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03. November 2010

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03. November 2010

PD Dr. H. Kohler, C. Recher

Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — ¨ Ubung 3

Abgabe: 10.11 2010

H5. Rechnen mit δ

Berechnen Sie folgende Integrale

Z

−∞

dx xδ(x) ,

Z

0

dxδ(x − x

0

) ,

Z

−∞

dxδ

0

(x − x

0

)f (x) , ,

Z

−∞

dxδ(ax − x

0

) ,

Z

−∞

dx δ(x

2

− a

2

) ,

Hierbei bezeichnet δ

0

(x) die Ableitung und a eine beliebige reelle Zahl.

H6. Dyadisches Produkt Gegeben sei der Vektor

|ψi =

√ i i 2

√ 3

√ 1 6

(1)

1) Berechnen Sie |ψihψ|. 2) Berechnen Sie die Eigenwerte von |ψihψ|. 3) Berechnen Sie die Eigenvektoren von |ψihψ|.

H7. Eigenwerte

Gegeben sei der Operator

A ˆ =

2 −1 0

−1 2 −1

0 2 −1

 (2)

1) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von ˆ A und berechnen Sie die Eigen-

werte. 2) Berechnen Sie die Eigenvektoren von ˆ A und bestimmen Sie die unit¨ are Matrix,

die ˆ A diagonalisiert.

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