NachklausurTheGI2–AutomatenundKomplexität Name:........................Matr.-Nr.:........................

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Nachklausur TheGI 2 – Automaten und Komplexität

(Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013)

1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

Bearbeitungszeit: 60 min.

max. Punktezahl: 60 Punkte

Allgemeine Hinweise:

• Es sind keinerlei Hilfsmittel erlaubt.

• Benutzen Sie keinen Bleistift, sondern einen Kugelschreiber oder Füller in der Farbe schwarz oder blau.

• Beschriften Sie jedes Blatt mit Vor- und Nachnamen sowie Matrikelnummer.

• Falls in der Aufgabenstellung nicht explizit ausgeschlossen, sind alle Antworten zu begründen! Antworten ohne Begründung erhalten 0 Punkte.

Viel Erfolg!

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Aufgabe 1:

Grammatiken und Sprachen (2+2+5 Punkte)

SeienG1 undG2 zwei wie folgt definierte Grammatiken

G1= ({S1, A1, B1},{a, b}, P1, S1) G2= ({S2, A2, B2},{a, b}, P2, S2) P1={S1→A1S1B1|A1B1, P2={S2→A2S2B2|A2B2

A₁→aa, A₂→aa|aaA₂,

B1→b} B2→b|bB2}.

a) Geben Sie den größtmöglichen Typ der GrammatikenG1undG2bezüglich der Chomsky- Hierarchie an.

Hinweis:Der größtmögliche Typ einer Grammatik isti, wenn sie vom Typiist aber nicht vom Typi+ 1.

b) Geben Sie die von den GrammatikenG₁ und G₂ erzeugten SprachenL(G₁)undL(G₂) an (ohne Begründung).

c) Beweisen Sie, dass mindestens eine der beiden SprachenL(G₁)undL(G₂)nicht regulär ist.

Hinweis: Pumping-Lemma für reguläre Sprachen: Zu jeder regulären Sprache L⊆Σ^∗ exi- stiert eine natürliche Zahlnderart, dass sich allex∈Lder Länge|x| ≥nso zerlegen lassen in der Form x=uvw für gewisseu, v, w∈Σ^∗, dass gilt:

(a) v6=, (b) |uv| ≤nund

(c) für allei≥0 istuvⁱw∈L.

Lösung

a) G₁ undG₂ sind vom Typ 2, da jede Produktregelα→β ∈P₁ die Bedingungenα∈V und |α| ≤ |β| erfüllt,A₁ →aaund A₂ →aaverstoßen gegen die Bedingungen für eine reguläre Grammatik.

b) L(G1) ={a²ⁿbⁿ|n≥1} undL(G2) ={a^2lb^k|l, k≥1}

c) Da L(G2)regulär ist, beweisen wir für L(G1), dass die erzeugte Sprache das Pumping- Lemma für reguläre Sprachen nicht erfüllt.

Sein∈N\ {0}eine Pumping-Zahl der SpracheL(G1). Betrachtex=a²ⁿbⁿ. Es gilt offen- sichtlichx∈Lund|x| ≥n. Seiuvw=xeine beliebige Zerlegung unter den Bedingungen von (a) und (b). Aus den Bedingungen von (a) und (b) folgtv=a^j mit1≤j≤n. Also muss die Zerlegung wie folgt aussehen:uvw =a^|u|a^|v|a^{2n−|u|−|v|}bⁿ =a²ⁿbⁿ. Jedoch gilt für i= 0: uv⁰w =a^|u|a^{2n−|u|−|v|}bⁿ =a^2n−jbⁿ ∈/ L(G1). Damit folgt, dass L(G1) nicht regulär ist.

Aufgabe 2:

Minimierung endlicher Automaten (7 Punkte) Gegeben sei ein DFA M = (Z,Σ, δ, q0, E), wobei Z ={q0, q1, q2, q3, q4, q5}, Σ ={1,0} und E={q1, q2, q4, q5}. Die Überführungsfunktionδsei wie folgt gegeben:

q₀

q₁

q₂

q₄

q₅ q₃

1

0

1

0 0

1 0

1 1

0

1,0

Geben Sie einen minimalen DFAM⁰ mit T(M⁰) =T(M)an.

Sie können für die Minimierung vonM die folgende Tabelle benutzen. Die korrekt ausgefüllte Tabelle – zusammen mit dem korrekten Minimalautomaten – reicht als Begründung aus.

q ₀ q ₁ q ₂ q ₃ q ₄ q ₅ q ₀

q ₁ q ₂ q ₃ q ₄ q ₅

Lösung

q ₀ q ₁ q ₂ q ₃ q ₄ q ₅ q ₀

q ₁ ? q ₂ ? ? q ₃ ? ? ?

q ₄ ? ? ?

q ₅ ? ? ? ?

M⁰ = (Z⁰,Σ, δ⁰, q0, E⁰)mitZ⁰={q0,{q1, q5}, q3,{q2, q4}},E⁰={{q1, q5},{q2, q4}}undδ⁰:

q₀

q₁, q₅

q2, q4

q₃ 1

0

1

0 0

1 1,0

Aufgabe 3:

Reguläre Sprachen (7 Punkte) SeiL eine Sprache über einem AlphabetΣ. Wir definieren

Init(L) :={w∈Σ^∗|x∈Σ^∗∧wx∈L}.

Beispiel: FürL⊆ {a, b}^∗ mitL={aa, aba} ist Init(L) ={, a, aa, ab, aba}.

Beweisen Sie folgende Aussage: WennL regulär ist, dann ist auch Init(L)regulär.

Lösung

Variante 1: SeiLregulär undM = (Z,Σ, δ, z0, E)ein DFA, der L akzeptiert. Für Init(L) konstruiere M⁰:= (Z,Σ, δ, z0, E⁰)mitE⁰:={z∈Z | ∃x∈Σ^∗: ˆδ(z, x)∈E}. Es gilt

w∈T(M⁰) ⇐⇒ ˆδ(z₀, w)∈E⁰

⇐⇒ ∃x∈Σ^∗: ˆδ(ˆδ(z0, w), x)∈E

⇐⇒ ∃x∈Σ^∗: ˆδ(z0, wx)∈E

⇐⇒ ∃x∈Σ^∗:wx∈T(M)

⇐⇒ ∃x∈Σ^∗:wx∈L

⇐⇒ w∈Init(L),

alsoT(M⁰) =Init(L). Damit muss auch Init(L)regulär sein.

Variante 2: ZeigeRL⊆RInit(L) per Kontraposition: Sei(v, w)6∈RInit(L). D. h. es gibt ein z∈Σ^∗ so, dass

vz∈Init(L) (1)

und

wz6∈Init(L). (2)

(Der Fallvz /∈Init(L)undwz∈Init(L)folgt durch Vertauschen vonvundw.) Aus (1) folgt vzx ∈ L für ein x ∈ Σ^∗. Nun gilt wegen (2) aber wzx 6∈ L. Es folgt (v, w)6∈RL.

RL verfeinert alsoR_Init(L). Damit muss

Index(R_Init(L))≤Index(RL) (3)

gelten. Ist nun Lregulär, so hat nach dem Satz von Myhill-NerodeRL und wegen (3) dann auchRInit(L)endlichen Index. Damit ist dann wiederum nach Myhill-Nerode auch Init(L)regulär.

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Aufgabe 4:

Abschlusseigenschaften (2+3 Punkte)

SeienAundB Sprachen über dem AlphabetΣ. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) A\B ist kontextfrei, wennA\B regulär undB kontextfrei ist.

(b) A^∗ ist regulär genau dann wennAregulär ist.

Hinweis: Benutzen Sie die Abschlusseigenschaften aus der Vorlesung. Für eine Sprache L⊆ Σ^∗ ist das KomplementL definiert alsL:= Σ^∗\L.

Lösung

(a) Wir beweisen die Aussage.

Annahme: A\B ist regulär undB ist kontextfrei. Da A\B regulär ist, ist nach den Abschlusseigenschaften der regulären Sprachen auchA\B=A\B regulär und damit auch kontextfrei.

(b) Wir widerlegen die Aussage.

SeiA={aⁿbⁿ |n≥1} ∪ {a, b}. Dann istAnach TheGI2 Lehrstoff nicht regulär, jedoch istA^∗={a, b}^∗ regulär.

Aufgabe 5:

CYK (6 Punkte) Gegeben sei die GrammatikG= (V,Σ, P, S)mitV ={A, B, C, D, E, F, H, S} und

P ={S→AE|AF, E→AA|BA|CA, F →AH|BH|CH, H →AE|AF,

A→a, B→b, C→c}.

Überprüfen Sie mit dem Algorithmus von Cocke, Younger und Kasami, für jedes der Wörter aba,abacund abacabajeweils, ob sie inL(G)enthalten sind. Füllen Sie dafür die folgende Tabelle vollständig aus und begründen Sie damit Ihre Antwort. Weitere Erläuterungen sind nicht erforderlich.

a b a c a b a

1

2 F

3 F F

4 F F F

5 F F F F

6 F F F F F

7 F F F F F F

Lösung

a b a c a b a

1 A B A C A B A

2 − E − E − E F

3 S, H − S, H − S, H F F

4 − F − F F F F

5 S, H − S, H F F F F

6 − F F F F F F

7 S, H F F F F F F

Antwort:

• aba∈L(G)(siehe Zeile 3, Spalte 1 oder 4)

• abac /∈L(G)(siehe Zeile 4, Spalte 1)

• abacaba∈L(G)(siehe Zeile 7, Spalte 1)

Aufgabe 6:

Kontextfreie Sprachen (4+4 Punkte) SeiΣ ={a, b}undL⊆Σ^∗ eine wie folgt definierte kontextfreie Sprache:

L:={x◦W1◦x◦W2◦x|x∈Σ∧W1, W2∈Σ^∗∧ |W1|=|W2|}.

So enthältLbeispielsweise das Wortabaaaaber nichtbaaab.

(a) Geben Sie eine kontextfreie GrammatikGin Chomsky-Normalform an so dassL(G) = L(ohne Begründung).

(b) Geben Sie einen KellerautomatenM mit L(M) =L an (ohne Begründung).

Lösung

(a) G= (V ={S, A, B, A1, A2, A3, B1, B2, B3},Σ ={a, b}, P, S)mit P ={S→AA₁|BB₁,

A→a, B →b, A1→A2A, B1→B2B,

A₂→AA₃|BA₃|AA₄|BA₄|a, B2→AB3|BB3|AB4|BB4|b, A₃→A₂A,

A4→A2B, B3→B2A, B4→B2B}

(b) Der zu G gehörige Kellerautomat ist M = (Z ={z},Σ = {a, b},Γ = V ∪Σ, δ, z, S) wobei δwie folgt definiert ist:

z

a, a: b, b: , S:AA1

, S:BB1

, A:a , B:b , A1:A2A , B1:B2B , A2:AA3

, A2:BA3

, A₂:AA₄ , A₂:BA₄ , A₂:a , B₂:AB₃ , B₂:BB₃ , B₂:AB₄ , B₂:BB₄ , B₂:b , A3:A2A , A4:A2B , B3:B2A , B4:B2B

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Aufgabe 7:

Polynomzeitreduktionen (2+2+4 Punkte)

Das wie folgt definierte Sat-Problem ist bereits aus der Vorlesung bekannt.

Sat

Eingabe:Aussagenlogische FormelF in konjunktiver Normalform.

Frage: Ist F erfüllbar?

Spezialfälle dieses Problems ergeben sich indem man die Anzahl an Literalen pro Klausel wie folgt einschränkt. Seik≥1eine natürliche Zahl.

k-Sat

Eingabe:Aussagenlogische Formel F in konjunktiver Normalform mit höchstens k Literalen pro Klausel.

Frage: Ist F erfüllbar?

Aus der Vorlesung bekannt ist die NP-Vollständigkeit von3-Sat. Betrachten Sie folgende Beweisskizze für die NP-Schwere von4-Sat.

Reduziere 4-Sat auf 3-Sat wie folgt: Sei F die gegebene Formel mit der Menge L = {`1, `2, . . . , `n} von Literalen und der Menge C = {c1, c2, . . . , cm} von Klauseln. Ersetze jede Klausel mit 4 Literalen wie folgt (mit Benutzung der neuen Variablen y₁, y₂, . . . , y_m):

c_i= (`<sub>1</sub>∨`₂∨`<sub>3</sub>∨`₄) (`<sub>1</sub>∨`₂∨y_i)∧(y_i∨`<sub>3</sub>∨`₄).Da3-Sat NP-schwer ist, muss4-Sat also auch NP-schwer sein.

(a) Geben Sie die FormelF⁰ an, welche durch obige Reduktion für die wie folgt gegebene Formel F konstruiert wird. Geben Sie für beide Formeln eine erfüllende Belegung an (ohne Begründung).

F = (x1∨x2∨x3∨x4)∧(x1∨x3∨x4∨x5)∧(x2∨x3∨x4∨x5) (b) Geben Sie den Fehler in der obigen Beweisskizze an.

(c) Beweisen Sie die NP-Vollständigkeit von4-Sat. Lösung

(a) F⁰= (x1∨x2∨y1)∧(y1∨x3∨x4)∧(x1∨x3∨y2)∧(y2∨x4∨x5)∧(x2∨x3∨y3)∧(y3∨x4∨x5) Seiβ_F eine Belegung fürF undβ_F⁰ eine Belegung fürF⁰ mit

β_F(x₁) = 1, β_F(x₂) = 0, β_F(x₃) = 1, β_F(x₄) = 1, β_F(x₅) = 1 β_F⁰(x₁) = 1, β_F⁰(x₂) = 0, β_F⁰(x₃) = 1, β_F⁰(x₄) = 1, β_F⁰(x₅) = 1 β_F⁰(y₁) = 0, β_F⁰(y₂) = 0, β_F⁰(y₃) = 0

Dann erfülltβ_F F undβ_F⁰ F⁰.

(b) Um aus der NP-Schwere von3-Satdie NP-Schwere von4-Satzu folgern, bedarf es einer Reduktion 3-Sat ≤^p_m 4-Sat, da wir die Transitivität dieser Reduktionsart ausnutzen

≤^p

Aufgabe 8:

Vermischtes (10 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. bewerten Sie die Aussagen bzgl. ihres Wahrheits- gehaltes. Begründen Sie ihre Antworten jeweils kurz in 2-3 Sätzen.

(a) Unter der Annahme P6=NP gilt, dass es eine SpracheA∈P mitA /∈NP gibt.

(b) Unter der Annahme P=NP gilt, dass3-Satnicht in Polynomzeit auf einer determi- nistischen Turingmaschine entschieden werden kann.

(c) Eine Sprache L ⊆ Σ^∗ ist kontextfrei genau dann wenn der Index der Rechtskongru- enzR_L unendlich ist.

(d) SeienL1, L2, L3, . . .unendlich viele, jeweils reguläre Sprachen über dem AlphabetΣ. Da reguläre Sprachen unter der Vereinigung abgeschlossen sind, ist die wie folgt definierte SpracheLregulär.

L:=[

i≥1

Li

(e) Es gibt unendlich viele Sprachen die von nichtdeterministischen Kellerautomaten er- kannt werden können, aber nicht von deterministischen Turingmaschinen.

Lösung

(a) Es gilt P⊆NP, deshalb folgt ausA∈P automatischA∈NP. Deswegen ist die Aussage falsch.

(b) Das3-SatProblem ist in NP. Wenn P=NP, dann ist es auch in P und ist damit auch in polynomieller Zeit entscheidbar. Damit ist die Aussage falsch.

(c) Die Aussage ist falsch. DennL=∅ist regulär, also kontextfrei, dennoch hatR_L endli- chen Index (Myhill-Nerode).

(d) Die Aussage ist falsch. SeiL_i={aⁱbⁱ}, dann istL_ifür jedesiendlich und somit regulär, aberL=S

i≥1L_i ={aⁿbⁿ|n≥1}ist nicht regulär.

(e) Nein. Jede Sprache, die ein nichtdeterministischer Kellerautomat akzeptieren kann, kann auch eine deterministische Turingmaschine akzeptieren. (Jede Sprache vom Typ 2 hat auch Typ 0.)