o r DLPProblem 1P t h e a p p r o a c h was p r c p o s e d i n [ 4 5 , 4 6 ] a n d d e s c r i b e d i n (47-491, The method a r i s e d i s a n a t u r a l a n d s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n o f t h e s i m p l e x method. The main c o n c e p t of t h e s i m p l e x method--the b a s i s - - i s r e p l a c e d by t h e s e t o f l o c a l b a s e s , i n t r o - duced f o r t h e whole p l a n n i n g p e r i o d . The i d e a o f t h e method i s t h e f o l l o w i n g . C o n s i d e r t h e c o n s t r a i n t s ( 3 ) f o r t = O . U s i n g
( 2 ) , t h e y c a n b e w r i t t e n i n t h e form
and a c c o r d i n g t o t h e c o n v e n t i o n a l s i m p l e x p r o c e d u r e b e p a r t i - t i o n e d a s
\.r:rlcre D ( 0 ) i s a s q c a r e n o n - s i n g u l a r ( m m ) m a t r i x . I f T = 1 0
( s t a t i c : p r o b l e m ) , t h e n onr- c a n s e t u 1 ( 0 ) = 0 a n d f i n d f r o m ( 1 3 ) a L a s i c f s a s i b l e s o l u t i o n u 0 ( O )
-
> 0.
I n t h e dynz?.nic c a s e(T > 1 ) n o t a l l c o m p o n e n t s o f u 1 ( 0 ) a r e z e r o s f o r b a s i c
s a l u t i o x s . T h e s e n o n z e r o c c m p o n e n t s s h o y ~ l d b e t r a n s f o r m e d t o t h e next s t r p s t > 0 . 3 a r t i t i o n i ~ g t h e s t a t e e q u a t i o n s ( 1 ) f o r t = 0 i n t h e s a m e way a s i n ( 1 3 ) a n d s u b s t i t u t i n g u o ( 0 ) f r o m
( 1 3 ) t o t h i s p a r t i t i o n e d s t a t e e q u a t i o n s , o n e c a n o b t a i n t h e c o n s t r a i n t s f o r t h e n e x E s t e p i n t h e f o r m , s i m i l a r t o ( 1 2 ) :
A
j ( l ) ; ( l ) = 1 ) e ( 1 =
,
0 ; ~ ( 1 ) ; . T n e m s t r i x6(1)
depenscis or, G ( 1 1 , C
,
3 ( 3 ) a 2 2 car! b e a g a i n p a r t i t i o z e d i n t h eh A O h A
s a n e 1 ~ 2 : ~ : D ( 1 ) = [ D O ( l ) ; D l ( i ) ] , d e t D O ( l ) # 0 a n d s o o n , u n t i l tr.c l a s t s t e p u l (T-I) = 0 .
h
T h e s e t o f n l i n e a r l y i n 6 e p e n d e r . t c o l u r r n s of t h e m a t r i x D ( t ) i s L o c c l 3 c s l s a t s t e p t . T h e s e t of l o c a l b a s e s { D o ( t ) ) f o r t h e w h o l e p l a r , r . i n g p e r i o d t = 0 , 1 , .
. .
,T-1 p l a j r s t h e s a m e r o l e a s '5 a s i s i n s t a n . i z r d s i m p l e x - m e t h o d . T h e i n t r o 2 u c t i o n o f l o c a l b a s e s a l l o w s t o i m p l e m e n t a l l s i m p l e x p r o c e d u r e s ( s e l e c t i o n o f v e c t o r s t o b e r e m o v e d f r a x a n d t o b e i n t r o d u c e d i x t o t h e b a s i s , p r i c i n g , u p d a t i n g ) v e r y e f f e c t i v e l y [ 4 9 ] . I t s h o u l d be a l s o n o t e d , t h a t t h e d y n a m i c s i m p l e x - m e t h o d g i v e s n o t o n l y c o m p a c t s u b s t i t u t e f o r b a s i s i n v e r s e , b u t u s e s o n l y a p z r t of t h e l o c a l b a s e s r e p r e s e n t a t i o n a t e a c h i t e r a t i o n .
T h e e x t e n s i o n o f t h e d y n a m i c s i m ~ l e x - m e t h o d t o DLP p r o b l e i n s w i t h t i m e l a g s o r n c n - n e g a t i v e s t a t e v a r i a b l e s a s w e l l a s d u a l v e r - s i o n s o f t h e m e t h o d a r e c o n s i d e r e d i n [ 4 6 , 4 9 1 .
2ecor?=,cs i t i o r . ns rkods. T h e s e m e t h o d s f o l l o w s fror;l r e p e a t e d a p - -
p l i c a t i o n o f d i f f e r e n t d e c o m p o s i t i o n m e t h o d s ( f i r s t o f a l l , ~ a n t z i c j - W o l f e d c c o m ; ~ o s i t i o n ~ r i ~ c i 2 l e j t o t h e DLP ~ r o b l e m , a n d t h e s t a i r c a s e s t r u c t u r e ( ? r o b l e m 2 ) w a s d e s c r i b e d i n [ ? , 5 0 - 5 4 1
.
F o r D L ? P r o b l e m 1P t h i s a 2 p r o a c h w a s u s e d i n [ S S ] . C o n s i d e r t h e s e q u e n c e o f LP p r o b l e m s ( t = T- 1 , .
. .
, I , 0 ) :max p ( t + l ) x ( t + J )
where R ( x o ) i s t h e s e t o f a l l s t a t e s x ( t ) f e a s i b l e from i n i t i a l t
s t a t e x0 f o r t s t z p s [ 5 1 ; p ( t + l ) i s d u a l s t a t e v e c t o r . S o l u t i o n s o f t h e s e LP p r o b l e m s w i t h o p t i m a l v a l u e s of p * ( t + l ) g i v e a n o p t i m a l s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l P r o b l e m 1P. Any v e c t o r x ( t ) of R ( x o ) c a n b e r e p r e s e n t e d a s a l i n e a r convex combina-
t
t i o n o f i t s e x t r e m e p o i n t s ( a s s u m i n g b o u n d n e s s o f R t ( x o ) ) . Thus, p r o b l e m ( 1 4 ) c a n b e r e w r i t t e n as
max p ( t + l ) [ L A ( t ) x i ( t ) p i ( t ) + B ( t ) u ( t ) + s ( t ) l
-
iProblem ( 1 5 ) i s a master p r o b l e m a t s t e p t . F o r i t s s o l u t i o n c o n v e n t i o n a l column g e n e r a t o r p r o c e d u r e can b e a d o p t e d . O t h e r methods f o r s o l u t i o n o f P r o b l e m 1P b a s e d o n d i f f e r e n t decomposi- t i o n and p a r t i t i o n p r i n c i p l e s w e r e c o n s i d e r e d i n [56-601.
T h e DLP i t e r a t i v e m e t h o d s . The a p p l i c a t i o n o f t h e LP f i n i t e methods t o t h e dynamic p r o b l e m s may c a u s e c e r t a i n d i f f i c u l t i e s , e s p e c i a l l y f o r l a r g e p l a n n i n g peri'ods T . The r e a s o n f o r i t i s t h a t s o l u t i o n p a t h s i n t h e s e methods c o n s i s t o f a number o f v e r t i c e s o f a f e a s i b l e p o l y h e d r a l s e t ( i n some s p a c e ) , and t h i s number w i l l i n c r e a s e e x p o n e n t i a l l y w i t h T .
The i t e r a t i v e methods seem t o b y - p a s s t h e s e d i f f i c u l t i e s . They a l s o c h a r a c t e r i z e d by low demand t o c o m p u t e r ' s c o r e memory, s i m p l i c i t y o f t h e computer i m p l e m e n t a t i o n , low s e n s i t i v i t y t o d i s t u r b a n c e s . D i s a d v a n t a g e s o f t h e s e methods may b e low con- v e r g e n c e r a t e , y e i l d i n g o n l y a p p r o x i m a t e s o l u t i o n .
.\
We s h a l l s i n g l e o u t t h e f o l l o w i n g i t e r a t i v e methods.
; 1 L i : r ~ c r ~ ! ! : ~ n t m ? t i ; o J ; ; . T h i s g r o u p o f m e t h o d s i s bclscd
-- _ _ I-
o n f i n d i n g e x t r e m u m o f f u n c t i o n s :
' (:, p = max L ( u f x ; A , p ) ; ; ( u , ~ ) = m i n L ( u f x ; ; \ , P I ( 1 6 !
X f U
L
0 p i x - > 0w h e r e L ( u , x , A , p ) i s t h e L a g r a n g e f u n c t i o n o f P r o b l e m 1 P ( I D ) . M i n i m i z a t i o n o f Y i s e q u i v a l e n t t o t h e s o l u t i o n o f t h e d u a l P r o b l e m I D , w h i l e t h e m a x i m i z a t i . o n o f c$ i s e q u i v a l e n t t o t h e s o l u t i o n o f p r i m a l P r o b l e m 1 P [ 7 ] . A s t h e s e f u n c t i o n s a r e n o n - d i f f e r e n t i a b l e b y n a t u r e , t h e g e n e r a l i z e d g r a d i e n t t e c h n i q u e i 6 1 1 is n e e d e d . T h e a p p l i c a t i o n o f t h i s a p p r o a c h t o t h e s o l u t i o n o f d u a l P r o b l e m ID l e a d s t o t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m . W e c o n s i d e r P r o b l e m 1 P w i t h a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s o n c o n t r o l v a r i a b l e s : u ( t ) E U t ; U t = ! u ( t ) I ~ ( t ) u ( t )
2
r ( t ) , u ( t )2
0 ).
( 1 ) C h o o s e a r b i t r a r y d u a l c o n t r o l { A v ( t ) j ( t = 0 , 1
, . . .
,T-1 ).
( 2 ) C e r n p u t e d u a l s t a t e t r a j e c t o r y ~ ~ ' ( t )
;
f r o m t h e d u a l s t a t e e q u a t i o n s ( 6 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n ( 7 ).
( 3 ) F o r p\J ( t + l ) s o l v e T LP p r o b l e m s : rnax H p ( p ( t + l ) . u ( t ) v )
.
u ( t ) E U t
.
L e t u V ( t ) b e a s o l u t i o n o f t h e s e p r o b l e m s . ( 4 ) C o m p u t e p r i m a l s t a t e t r a j e c t o r y x v ( t l f r o m ( 1 ) a n d( 2 ) f o r u V ( t ) .
v v
(5) C o m p u t e g e n e r a l i z e d g r a d i e n t o f Y : S Y ( A ) = h ( t ) ,
w h e r e h v ( t ) = f ( t )
-
~ ( t ) x ' ( t ) - ~ ( t ) u \ ; ( t ) . ( 1 7 ) v+ 1( 6 ) C o m p u t e new d u a l c o n t r o l A :
.
v + l v v v= A
-
a ( ' 3 )I(
( V = O , l , 2 . . . . ) ( 1 8 )- - -
*
r . . 3 : 1 i . ? ~
: .
L e t n V - t O ; v - + ~ ;- .
1
a v --.
T h e n ?' ( i V ) -+ !'(A ),
:>=o
* * *
) ~ ' + . I
,
1 = {A ( t ) i s a n o p t i m a l c o n t r o l o f d u a l P r o b l e m I D . T h e a l g o r i t h m ( 1 ) - ( 6 ) g i v e s a d u a l s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m . T o o b t a i n t h e p r i m a l s o l u t i o n o n e c a n a p p l y t h e s a m e a p p r o a c h t of u n c t i o n
:
( u ) i n ( 1 6 ).
,,--,:*.c.. - - -
... ,
.. -,
L Q C L : : n 3 2 i i :C ~ u Y ~ c ? . ~ s ; : . - : e z , : z : [ 6 2 6 3 1.
T h i s a p p r o a c h com- b i n e s t h e a d v a n t a g e s o f b o t h f i n i t e a n d i t e r a t i v e m e t h o d s : u n d e ra i n i m a l r e q u i r e m e n t s f o r s t o r a g e i t e n s u r e s monotonic c o n v e r - cjsnce i n a f i n i t e number of s t e p s . I n a s e n s e , t h i s method c-n be c o n s i d e r e d a s a "smooth" a l t e r n a t i v e t o t h e nonsmooth a p p r o a c h , d s s c r i b e c i a b o v e . L e t t h e L a g r a ~ q e f ~ i c t i o n 5 ( u , ) . ) o f P r o b l s m 1 2
( I D ) b e a i l q n e n t e d by q ! ~ a d r a t l c te~rix:
where 0 > 0 , v e c t o r h ( t ) i s d e f i n e d f r o m ( 1 7 ) .
Now i n s t e z d of ( 1 6 ) t h e f o l l o w i n g p a i r o f p r o b l e m s can . b e c o r ? s i d e r s 2
\U ( A ) = rriax i ? ( u , A ) ; t , ( u ) = in M(u,X!
f1 U
. -
XO p p o s i t e t o ?' ( A )
,
t h e f u ~ c t i o n P (?, j i s a s a ~ o t h c o n c a v e mf u n c t i o n ; d e r i v a t i v e o f '? ( A ) i s a c o n t i n u o u s f 7 t ? c t i o n o f X m d
a'?
M ( E , ) / a A ( t ) = h ( t ) w h e r e h ( t ) m i s computed from ( 1 7 1 , whenu* = u i ( A ) i s a s o l u t i o n o f t h e l e f t p r o b l e m i n ( 2 0 ) ( 6 2 1 . Problems n i n Y ,(1) and max $ ( u ) a r e t h e p a i r o f m o d i f i e d d u a l
)I M
~ r o b l e ~ . s , a s s o c i a t e ? w i t h o r i g i n a l P r o b l e m 1P. I n [621 i s shown, t h a t t h e m o d i f i c a t i o n d o e s n o t c h z n g e t h o g e n e r a l d u a l r e l a t i o n s . Thus i;l o r d e r t o o b t a i n a s o l u t i o n o f Troblem o n e c a n s o l i r e e i t h e r t h e d u a l p r o b l e ~ min ? 0.) with t h e no2- smooth fu-rlction Y o r t h e m o d i f i e d Z u a l p r o b l e n n i n ? >! ( A ) w i t h t h e smooth fuirlction !'
M '
The l a t t e r g i v e s t h e f o l l o w i n s a l g o r i t h m : ( 1 ) Choose a r b i t r a r y d u a l c o n t r o l A V . ( 2 ) S o l v e t h e l e f t p r o b l e n i n ( 2 0 ) .
T h i s ?robLen h a s l i n e a r s t a t e e q u a t i o n s ( 1 )
,
g u a d r a t i c o b j e c - t i v e f u n c t i o n ( 1 9 ) and s i m p l e c o n s t r a i n t s on c o n t r o l u ( t )( e . 9 . I)
-
< u ( t )-
<c ( t )
1 . T h e r e f o r e f o r i t s s o l u t i o n o p t i n a l c o n t r o l t 2 c h n i q u e (iv-hich r e d u c e s i n t h i s c a s e t o s o l u t i c n o f 2n a t r i x A i c c a t i e q ~ a t i o n ) c a n b e e f f e c t i v e l y 2 ~ 2 l l e d [ 6 3 1 .
( 3 ) L e t u v b e a s o l u t i o n o f t h e a b o l r e p r o b l m . C c m ~ a t e h" ( t ) f r o m ( 1 7 ) f o r t h i s u V a n d new d u a l c o n t r o l X v+ 1 f r o m
p + 1 ( t ) = X v ( t )
-
4 h v ( t ) ( \ J = 0 , 1 , 2 , . - . )T k e o r ~ s , ~ 4 . F o r a n y
e
> 0 ,* *
a n d b e g i n n i n g f r o m some f i n i t e v O : X v €11
,
u;' EU,
v > \ J ~ ,& -
I
w h e r e A T I U - , a r e s o l u t i o n s e t s o f d u a l a n d p r i m a l p r o b l e m s I D a n d 1P r e s p e c t i v e l y .
T h e o r e m 4 s t a t e s t h a t , o p p o s i t e t o t h e g e n e r a l i z e d g r a d i e n t a l g o r i t h m ( 1 )
-
( 6 ),
t h e a l g o r i t h m ( 1 )-
( 3 ) c o n v e r g e s f o r a f i n i t e n u m b e r o f s t e p s a n d t h e v a l u e s o f t h e m o d i f i e d f u n c t i o n '? ( A ) m o n o t o n o u s l y d e c r e a s e s w i t h v ( i n f a c t s o d o e s t h e n o n n o d y f i e dd u a l f u n c t i o n Y ( A ) a l s o 1621 )
.
M o r e o v e r , t h i s a l g o r i t h m g i v e s s i m u l t a n e o u s l y d u a l A * a n d ? r i m a l u * o p t i m a l s o l u t i o n s .CONCLUSION
A s h o r t s u r v e y h a s b e e n g i v e n a b o v e o f DL? m o d e l s , t h e o r y a n d m e t h o d s . T h e r e i s n o t much l i t e r a t u r e o n c o m p u t e r i m p l e m e n t a -
t i o n o f t h e m e t h o d s . E x p e r i m e n t s , h o w e v e r , s h o w t h a t t h e s e m e t h o d s c a n b e much m o r e e f f i c i e n t i n c o z p a r i s o n w i t h t h e
s t a n d a r d ( s t a t i c ) a p p r o a c h ( s e e , f o r i n s t a n c e , [ 3 9 , 5 3 1 ) . T h e r e - f o r e c o m p u t e r t e s t i n g a n d e v a l u a t i o n o f t h e a l g o r i t h m s a r e now a n i m p o r t a n t p r o b l e m . O t h e r i m p o r t a n t d i r e c t i o n s o f r e s e a r c h a r e t h e p r o b l e m o f t h e i m p l e m e n t a t i o n o f o p t i m a l c o n t r o l a n d p o s t - o p t i m a l a n a l y s i s o f t h e m o d e l ( f e e d b a c k v s p r o g r a m o p t i m a l c o n t r o l , s e n s i t i v i t y a n d s t a b i l i t y a n a l y s i s , i n t e r r e l a t i o n b e - t w e e n s h o r t a n d l o n g - t e r m p r o b l e m s , e t c . )
I t s h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t n o t a l l d y n a i c a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s c a n be k e p t w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f DLP. T h e r e f o r e , t h e e x t e n s i o n o f DLP f o r s t o c h a s t i c , m a x m i n , n o n l i n e a r d y n a m i c p r o g r z m i n g p r o b l e m s i s o f l a r g e p r a c t i c a l i n t e r e s t . Some w o r k h a s S e e n a l r e a d y d o n e i n t h i s d i r e c t i o n ( s e e , e . g . [ 6 4 - 6 6 1 1 .
R e f e r e n c e s
D a n t z i g , G.B., Lineal2 Programming and E x t e n s i o n s , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n , N . J . , 1 3 6 3 .
K a n t o r o v i t c h , L . V . , -The B e s t Use o f Economic R e s o u r c e s , H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s . , 1 9 6 5 . P r o p o i , A . I . , Problems o f Dynamic L i n e a r Programming,
Rb;-76-78, I r i t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 6 .
P o n t r y a g i n , L . S . , e t a l . M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f O p t i m a l P r o c e s s e s , I n t e r s c i e n c e , N e w Y o r k , 1 9 6 2 .
P r o p o i , A . , E l e m e n t y T e o r i i O p t i m a l n y k h D i s c r e t n y k h
P r o t s e s s o v ( E l e m e n t s o f t h e T h e o r y o f O p t i m a l D i s c r e t e S y s t e m s ) , Nauka, Moscow, 1 9 7 3 ( i n R u s s i a n ) .
M a r k u s e , W . , e t a l . A Dynamic Time-Dependent Model f o r t h e : A n a l y s i s o f Alternative E n e r g y P o l i c i e s , i n
O p e r a t i o n a l R e s e a r c h ' 7 5 ( e d . K.B. H a l e y )
,
N o r t h - H o l l a n d P u b l i s h i n g Company, 1 9 7 6 , p p . 647-667.P r o p o i , A . , Dual S y s t e m s o f ~ y n a h c
ine ear
Programming, RR-77-9, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 7 .D a n t z i g , G.B., On t h e S t a t u s o f M u l t i s t a g e L i n e a r Program- m i n g P r o b l e m s , Management S c i e n c e , Vol. 6 ( 1 9 5 9 ) , p p . 53-72.
L a s d o n , L. S
.,
O p t i m i z a t i o n T h e o r y f o r Large S y s t e m s , MacP-lillan, 1 9 7 0 .I~ladsen;O., S o l u t i o n o f LP-Problems w i t h S t a i r c a s e S t r u c - t u r e , RZ-26-1977, I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S t a t i s - t i c s a n d O p e r a t i o n a l R e s e a r c h , D e n n a r k , 1 9 7 7 .
I v a n i l o v , Yu. P . a n d A . I . P r o p o i , T h e L i n e a r Dynamic P r o - gramming, DokZ. Acad. Nauk SSSR, V o l . 1 9 8 , N o . ' 5
( 1 9 7 1 ) pp. 1011-1014 ( i n R u s s i a n ) .
A g a n b e g i a n , A.G., K.A. B a g r i n o v s k i i a n d A.G. G r a n b e r g , S y s t e m a M o d e l e i N a r o d n o h o z i a s t v e n n o g o P l a n i r o v a n i a
( S y s t e m s o f M o d e l s o f N a t i o n a l P l a n n i n g ) , Moscow,
"Idys Z " , .I972 ( i n R u s s i a n )
.
D a n t z i g , G.B., O p t i m a l s o l u t i o n o f a ~ y n a m i c L e o n t i e f Flodel w i t h S u b s t i t u t i o n , Econometrics, V o l . 2 3
( 1 9 5 5 )
,
p p . 2 9 5 - 3 0 2 .K o e h l e r , G . , A. Whinston and G. Y l r i g h t , O p t i m i z a t i o n Over L e o n t i e f S u b s t i t u t i o n S y s t e m s , North-Holland
P u b l i s h i n g . Company, 1975.
Dukalov, A. N . , Yu.N. I v a n o v a n d V.V. T o k a r e v , C o n t r o l T h e o r y a n d Zconomic S y s t e m s . A v t o m a t i k a i
Te Zemekhanika, No. 5 (1974) ' ( i n R u s s i a n )
.
t l a k a r o v A.A. a n d L.A. M e l e n t j e v , Metody I s s l e d o v a n i a i O p t i n i z a t z i i E n e r g e t i c h e s k a s o K h o z i a s t v a
( A n a l y s i s and O p t i n i z a t i o n Methods o f Energy S y s t e n s ) , Nauka, N o v o s i b i r s k , 1 9 7 3 ( i n R u s s i a n )
.
H a e f e l e , W. a n d A.S. Manne, S t r a t e g i e s o f a T r a n s i t i o n from F o s s i Z t o NucZear F u e l s , RR-74-07, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A ? p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1974.
P r o p o i , A . a n d I . Z i n i n , E n e r g y - B e s o u r c e s - E c o n o m y DeveZop- ment ModeZs, I n s t i t u t e f o r A p p l i e d Systems A n a l y s i s , . L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1978 ( f o r t h c o m i n g ) .
Agarkov, S . , I . D r u z h i n i n , 2. Konovalenko, A . K u z n e t s o v , T. Naumova, V. Ushakova, I . G e r a r d i , N . Dorfman, R . Kogan, E. Kokorev and D. R ~ s ~ u ~ o v , The Optima2 A l l o c a t i o n o f W a t e r Consuming P r o d u c t i o n . Vodnye R e s u r s y (Water R e s o u r c e s )
,
V o l . 3 (1957),
p p . 5-17.P a r i k h , S . C . , L i n e a r D e c o m p o s i t i o n Programming o f O p t i m a l Long-Range O p e r a t i o n o f a M u l t i p l e M u l t i p u r p o s e
. R e s e r v o i r S y s t e m , i n The P r o c e e d i n g s o f t h e F o u r t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n O p e r a t i o n a Z R e s e a r c h ,
( e d s . D . H e r t z and I . :.felese) W i l e y , 1966.
p p . 763-777.
B i s w a s , A . K . , (Ed. S y s t e m s Approach t o W a t e r Management, McGraw-Hill P u b l i s h i n g Company, 1976.
P r o p o i , A . , Models f o r E d u c a t i o n a l and Manpower P l a n n i n g : A Dynamic L i n e a r Programming A p p r o a c h , RM-78-20,
' I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s I u l a l y s i s , .
L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1978.
P r o p o i , A. a n d F. ~ 7 i l l e k e n s , A DLP Approach t o N a t i o n a l S e t t l e m e n t S y s t e m P l a n n i n g , RE-77-8, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1977. A l s o see E n v i r o n m e n t and PZanning A ,
Vol. 10 ( 1 9 7 8 ) , pp. 561-576.
P r o p o i , A . , Dynamic L i n e a r Programming Models i n H e a l t h C a r e S y s t e m s i n M o d e l i n g H e a l t h Care S y s t e m s , e d s . E. S h i g a n and R . G i b b s , CP-77-8, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1977.
S w a r t , PI. a.0. E x p a n s i o n P l a n n i n g f o r a L a r g e D a i r y Farm, i n S t u d i e s i n L i n e a r Programming, Eds. H . S a l k i n a n d J.' S a h a , North-Holland P u b l i s h i n g Company, N . Y . , 1975.
P r o p o i , A . , Dynamic L i n e a r Progrcmming ModeZs f o r L i v e s - s t o c k Farms, 311-77-29, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 3 . C s a k i , C . , Dyncmic L i n e a r Programming Model f o r A g r i c u Z - t u r a Z I n v e s t n e n t and R e s o u r c e s U t i l i z a t i o n P o Z i c i e s , RM-77-36, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 7 .
C a r t e r , H . , C . C s a k i a n d A . P r o p o i , P l a n n i n g Long-Range A g r i c u Z t u n a Z I n v e s t m e n t P r o j e c t s : A Dynamic L i n e a r P r o g r a n m i n g A p p r o a c h , W-77-38, I n t e r n a t i o n a l
I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 7 .
G l a s s e y , C . R . , Dynamic L i n e a r P r o g r a m s f o r P r o d u c t i o n S c h e d u l i n g , O p e r a t i o n a l R e s e a r c h , V o l . 1 9 , 1 ( 1 9 7 1 )
.
p p . 45-56.
. -
P e g e l s , C . C . , S y s t e m s A n a Z y s i i s f o r P r o d u c t i o n O p e r a t i o n s , . G o r d o n a n d B r e a c h P u b l i s h i n g Company, London, 1 9 7 6 . B e l l m o r e , PI.
,
W".. E k l o f a n d G.L. Nemhauser, T r a n s h i p m e n tA l g o r i t h m f o r a M u l t i p e r i o d T r a n s p o r t a t i o n P r o b l e m , N a v a l R e s e a r c h L o g Z s t i c s Q u a r t e r l y , V o l . 1 9 , 4
( 1 9 6 9 ) .
Madsen, O . , A Case S t u d y i n P r o b l e m S t r u c t u r i n g , i n S e c o n d E u r o p e a n C o n g r e s s on O p e r a t c o n a l R e s e a r c h ,
( e d . M . R o u b e n s ) , N o r t h - H o l l a n d P u b l i s h i n g Company, 1 9 7 6 , p p . 287-293.
Tamura, H. M u l t i s t a g e L i n e a r P r o g r a m m i n g f o r D i s c r e t e O p t i m a l C o n t r o l w i t h D i s t r i b u t e d L a g s . A v t o m a t i c a , V o l . 1 3 ( 1 9 7 7 ) , p p . 369-376.
N e w , C. C.
,
T r a n s p o r t F l e e t P l a n n i n g f o r M u l t i p e r i o d O p e r a t i o n s . O p e r a t i o n a l R e s e c r c h Q u a r t e r l y , V o l . 2 6 , 1 , ii ( 1 9 7 5 ) , p p . 151-166.H o t J . K . , O p t i m a l D e s i g n of M u l t i - S t a g e S t r u c t u r e s : a N e s t e d ~ e c o m p o s i t i o n A p p r o a c h . C o m p u t e r s a n d S t r u c t u r e s , V o l . 5 ( 1 9 7 5 ) , p p . 249-255.
I v a n i l o v , Pu. P . a n d A . P r o p o i , D u a l i t y R e l a t i o n s i n Dynamic L i n e a r Programming, A v t o m a t i c a i
T e l e m e k h a n i k a , V o l . 1 2 , ( 1 9 7 3 )
,
p p . 100-108 ( i n R u s s i a n ).
_..B u l a v s k i i , V . A . , X.A. Z v i a g i n a a n d ;i.A. Y a k o v l e v a , C h i s l e n n y e Metody L i n e i n o g o P r o g r a m r n i r o v a n i a
( N u m e r i c a l M e t h o d s o f L i n e a r P r o g r a m m i n g )
,
"Nauka I f , bloscow, 1 9 7 7 ( i n R u s s i a n ).
Beer, K., L d s u n g Grosser L i n e a r e r ~ p t i m i e r u n g s a u f g a b e n , V E B ~ e u t s c h e r V e r l a g d e r W i s s e n s c h a f t e n , B e r l i n , 1 9 7 7 ( i n German)
.
W i n k l e r , C . , B a s i s F a c t o r i z a t i o n f o r B l o c k A n g u l a r L i n e a r Programs: U n i f i e d T h e o r y o f P a r t i t i o n i n g and D e c o m p o s i t i o n U s i n g t h e S i m p l e x Method,
RR-74-22, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 4 .
G i l l , P.E. a n d W. M u r r a y , L i n e a r l y - C o n s t r a i n e d P r o b l e m s I n c l u d i n g L i n e a r and Q u a d r a t i c P r o g r a m m i n g , i n The S t a t e o f t h e A r t i n N u m e r i c a l A n a l y s i s ,
( e d . D . J a c o b s ) , Academic P r e s s , 1 9 7 7 , p p . 313-363.
D a n t z i g , G.B., Compact B a s i s T r i a n g u l a r i z a t i o n f o r t h e S i m p l e x Method i n R e c e n t A d v a x c e s i n M a t h e m a t i c a l Programming ( E d s . R. G r a v e s a n d P. W o l f e )
,
I - l c G r a w - H i l l P u b l i s h i n g Company, N . Y . , 1 9 6 3 , p p . 125-132.H e e s t e r m a n , A.R.G. a n ' d J. S a n d e e , S p e c i a l S i m p l e x A l g o r i t h m f o r L i n k e d P r o b l e m s , Management S c i e n c e ,
V o l . 1 1 , N o . 3 ( 1 9 6 5 ) p p . 420-428.
K a l l i o , M. a n d 'E. P o r t e u s , T r i a n g u l a r F a c t o r i z a t i o n a n d G e n e r a l i z e d Upper B o u n d i n g T e c h n i q u e s , O p e r a t i o n s R e s e a r c h , V o l . 2 5 , 1 ( 1 9 7 7 )
,
p p . 89-99.W o l l m e r , R . D . , A S u b s t i t u t e I n v e r s e f o r t h e as is 6 f a S t a i r c a s e S t r u c t u r e L i n e a r P r o g r a m s , M a t h e m a t i c s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , V o l . 2 , ' 3 . . ( 1 9 7 7 ) , p p . 230-239.
K r i v o n o z h k o , V . I . a n d A . I . P r o p o i , A Method f o r L i n e a r Dynamic P r o g r a m s w i t h t h e U s e of B a s i s M a t r i x
F a c t o r i z a t i o n , i n A b s t r a c t s o f t h e I X I n t e r n a t i o n a l Symposium o f M a t h e m a t i c a l Programming, B u d a p e s t , A u g u s t 1 9 7 6 .
K r i v o n o z h k o , V . I . a n d A . I . P r o p o i , S i m p l e x Method f o r Dynamic L i n e a r P r o g r a m S o l u t i o n , i n O p t i m i z a t i o n T e c h n i q u e , P r o c e e d i n g s o f t h e 8 t h I F I P C o x f e r e n c e , Kflrzburg 1 9 7 7 , ( e d . J. S t o e r )
,
S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 7 8 ,P r o p o i , A. a n d V. K r i v o n o z h k o , T h e Dynamic S i m p l e x Method, RM-77-24, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a , 1 9 7 7 .
K r i v o n o z h k o , V.E. a n d A . I . P r o p o i , C o n t r o l S u c c e s s i v e I m p r o v e m e n t Method i n Dynamic L i n e a r Programming P r o b l e m s I , 11, I z v e s t i a AN SSSX, T e c h n i c h e s k y a
K i b e r n e t i k a , V o l . 3 , 4 , 1 9 7 8 , p p . 5-16,5-14 ( i n X u s s i a n ) . P r o p o i , A. a n d V. K r i v o n o z h k o , S i m p l e x . Method f o r Dynamic
L i n e a r P r o g r a m s , RR-78-14, I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a . Cobb, R.H. a n d J . C o r d , D e c o m p c s i t i o n A p p r o a c h e s f o r
S o l v i n g L i n k e d P r o g r a m s , in P r o c c e Z i n g s o f t h e P r i n c e t . 0 ~ Symposium o n b i a t l z e n a t i c a l Programming
( e d . H.W. K u h n ) , P r i n c e t o n u n i v e r s i t y P r e s s , N . J . 1 9 6 7 .
[ 5 1 ] Ho, J . K . a n d A.S. Manne, N e s t i d D e c o m p o s i t i o n f o r Dynamic M o d e l s , M a t h e m a t i c a l Programming, V o l . 6 , 2 ( 1 9 7 4 ) , p p . 121-140.
[ 5 2 ] G l a s s e y , C . R . , N e s t e d D e c o m p o s i t i o n a n d M u l t i - S t a g e L i n e a r P r o g r a m s , Management S c i e n c e , V o l . 2 0 , pp. 282-292.
[53). Ho, J . K . N e s t e d D e c o m p o s i t i o n o f a Dynamic E n e r g y Model, Ma?zagement and S c i e n c e , V o l . 2 3 , ' 9 ( 1 9 7 7 )
,
p p . 1022-1026.
[ 5 4 ] K a l l i o , M . , D e c o m p o s i t i o n o f ~ r b o r e s c e n t L i n e a r P r o g r a m s , M a t h e m a t i c a l Programming, V o l . 1 3 ( 1 9 7 7 )
,
p p . 348-356.
[ 5 5 ] K r i v o n o z h k o , V.E., D e c o m p o s i t i o n A l g o r i t h m f o r Dynamic L i n e a r Programming P r o b l e m s , I z v e s t i a AN SSSR,
T e c h n i c h e s k y a K i b e r n e t i k a , V o l . 3 ( 1 9 7 7 )
,
p p . 18-25 ( i n R u s s i a n ) .[ 5 6 ] I v a n i l o v , Yu. P. a n d Yu. E . M a l a s h e n k o , Method f o r L i n e a r Dynamic P r o g r a m i n g S o l u t i o n , ~ i b e r n e t i k a , V o l . 5
( 1 9 7 3 ) , p p . 42-49 ( i n R u s s i a n ) .
[ 5 7 ] B e l u k h i n , V.P., P a r t i t i o n P r i n c i p l e a n d P r i m a l - D u a l Method f o r Dynamic L i n e a r Programming P r o b l e m s . Z h u r n a l
; ' 3 c h i s l i t e l n o i M a t e m a t i k i i M a t e m a t i c h e s k o i P h y s i k i , V o l . 1 5 , 6 ( 1 9 7 5 ) , p g . 1424-1435.
[58] B e l u k h i n , V.P., P a r a m e t r i c Method f o r Dynamic L i n e a r Programming S o l u t i o n . A v t o m a t i c a i Te Z e m e k h a n i k a , V o l . 3 ( 1 9 7 5 1 , p p . 95-103.
[591 Aonuma, T . , A T w o - l e v e l A l g o r i t h m f o r Two-stage L i n e a r P r o g r a m s . J o u r n a l o f t h e O p e r a t i o n s R e s e a r c h S o c i e t y o f g a p a n , V o l . 2 1 , 2 ( 1 9 7 8 ) , p p . 171-187.
[601 F u k a o , T . , A C o m p u t a t i o n Method f o r Dynamic L i n e a r P r o g r a m m i n g , J o u r n a l o f t h e O p e r a t i o n s R e s e a r c h S o c i e t y o f J a p a n , V o l . 2 , 3 ( 1 9 6 0 ) .
- -. - -- - - - .
[611 Nonsmooth O p t i m i z a t i o n , P r o c e e d i n g s o f IIASA Workshop, M a r c h - A p r i l 1 9 7 7 , e d s . C . L e m a r e c h a l , R . M i f f l i n , Pergamon P r e s s , 1 9 7 8 .
[ 6 2 ] P r o p o i , A . I . a n d A.B. Yadykiri, M o d i f i e d D u a l R e l a t i o n s i n Dynamic L i n e a r Programming, A v t o m a t i k a i
T e z e m e k h a n i k a ,
-
5 ( 1 9 7 5 ) , p p . 106-1 14 ( i n R u s s i a n ) . . .-. . .
1631 P r o p o i , A . I . a n d A.B. Y a d y k i n , P a r a m e t r i c I t e r a t i v e -
!.lethods f o r Dynamic L i n e a r Programming. I . Non- d e g e n e r a t e C a s e , A v t o m a t i k a i T e l e m e k h c n i k a , V o l . 1 2 ( 1 9 7 5 ) , 11. G e n e r a l C a s ~ . L v t o m a t i k a i T e l e m e k h a n i k a , V o l . 2 ( 1 9 7 6 ) , pp. 127-135, 136-144.
[ 6 4 ] Ermol j e v , Yu. 14.
,
Metody S t o k h a s t i c h e s k o g o P r o g r a r n m i r o v a n i a (Methods o f S t o c h a s t i c P r o g r a m m i n g ) , Nauka, M o s c o w , 1976 ( i n R u s s i a n ) .[65] I v a n i l o v , Yu.P. a n d A . I . P r o p o i , Convex Dynamic Program- ming. Zhurnal Vychis lite Znoi M a t e m a t i k i i
M a t e m a t i c h e s k o i Phyziki, V o l . 1 2 , 3 ( 1 9 7 2 ) ( i n R u s s i a n ) .
[ 6 6 ] P r o p o i , A . I . and A . B . Y a d y k i n , The P l a n n i n g Under
U n c e r t a i n Demand, 1 , I I . A v t o m a t i k a i Telemekhanika, V o l . 2 , 3 ( 1 9 7 4 ) , pp. 78-83, 1 0 2 - 1 0 8 . ( i n R u s s i a n ) .
